Reduktion von Speckle-Drop-Outs in der Laser-Doppler-Vibrometrie ...

4 Approximation durch radiale Basisfunktionen 27
die Gleichung (4.2) um ein in x lineares Polynom p (x) zu erweitern. Mit Gleichung (4.2)
führt dies zur Interpolante
s f (x) =
m∑
λ k Φ (∥ ∥ ∥ x − ˆx
k ) + γ RBF · p (x) . (4.3)
k=1
Wenn die Interpolationsbedingungen über alle ˆX
f i =
m∑
λ k Φ (∥ ∥ˆx i − ˆx k∥ ∥ ) + γ RBF · p (ˆx i) (4.4)
k=1
erfüllt sind und die Parameter λ und γ RBF eindeutig bestimmt werden können, ist die
Interpolante s f (x) eindeutig. In Matrix-Schreibweise erhält man den in Gleichung (4.4)
beschriebenen Zusammenhang mit
[
Φ
P
P 0
]
·
[
] [
λ ˆF
=
γ RBF 0
]
, (4.5)
wobei die Matrix Φ ∈ R m×m definiert ist als
⎡
Φ (‖ˆx 1 − ˆx 1 ‖) Φ (‖ˆx 1 − ˆx 2 ‖) . . . Φ (‖ˆx 1 − ˆx m ‖)
Φ (‖ˆx
Φ =
2 − ˆx 1 ‖) Φ (‖ˆx 2 − ˆx 2 ‖) . . . Φ (‖ˆx 2 − ˆx m ‖)
⎢
.
⎣ .
. .. .
Φ (‖ˆx m − ˆx 1 ‖) Φ (‖ˆx m − ˆx 2 ‖) . . . Φ (‖ˆx m − ˆx m ‖)
⎤
⎥
⎦
(4.6)
und der Vektor P ∈ R m gegeben ist als
(
P = p (ˆx 1 ) p (ˆx 2 ) . . . p (ˆx m )
) T
. (4.7)
Das resultierende lineare Gleichungssystem zur Bestimmung von λ und γ
ist lösbar, wenn
[
Φ
P
P 0
]
[
] [
λ
=
γ RBF
invertierbar ist.
Φ
P
P T 0
] −1 [ ˆF
0
]
(4.8)
Während der Optimierung der Signalstärke des Vibrometers fließen die Messwerte α (c)
über die Kostenfunktion aus Gleichung (3.24) in die Bewertung des optimalen Signalpegels
α ⋆ ein. Die Funktionsauswertung f = z (c) ist somit abhängig von den gewählten
Koeffizienten c der Zernike-Polynome, so dass f (α (c) , β (c)) = z (c) gilt. Die schon bekannten
ˆF
)
= z
(Ĉ mit den zusammen gefassten Stützstellen ˆX = Ĉ = ( ĉ 1 , ..., ĉ k) T
werden genutzt, um eine (Hyper-)Oberfläche im R n mittels RBF zu approximieren und
anschließend wird das Minimum der (Hyper-)Oberfläche bestimmt.