Physik-Praktikums-Protokoll

J. Barth / K. Will IMST100
Physik-Praktikums-Protokoll
Versuch M23
Eigenfrequenz einer Saite
1.Aufgabenstellung
1.1 Die Eigenschwingungen einer gespannten Saite sind zu analysieren, die Eigenfrequenz f der
Grundschwingung ist in Abhängigkeit von der Spannkraft F für 3 unterschiedliche
Saitenlängen l ≥ 40 cm mit Hilfe von Lissajous-Figuren experimentell zu bestimmen.
1.2 die Frequenz f der Grundschwingung sind für die in 1.1 verwendeten Spannkräfte F und
Saitenlängen l zu berechnen. Berechnete und experimentell bestimmte Frequenzen sind als
Funktion von F graphisch darzustellen und miteinander zu vergleichen, Abweichungen
sind zu diskutieren.
1.3 Aus den experimentell bestimmten Eigenfrequenzen ist die Phasengeschwindigkeit c der
Seilwelle längs der Saite zu berechnen und als Funktion von F graphisch darzustellen.

Grundlagen zum Versuch:
Beim Anregen einer Saite, entstehen auf dieser stehende Transversalwellen. Diese schwingen
senkrecht zur Saite. Für Schwingungen einer Saite gilt:
F : Kraft in x-Richtung
x
Vorspannung in x-Richtung:
F x
σ =
A : Seilquerschnitt
A
Phasengeschwindigkeit:
σ
c
s
=
ρ : Dichte der Saite
ρ
c s
= f
⋅ λ
f : Frequenz
λ : Wellenlänge
Für Schwingungen einer Saite mit zwei festen Enden gilt für:
die Eigenfrequenzen:
f
n
=
n
⋅ c =
2l
n
2l
σ
ρ
=
n
2l
F
x
A ⋅ ρ
n: ganze Zahl von
Schwingungsbäuchen
l: Länge der Saite

Messmethodik:
Die Schwingung der Saite wird durch einen induktiven Sensor in Spannungsänderungen
umgewandelt.
An die Horizontalablenkplatten eines Oszilloskops wird eine harmonische Ausgangsspannung
eines Tonfrequenzgenerators angelegt. Dadurch wird der Elektronenstrahl entlang der x-Achse
mit einer gleichbleibenden Geschwindigkeit fortbewegt.
Wird nun an den Vertikalablenkplatten, das vom Sensor aufgenommenen und verstärkte Signal,
angelegt, so erfährt der Elektronenstrahl zusätzlich zur x- auch noch eine Kraft in y-Richtung.
Wenn das Signal harmonisch ist, so entstehen je nach Verhältnis der beiden Frequenzen
unterschiedliche Figuren auf dem Bildschirm.
Versuchsaufbau (stilisiert):

Wenn die Frequenzen gleich gross sind, so ergeben sich folgende Bilder:
- Geraden
- Ellipsen
- Kreise
Welcher dieser drei Bilder entstehen, liegt lediglich an der Phasenverschiebung zwischen den
beiden Frequenzen.
Wenn eines dieser Bilder entsteht, braucht man dann nur noch die Frequenz des
Tonfrequenzgenerators ablesen, da diese Frequenz der des Sensors entspricht.
Einige Beispiele, der von uns gemessenen Lissajous-Figuren:

Rechnung:
1.2
Die Grundschwingung oder auch 0. harmonische Schwingung wird berechnet durch:
Ergebnisse: siehe Tab.01
f
1
=
1
⋅
2 ⋅ l
F
x
A ⋅ ρ
1.3
Die Phasengeschwindigkeit lässt sich mit der Formel:
bestimmen.
c = f ⋅ λ
Ergebnisse:
siehe Tab.01
Tabellen:
der Durchmesser des Stahlseiles wurde an mehreren Stellen gemessen:
i d/mm
1 0,411
2 0,415
3 0,413
4 0,415
5 0,413
6 0,414
7 0,417
8 0,411
9 0,413
10 0,409
10
∑ d i
i= 1
10
= 0,413
⇒
A = π ⋅ d
4
2
= 1,34 ⋅10
−7
m
2

1.2 Vergleich der gemessenen Daten mit den errechneten:
-Vergleich-
(f/Hz)
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
2,775
2,946
3,108
4,413
5,411
6,252
6,993
7,662
8,278
8,85
9,389
9,897
l = 0,4m berechnet
l = 0,4 gemessen
l = 0,65m berechnet
l = 0,65m gemessen
l = 1,0m berechnet
l = 1,0m gemessen
-Vergleich bei l =0,4m-
(f/Hz)
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
berechnet
gemessen
2,775 2,946 3,108 4,413 5,411 6,252 6,993 7,662 8,278 8,85 9,389 9,897

-Vergleich bei l =0,65m-
(f/Hz)
250
200
150
100
berechnet
gemessen
50
0
2,775 2,946 3,108 4,413 5,411 6,252 6,993 7,662 8,278 8,85 9,389 9,897
(f/Hz)
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
-Vergleich bei l =1,0m-
2,775 2,946 3,108 4,413 5,411 6,252 6,993 7,662 8,278 8,85 9,389 9,897
berechnet
gemessen

1.3
Mittelwerte der Phasengeschwindigkeit
350
300
250
200
gemittelte Phasen-
Geschwindigkeit
150
100
50
0
2,78 2,95 3,11 4,41 5,41 6,25 6,99 7,66 8,28 8,85 9,39 9,9

Fehlerrechnung:
Für die Fehlerfortpflanzung gilt:
∆f
=
1
−
2 ⋅l
2
⋅
F
A ⋅
⋅ ∆l
+
1
4 ⋅ l ⋅ Aδ
⋅
F
A⋅δ
⋅ ∆F
−1
+
δ 2
4 ⋅ l ⋅ A
⋅δ
⋅
⋅ ∆A
F
A⋅δ
Für ∆ l nimmt man die halbe Skaleneinheit von einen Millimeter:
∆l
: 0,5
⋅10
−3
m
d
d
d
max
min
= 0,417mm
= 0,413mm
= 0,409mm
⇒
∆d
: 4,0
⋅10
−6
m
⇒
π
∆A
= ⋅ ∆d
4
2
= 1,26 ⋅10
−6
m
2
Für die Gewichte galt eine Abweichung von:
200g Stück:
1000g Stück:
2000g Stück:
± 50mg
± 50mg
± 50mg
−6
m
−4
⇒ ∆F
= 50 ⋅10
kg ⋅9,81⋅
= 4,905⋅10
N
2
s
−6
m
−4
⇒ ∆F
= 100 ⋅10
kg ⋅ 9,81⋅
= 9,81⋅10
N
2
s
−6
m
−3
⇒ ∆F
= 400 ⋅10
kg ⋅ 9,81⋅
= 3,924 ⋅10
N
2
s
All diese Abweichungen sind zu gering um sie zu berücksichtigen. Da es ohnehin nicht möglich
war, die Frequenzen genauer als ein Hertz einzustellen.
Aber auch der Tongenerator und das Oszilloskop haben erhebliche Abweichungen. Der
Tongenerator hat ein Abweichung von 1,5% und das Oszilloskop eine von 5%.
Die 5% bei dem Oszilloskop lassen einen kurz erschrecken, da es sich hierbei um enorme
Abweichungen handelt. Bei unserer Messung ist diese aber irrelevant, da wir nur beobachtet
haben, wann es zu einer Lissajours-Figur gekommen ist.
Die Abweichung des Tongenerators muss allerdings berücksichtigt werden!
siehe Tab0