Quantenmechanik 1
Quantenmechanik 1
Quantenmechanik 1
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<strong>Quantenmechanik</strong> I SS 2004 - Wege zur <strong>Quantenmechanik</strong> 1<br />
<strong>Quantenmechanik</strong> 1<br />
Zusammengefasst von Florian Hebenstreit – Alle Angaben ohne Gewähr!<br />
I. Wege zur <strong>Quantenmechanik</strong><br />
Einleitung:<br />
MECHANIK (klassische Physik): Punktmechanik FELDMECHANIK: partielle DGen (Maxwell)<br />
Große v, E<br />
RELATIVITÄTSTHEORIE<br />
Photoelektrischer Effekt<br />
Atommodell (diskrete Spektren)<br />
QUANTENMECHANIK: Äquivalent Punktmechanik<br />
Vielteilchensysteme (Festkörperphysik)<br />
QUANTENFELDTHEORIE: Äquivalent Feldmechanik<br />
RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK: Dirac, Fermi<br />
RELATIVISTISCHE QUANTENFELDTHEORIE: Elementarteilchenphysik
<strong>Quantenmechanik</strong> I SS 2004 – Wege zur <strong>Quantenmechanik</strong> 2<br />
<strong>Quantenmechanik</strong>: Zeittafel<br />
Hier eine Übersicht zur Entwicklung der <strong>Quantenmechanik</strong> (Quelle: L.Pittner, Vorlesungsunterlagen SS 2001).<br />
1869 M. Mendelejeff Periodensystem der Elemente<br />
1897 P. Zeeman Aufspaltung der blauen Spektrallinie von Cadmium in ein Triplett im<br />
äußeren Magnetfeld (normaler Zeeman-Effekt)<br />
1900 M. Planck Gesetz der Hohlraumstrahlung (Strahlung eines schwarzen Körpers)<br />
1905 A. Einstein Photoeffekt (Teilchennatur des Lichts)<br />
1908 W. Ritz Kombinationsprinzip (Emissionsfrequenzen des Wasserstoffatoms)<br />
1911 E. Rutherford Streuung von Alpha-Teilchen an Gold- und Silberfilmen<br />
1913 N. Bohr Atommodell (Quantisierung der Energie)<br />
1913 J. Stark Aufspaltung von Spektrallinien von Kanalstrahlen in einem äußeren<br />
elektrischen Feld<br />
1916 N. Bohr Korrespondenzprinzip (Grenzübergang zur Klassischen Mechanik)<br />
1921 A. H. Compton Streuung von Photonen an Elektronen (Teilchennatur von Elektronen und<br />
Photonen)<br />
1921 0. Stern, W. Gerlach Aufspaltung eines Strahls von Silberatomen in einem inhomogenen<br />
Magnetfeld dank ihrem magnetischen Moment<br />
1923 A. Lande g-Faktor des Elektrons (magnetisches Moment)<br />
1924 L. De Broglie Formel für die Wellenlänge des Elektrons<br />
1925 S. A. Goudsmit, G. E.<br />
Uhlenbeck<br />
postulieren einen inneren Drehimpuls und dementsprechend ein<br />
magnetisches Moment des Elektrons.<br />
1925 W. Heisenberg Matrizenmechanik (Transformationstheorie)<br />
1925 M. Born, P. Jordan Vertauschungsrelation von Ort und Impuls<br />
1925 W. Pauli Ausschließungsprinzip (Besetzung von Quantenzuständen durch<br />
Fermionen)<br />
1926 E. Schrödinger Nichtrelativistische Wellengleichung für das Elektron<br />
1926 E. Born Wahrscheinlichkeitswelle (statistische Interpretation)<br />
1926 W. Pauli Matrizendarstellung des inneren Drehimpulses eines Elektrons<br />
1927 N. Bohr Komplementarität der Teilchen- und Wellennatur der Materie<br />
1927 W. Heisenberg Unbestimmtheitsrelation (unverträgliche Observable)<br />
1927 N. Bohr, W. Heisenberg Kopenhagener Deutung der <strong>Quantenmechanik</strong><br />
1927 J. v. Neumann Axiomatische Formulierung der <strong>Quantenmechanik</strong> im separablen<br />
Hilbertraum mit Hilfe des Spektraltheorems für selbst- adjungierte<br />
Operatoren<br />
1927 C. I. Davisson, L. H. Germer Reflexion von Elektronen an Nickel- einkristallen (Wellennatur des<br />
Elektrons)<br />
1928 P. A. M. Dirac Relativistische Wellengleichung für das Elektron<br />
1935 A. Einstein, B. Podolsky, N.<br />
Rosen<br />
Gedankenexperiment zur Frage der Lokalität<br />
1943 C. G. Shull et al Polarisierung von Elektronen durch Streuung an einer Goldfolie<br />
1952 D. Bohm Verborgene Parameter (Kausalität und Lokalität?)<br />
1956 G. Möllenstedt, H. Düker Elektronenoptisches Biprisma (erstes Doppel- spaltexperiment )<br />
1958 R. Mößbauer Einbau eines Gamma-strahlenden Atoms in ein Kristallgitter (scharfe<br />
Spektrallinien dank dem fehlenden Rückstoß)<br />
1959 Y. Aharonov, D. Bohm Phasenverschiebung der Elektronwellen-funktion durch ein magnetisches<br />
Vektorpotential (Nichtlokalität)<br />
1965 J. Bell Nicht-Lokalität der <strong>Quantenmechanik</strong> (Bell'sche Ungleichung)<br />
1985 D. Deutsch Quantencomputer<br />
1988 A. Zeilinger et al Beugung von Neutronen am Doppelspalt (genaueste Bestätigung der<br />
Wellennatur des Elektrons)<br />
1992 Quanteninformation, "Teleportation"
<strong>Quantenmechanik</strong> I SS 2004 – Wege zur <strong>Quantenmechanik</strong> 3
<strong>Quantenmechanik</strong> I SS 2004 – Wege zur <strong>Quantenmechanik</strong> 4<br />
Experimente der <strong>Quantenmechanik</strong>:<br />
* Hohlraumstrahlung (Schwarz-Körper-Strahlung):<br />
Dies war der Ausgangspunkt von Planck. Es geht um die Energieverteilung in einem Schwarzen<br />
Körper in Abhängigkeit von der Frequenz. Dabei realisiert man einen Schwarzen Körper als<br />
Hohlraum, bei dem die Wände auf konstanter Temperatur gehalten werden.<br />
• Kirchhoff (1860): Energiedichte eines Hohlraumes ist u ( ν ,T )<br />
3<br />
• Wien (1894): Er fand, dass u ( ν , T)<br />
∝ ν und der Zusammenhang zwischen der Frequenz und<br />
der Temperatur geht wie ν T . Er stellte schließlich sein Gesetz auf, das Wien’sche Gesetz:<br />
u(<br />
ν , T)<br />
= αν<br />
3<br />
⋅ e<br />
βν<br />
−<br />
T<br />
Diese Gesetz gilt aber nur bei hohen Frequenzen, bei niedrigen Frequenzen hingegen fanden<br />
zwei andere Physiker einen anderen Zusammenhang:<br />
• Rayleigh, Jeans (1900, 1905): Dabei arbeiteten sie mit den Moden (stationäre<br />
2 3<br />
Eigenschwingungen des elektromagnetische Feldes) N( ν ) = 8π<br />
ν c . Mithilfe der<br />
statistischen Mittel Boltzmanns flogt schließlich das Rayleigh-Jeans’sche Strahlungsgesetz:<br />
u<br />
2<br />
8πν<br />
k T<br />
( ν , T ) =<br />
3<br />
c<br />
B<br />
Das Problem dieses Gesetzes ist, dass es nur bei niedrigen Frequenzen gilt. Bei hohen<br />
Frequenzen würde es nämlich zu einer nicht beobachteten Ultraviolettkatastrophe kommen.<br />
Somit kam Max Planck auf die Idee einer „glücklichen Interpolationsformel“:<br />
• Planck (1900): u( ν T )<br />
2<br />
8πν<br />
k T<br />
hν<br />
k<br />
B<br />
B<br />
, = ⋅<br />
3 hν<br />
kBT<br />
c<br />
e<br />
T<br />
−1<br />
Dabei sieht man, dass der Interpolationsterm für kleine Frequenzen entwickelt<br />
werden kann und es folgt das Rayleich-Jeans’sche Strahlungsgesetz:<br />
e<br />
hν<br />
kBT<br />
hν<br />
≈ 1+<br />
k T<br />
B<br />
+ O<br />
2<br />
2 8πν<br />
( ν ) ⇒ u( ν , T ) =<br />
3<br />
c<br />
k<br />
B<br />
T<br />
Für große Frequenzen kann man (-1) im Nenner vernachlässigen und es folgt das Wien’sche<br />
Gesetz:<br />
e<br />
hν<br />
kBT<br />
−1<br />
≈ e<br />
hν<br />
kBT<br />
⇒<br />
u<br />
8πhν<br />
3<br />
c<br />
3<br />
hν<br />
−<br />
−<br />
kBT<br />
3 T<br />
( ν , T ) = ⋅e<br />
= αν ⋅e<br />
βν<br />
Zum Interpolationsterm kommt man mithilfe der Beziehung zwischen der mittleren Energie<br />
und Frequenz. Dies ist die Begründung für die Quantenidee, dass es nämlich kein<br />
kontinuierliches Integral darstellt, sondern eine diskrete Summe. Die Energie kann immer nur<br />
in Vielfachen von hν<br />
auftreten.
<strong>Quantenmechanik</strong> I SS 2004 – Wege zur <strong>Quantenmechanik</strong> 5<br />
Zur Gleichung für den Interpolationsterm kommt man über die Beziehung zwischen der<br />
Mittleren Energie in Abhängigkeit von der Frequenz und der Temperatur. Wir verwenden<br />
hier β = 1 T<br />
k B<br />
E<br />
( ν , T )<br />
=<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
0<br />
∞<br />
nhνe<br />
∑<br />
n=<br />
0<br />
e<br />
−nhνβ<br />
−nhνβ<br />
= %<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
0<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
0<br />
nhνe<br />
e<br />
−nhνβ<br />
−nhνβ<br />
= −<br />
1<br />
=<br />
1−<br />
e<br />
∂<br />
∂<br />
−hνβ<br />
⎛<br />
⎜<br />
β ⎝<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
0<br />
e<br />
−nhνβ<br />
⎞ ∂ ⎛ 1<br />
⎟ = − ⎜<br />
⎠ ∂β<br />
⎝1−<br />
e<br />
−hνβ<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
=<br />
hνe<br />
−hνβ<br />
−hνβ<br />
( 1−<br />
e )<br />
2<br />
E<br />
( ν , T )<br />
=<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
0<br />
∞<br />
nhνe<br />
∑<br />
n=<br />
0<br />
e<br />
−nhνβ<br />
−nhνβ<br />
=<br />
hνe<br />
−hνβ<br />
−hνβ<br />
( 1−<br />
e )<br />
2<br />
⋅<br />
−hνβ<br />
( 1−<br />
e )<br />
=<br />
hνe<br />
−hνβ<br />
=<br />
hν<br />
−hνβ<br />
hνβ<br />
( 1−<br />
e ) e −1<br />
Hierbei wurde h als das Planck’sche Wirkungsquantum eingeführt. In Formeln hingegen<br />
−34<br />
−15<br />
verwendet man dann meist ! = h 2π = 1,054 ⋅10<br />
Nm ⋅ s = 0,668⋅10<br />
eV ⋅ s . Da diese<br />
Konstante die Einheit einer Energie ⋅ Zeit = Wirkung hat, heißt sie Wirkungsquantum.<br />
Die schwarze Kurve ist die Interpolationskurve von Planck. Die Rayleigh-Jeans-Kurve passt nur<br />
für niedrige Frequenzen (dunkelgrau), die Wien’sche Kurve (hellgrau) passt erst bei hohen<br />
Frequenzen.
<strong>Quantenmechanik</strong> I SS 2004 – Wege zur <strong>Quantenmechanik</strong> 6<br />
* Photoelektrischer Effekt:<br />
Dieser Versuch wurde bereits 1887 von<br />
Hertz durchgeführt, die Erklärung dafür<br />
gelang aber erst 1905 von Einstein (erhielt<br />
dafür dann auch den Nobelpreis). Weiters<br />
experimentierten damit Lewis, Millikan...!<br />
Dabei wird Metall mit einer<br />
hochfrequenten Strahlung angestrahlt,<br />
wobei dann Elektronen emittiert werden.<br />
Dabei beobachtet man einige Tatsachen:<br />
Strahlung<br />
Elektron<br />
• Bei Erhöhung der Intensität kommt es zu einer Erhöhung der Elektronenanzahl<br />
• Elektronen werden erst über einer Grenzfrequenz ν ≥ ν 0<br />
herausgeschlagen (vom Material<br />
abhängig)<br />
• Die kinetische Energie der Elektronen ist proportional zu ν − ν 0<br />
und intensitätsunabhängig<br />
Die erste Tatsache passt noch zum Wellenbild, jedoch die zweite und dritte nicht mehr. Verwendet<br />
man jedoch eine Quantentheorie des Lichts, kann man diese Erscheinung problemlos erklären.<br />
Zunächst muss eine Austrittsarbeit geleistet werden. Hat das Photon zu wenig Energie ( E ≤ hν 0<br />
),<br />
wird kein Elektron herausgeschlagen. Überschreitet die Energie jedoch diesen Grenzwert, wird die<br />
restliche Energie dazu verwende, kinetische Energie zu übertragen ( E kin = h ν −ν ) ).<br />
* Compton Effekt:<br />
(<br />
0<br />
Dieser Effekt wurde von Compton 1921<br />
beobachte. Dabei kommt es zu dem Effekt,<br />
dass, wenn Photonen mit bestimmter<br />
Wellenlänge auf eine Graphitplatte<br />
geschossen werden, diese in Abhängigkeit<br />
von der Wellenlänge in verschiedenen<br />
Winkeln reflektiert werden. Die Berechnung<br />
dieses Effekts ist nicht sehr kompliziert, da<br />
eigentlich nur das Teilchen-Bild (Photonen<br />
als Energiepakete) und die Spezielle<br />
Relativitätstheorie verwendet werden.<br />
J(O)<br />
J(O’)<br />
T(O’)<br />
h<br />
m ⋅c<br />
h<br />
m ⋅ c<br />
Als Formel erhält man dabei: λ'<br />
−λ<br />
= ⋅( 1−<br />
cosθ<br />
) = ⋅( 2sin( θ 2<br />
)<br />
e<br />
Da wir mit der Speziellen Relativitätstheorie rechnen, verwenden wir hier den Energie-Impuls-Vektor.<br />
Die Energie des Quants sei E = hν<br />
und die Masse des Elektrons (das vor dem Stoß ruht) sei m<br />
e<br />
.<br />
e<br />
γ :<br />
e<br />
−<br />
:<br />
γ’<br />
γ e θ<br />
O<br />
e’<br />
Massenschalenbedingung:<br />
2<br />
2 2<br />
E − p c =<br />
Weiters gilt, dass der Viererimpuls erhalten bleiben<br />
muss. Der Gamma-Quant hat keine Ruhemasse (m = 0):<br />
( E c,<br />
E c,0,0)<br />
γ ': ( E'<br />
c,<br />
E'<br />
c ⋅cosθ<br />
, E'<br />
c ⋅sinθ<br />
,0)<br />
( mc,0,0,0) −<br />
e ': ( E c + mc − E'<br />
c,<br />
E c − E'<br />
c ⋅ cosθ<br />
, E'<br />
c ⋅sinθ<br />
,0)<br />
m<br />
2<br />
c<br />
4
<strong>Quantenmechanik</strong> I SS 2004 – Wege zur <strong>Quantenmechanik</strong> 7<br />
Setzt man nur diese Betrachtung für das Elektron in die Massenschalenbedingung ein, erhält man<br />
schließlich mit der Formel λ = c / ν :<br />
2 2<br />
2<br />
( E c + mc − E'<br />
c) ⋅c<br />
− ( E c − E'<br />
c ⋅cosθ<br />
, E'<br />
c ⋅sin<br />
θ ,0)<br />
⋅ c<br />
2 2<br />
2<br />
( E c + mc − E'<br />
c) ⋅c<br />
− ( E / c − E'<br />
c ⋅ cosθ<br />
) + ( E'<br />
c ⋅sin<br />
θ )<br />
2 2 2 4<br />
( ) ⋅ c = m c<br />
2 2 4 2<br />
2<br />
2 2<br />
2 2 2 2<br />
( E + m c + E'<br />
+ 2Emc<br />
− 2EE'<br />
−2E'<br />
mc ) − ( E − 2EE'cosθ<br />
+ E'<br />
cos θ + E'<br />
⋅sin<br />
θ )<br />
2 2 4 2<br />
2<br />
2 2<br />
2 2 2 2<br />
( E + m c + E'<br />
+ 2Emc<br />
− 2EE'<br />
−2E'<br />
mc − E + 2EE'cosθ<br />
− E'<br />
cos θ − E'<br />
⋅sin<br />
θ ) =<br />
2<br />
2<br />
( 2Emc<br />
− 2EE'<br />
−2E'<br />
mc + 2EE'cosθ<br />
) = 0<br />
2hνmc<br />
mc<br />
mc<br />
mc<br />
2<br />
2<br />
3<br />
⋅<br />
⋅<br />
⋅<br />
2<br />
2<br />
− 2h<br />
νν ' −2hν<br />
' mc<br />
( ν −ν<br />
') = hνν<br />
' ⋅( 1−<br />
cosθ<br />
)<br />
2<br />
( c λ − c λ'<br />
) = h( c ( λλ')<br />
) ⋅( 1−<br />
cosθ<br />
)<br />
( λ'<br />
−λ<br />
λλ'<br />
)<br />
= hc<br />
h<br />
λ'<br />
−λ<br />
= ⋅ (1 − cosθ<br />
)<br />
m ⋅ c<br />
2<br />
2<br />
2<br />
+ 2h<br />
νν ' cosθ<br />
= 0<br />
λλ'<br />
⋅ (1 − cosθ<br />
)<br />
2<br />
2<br />
= m c<br />
4<br />
2<br />
= m c<br />
m<br />
2<br />
c<br />
4<br />
4<br />
Die Massenschalenbedingung lautet wie bereits gesagt:<br />
2<br />
2 2 2 4<br />
− p c m c .<br />
E =<br />
Betrachten wir nur die x-Komponente und setzen c = 1, dann ist dies eine Hyperbelgleichung<br />
2 2 2<br />
E − p<br />
x<br />
= m . Dabei ist die Masse der Abschnitt auf der Energieachse. Für m > 0 erhalten wir<br />
eine Hyperbel, die in allen Raumdimensionen betrachtet eine Schale wäre, für m = 0 erhalten wir den<br />
Lichtkegel.<br />
E<br />
E<br />
m>0<br />
p m=0 p<br />
* Doppelspaltexperiment:<br />
Dieses Experiment stammt eigentlich aus der Optik. Dort kommt es, wenn eine ebene Lichtwelle auf<br />
einen Spalt fällt, zu Interferenzerscheinungen, da die Spalten Ausgangspunk von Kugelwellen sind,<br />
die entweder konstruktiv oder destruktiv interferieren. Verdünnt man das Licht dermaßen, dass nur<br />
noch einzelne Photonen auf den Schirm fallen, kommt es noch immer zur Interferenz („interferieren<br />
mit sich selbst“). Und selbst Elektronen, Neutronen, Fullarene (Kohlenstoff-Kugelpackungen)<br />
interferieren.<br />
ψ<br />
−iωt+<br />
ik r<br />
−iωt<br />
−ikr1 −iωt<br />
−ikr2<br />
( r, t) ∝ e<br />
ψ<br />
1( r1<br />
, t) = e ⋅e<br />
r1<br />
und ψ<br />
2<br />
( r2<br />
, t) = e ⋅e<br />
r2<br />
Die Addition dieser beiden Funktionen<br />
2<br />
I = ψ 1 + ψ 2<br />
führt wieder zu einem Interferenzmuster!
<strong>Quantenmechanik</strong> I SS 2004 – Wege zur <strong>Quantenmechanik</strong> 8<br />
*Atommodell:<br />
Nach dem Rutherford’schen Atommodell kreisen die Elektronen auf Bahnen um den Kern. Das<br />
Problem dabei ist, dass beschleunigt bewegte Objekte abstrahlen würden und somit Energie verlieren<br />
müssten und das Elektron schließlich in den Kern stürzen müsste.<br />
Deshalb postulierte Niels Bohn 1913, dass sich Elektronen in bestimmten Energieniveaus befinden, in<br />
denen sie nicht abstrahlen. Es kann somit nicht zu kontinuierlichen Übergängen der Energie kommen,<br />
sondern immer nur zu diskreten Übergängen zwischen stationären Zuständen. Dabei gilt dann immer:<br />
∆ E =<br />
Ei − E j = hν<br />
Dabei stellte auch er sich zunächst Kreisbahnen vor, jedoch in jener Form, dass der Drehimpuls auch<br />
gequantelt ist: L = n!<br />
. Unter der Annahme von stationären Bahnen, muss das Zentrifugalpotential<br />
gleich groß wie das Coulombpotential sein. Weiters muss man den Rückstoß des Kern<br />
berücksichtigen, weswegen man mit der reduzierten Masse rechnet. Da die Masse des Elektrons<br />
jedoch fast das 2000fache geringer ist als die Masse des Kerns, entspricht die reduzierte Masse<br />
ungefähr der Elektronenmasse. Die Vorfaktoren im Coulombfeld werden hierbei in die Konstante Z<br />
mitgenommen. Für den effektiven, klassischen Bahnradius („Bohrradius“ mit n = 1) erhält man<br />
damit:<br />
2<br />
L<br />
2µ<br />
r<br />
r<br />
2<br />
BOHR<br />
2<br />
n<br />
=<br />
2µ<br />
r<br />
!<br />
!<br />
2<br />
2<br />
=<br />
µ Ze<br />
2<br />
2<br />
Ze<br />
=<br />
r<br />
2<br />
≈ 4,3 ⋅10<br />
2<br />
n<br />
⇒ −<br />
µ r<br />
−11<br />
m<br />
!<br />
3<br />
2<br />
Ze<br />
= −<br />
2<br />
r<br />
Für die Bindungsenergie in diesem stationären Zustand erhalten wir dann schließlich:<br />
2<br />
L<br />
2µ<br />
r<br />
2<br />
Ze<br />
−<br />
r<br />
2<br />
µ ⎛ Z e<br />
− ⋅<br />
2<br />
2<br />
⎜<br />
⎝ n !<br />
2<br />
4<br />
2<br />
c<br />
c<br />
2 2<br />
n ⎛ µ Ze<br />
= ⋅<br />
2<br />
2µ<br />
⎜<br />
⎝ n ⋅<br />
2<br />
2<br />
!<br />
⎞ µ<br />
⎟ = − ⋅<br />
⎠ 2<br />
!<br />
2<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2<br />
1<br />
n<br />
2<br />
( Zαc) 2<br />
Ze<br />
−<br />
2<br />
n<br />
!<br />
2<br />
2<br />
2<br />
⋅ µ Ze<br />
2<br />
2<br />
µ Z<br />
=<br />
2µ<br />
n<br />
2<br />
2<br />
e<br />
!<br />
4<br />
2<br />
2 2<br />
2µ<br />
Z e<br />
−<br />
2 2<br />
2µ<br />
n<br />
!<br />
4<br />
µ ⎛ Z<br />
= − ⋅<br />
2<br />
⎜<br />
⎝ n<br />
2<br />
2<br />
e<br />
!<br />
4<br />
2<br />
⎞<br />
⎟ =<br />
⎠<br />
Dabei wurde die Feinstrukturkonstante α =<br />
2<br />
e<br />
⋅c<br />
!<br />
=<br />
1<br />
137,036<br />
eingeführt.<br />
Mithilfe dieser Entdeckung wurde schließlich auch das Ritz’sche Kombinationsprinzip von 1908<br />
verständlich, welches eine Formel für die Berechnung der Wellenlänge von Emissionslinien darstellte:<br />
⎛ 1 1 ⎞<br />
ν = R ⋅⎜<br />
−<br />
2 2<br />
⎟ mit R = Rydbergkonstante (nun konnte sie rechnerisch bestimmt werden)<br />
⎝ n m ⎠<br />
Es ergibt sich somit als Frequenz für den Übergang zwischen zwei Energieniveaus:<br />
E<br />
ν<br />
mn<br />
mn<br />
= E<br />
m<br />
1<br />
= ⋅<br />
h<br />
− E<br />
= hν<br />
( E − E )<br />
m<br />
n<br />
n<br />
mn<br />
µ<br />
= ⋅<br />
2<br />
2<br />
( Zαc) 1 1 µ ⋅( Zαc)<br />
⎛ ⎞<br />
⋅⎜<br />
− ⎟ =<br />
2 2<br />
2π! ⎝ n m ⎠ 4π!<br />
2<br />
⎛ 1<br />
⎜<br />
2<br />
⎝ n<br />
1<br />
−<br />
m<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠
<strong>Quantenmechanik</strong> I SS 2004 – Wege zur <strong>Quantenmechanik</strong> 9<br />
* Franck-Hertz-Versuch:<br />
Dieser Versuch von Franck und Hertz<br />
aus dem Jahr 1914 war ein weiterer<br />
Nachweis für die Energiequantelung<br />
zwischen verschiedenen Anregungszuständen.<br />
Dazu werden in einer<br />
Quecksilberdampflampe Elektronen aus<br />
einer Glühkathode emittiert und auf ein<br />
Gitter hin, welches auf einer variablen<br />
Spannung U gehalten wird,<br />
beschleunigt. Der Schirm dahinter wird<br />
auf einer Spannung U - ∆U gehalten<br />
und die Elektronen werden abgebremst.<br />
Sie erreichen den Schirm nur dann,<br />
wenn ihre Energie größer als E ⋅ ∆U<br />
ist.<br />
Dahinter wird dann die Stromstärke in<br />
Abhängigkeit der Spannung U<br />
gemessen. Man erkennt dann, dass bis<br />
zu 4,86eV die Stromstärke steigt, dann<br />
aber wieder abfällt. Quantenmechanisch<br />
kann man dies so erklären, dass es,<br />
wenn die Elektronen eine Energie<br />
>4,86eV haben, zu Stößen und<br />
Anregungen von Quecksilberatomen<br />
vom Energiezustand n = 1 auf n = 2<br />
kommt, die Elektronen dabei Energie<br />
verlieren und somit nicht mehr auf den<br />
Schirm gelangen können.<br />
V<br />
U<br />
G<br />
S<br />
∆U<br />
I<br />
* Stern-Gerlach-Versuch:<br />
Dieser Versuch wurde das erste Mal<br />
1921 und 1922 von Stern und Gerlach<br />
durchgeführt. Dabei wurden Silberatome<br />
in einem Ofen verdampft, die<br />
dann in ein Vakuum flogen und<br />
schließlich durch einen Blende<br />
gesammelt wurden. Dann wurde der<br />
Strahl durch ein Magnetfeld geschickt,<br />
das jedoch nicht homogen war, sondern<br />
in dem es zu einer Feldlinienverdünnung<br />
kommt.<br />
Ofen<br />
Blende<br />
∂B Diese Feldlinienverdünnung lässt sich folgendermaßen ausdrücken: z<br />
< 0<br />
∂z<br />
S<br />
N<br />
z-Richtung<br />
Würde man eine klassische Rechnung durchführen, würde man folgendermaßen vorgehen:<br />
Die Silberatome besitzen ein magnetisches Moment:<br />
µ ∝ −s<br />
Die Energie im Magnetfeld ist gegeben durch: U<br />
= −µ<br />
⋅ B<br />
∂<br />
∂<br />
= − − µ ⋅ B = µ ⋅<br />
∂z<br />
∂z<br />
Als Kraft auf die Silberatome ergibt sich somit: ( ) B<br />
F z
<strong>Quantenmechanik</strong> I SS 2004 – Wege zur <strong>Quantenmechanik</strong> 10<br />
Klassisch würde sich also entweder eine Kraft nach oben<br />
oder nach unten ergeben, je nachdem, ob z < 0 (Kraft<br />
nach oben) oder ob nach oben oder nach unten ergeben, je<br />
nachdem, ob z > 0 (Kraft nach unten).<br />
Klassisch würde man also erwarten, dass: __” z ”__<br />
und somit die Schwärzungskurve einer Normalverteilung<br />
ähneln würde.<br />
Die Messung jedoch ergab zwei scharf getrennte<br />
Maxima. Es kam also zu einer spontanen Aufspaltung<br />
zwischen zwei Einstellungen. Dazwischen gibt es nichts.<br />
Wir bezeichnen diese Eigenschaft bereits jetzt als s z , da es<br />
sich ja bekanntlich dabei um den Spin handeln wird.<br />
Schwärzungskurve<br />
Klassisch vermutete Kurve<br />
Schwärzungskurve<br />
s 2 s 2<br />
z<br />
= −!<br />
z<br />
=!<br />
Interessant wird es nun, wenn wir Sequenzen von Stern-Gerlach-Messungen durchführen. Es wird<br />
sich dabei herausstellen, dass der Spin keine klassische, statische Eigenschaft ist, sondern eine<br />
veränderliche Eigenschaft. Betrachten wir zunächst (a) einen einzigen Stern-Gerlach-Apparat mit<br />
Magnetfeld in z-Richtung. Wir erhalten bei einer Messung zwei Maxima, eines bei s z = +1, eines bei<br />
s z = -1 (genormt auf 1). Weiters betrachten wir (b) einen einzigen Stern-Gerlach-Apparat mit<br />
Magnetfeld in x-Richtung. Wir erhalten bei einer Messung zwei Maxima, eines bei s x = +1, eines bei<br />
s x = -1. Nun (c) koppeln wir 2 Stern-Gerlach-Apparate dermaßen, dass beide in z-Richtung das<br />
Magnetfeld besitzen. Nach Durchgang durch Gerät 1 wird s z = -1 weggeblendet und nur der Strahl bei<br />
s z = +1 wird nochmals durch Gerät 2 geschickt. Wir erhalten hierbei, dass wir nach Durchgang durch<br />
Gerät 2 weiterhin nur eine s z = +1 Komponente vorhanden ist. Dann (d) betrachten wir 2 Stern-<br />
Gerlach-Apparate dermaßen, dass der erste in z-Richtung, der zweite in x-Richtung das<br />
Magnetfeld besitzt. Nach Durchgang durch Gerät 1 wird s z = -1 wieder weggeblendet. Der Strahl s z =<br />
+1 wird dann durch den zweiten Stern-Gerlach-Apparat geschickt. Was wir erhalten ist sowohl eine<br />
Komponente s x = +1, als auch eine Komponente s x = -1. Schließlich (e) betrachten wir den Fall von 3<br />
Stern-Gerlach-Apparaten, zunächst der erste in z-Richtung, der zweite in x-Richtung, der dritte<br />
wieder mit Magnetfeld in z-Richtung. Nach Durchgang durch Gerät 1 wird s z = -1 wieder<br />
weggeblendet. Der Strahl s z = +1 wird dann durch den zweiten Stern-Gerlach-Apparat geschickt. Nach<br />
Durchgang wird wiederum die s x = -1 Komponente weggeblendet und nur die s x = +1 Komponente<br />
durch den dritten Stern-Gerlach-Apparat gelassen. Was wir hier wiederum erhalten sind beide<br />
Komponenten, sowohl s z = +1 als auch s z = -1.<br />
s z = +1 s x = +1<br />
a) Z b) X<br />
s z = -1 s x = -1<br />
s z = +1 s z = +1<br />
c) Z Z<br />
s z = +1 s x = +1<br />
d) Z X<br />
s x = -1<br />
s z = +1 s x = +1 s z = +1<br />
e) Z X Z<br />
s z = -1
<strong>Quantenmechanik</strong> I SS 2004 – Wege zur <strong>Quantenmechanik</strong> 11<br />
Wie man aus diesen Betrachtungen erkennen kann, sind diese s x , s x keine invarianten Eigenschaften.<br />
Sie sind vielmehr solche Eigenschaften, die nicht gleichzeitig gemessen werden können (dies ist z.B.<br />
völlig ungleich zum klassischen Drehimpuls).<br />
Als Analogie dazu betrachten wir hier polarisiertes Licht. Dies kann helfen, das bis jetzt diskutierte<br />
besser zu verstehen. Gegeben sei monochromatisches Licht, das linear polarisiert werden kann. So<br />
sei z.B. φ = 0° senkrecht polarisiertes Licht, φ = 45° schräg polarisiertes Licht und φ = 90° waagrecht<br />
polarisiertes Licht. Für den Feldstärkevektor gilt:<br />
E = E ⋅ε<br />
⋅expi<br />
0<br />
( k x − ωt)<br />
Der erste Versuch (a) entspricht nun der Kombination zweier Z-Apparate. Das Licht wird hier<br />
zunächst senkrecht polarisiert und dann wieder durch einen senkrechten Polarisator geschickt. Was<br />
herauskommt ist senkrecht polarisiertes Licht. Der zweite Versuch (b) entspricht nun der<br />
Kombination zweier Z-Apparate, wobei hier jedoch zunächst senkrecht polarisiertes Licht erzeugt<br />
wird (s z = +1) und dann beobachtet wird, was nach dem zweiten Apparat, einem waagrechten<br />
Polarisator, an der Stelle s z = -1 herauskommt. Es kommt nichts heraus. Schließlich (c) wird Licht<br />
zunächst senkrecht polarisiert (s z = +1), dann wird dieser Strahl durch einen schrägen Polarisator<br />
geschickt und wir erhalten somit schräg polarisiertes Licht (s x = +1), lassen wir nun diesen Strahl<br />
wieder durch einen senkrechten (oder waagrechten) Polarisator laufen, wird weiterhin immer wieder<br />
senkrecht (oder waagrecht) polarisiertes Licht herauskommen (s z = +1 oder s z = -1)<br />
Senkrecht polarisiert<br />
a) φ = 0° φ = 0°<br />
Senkrecht polarisiert<br />
Senkrecht polarisiert<br />
b) φ = 0° φ = 90°<br />
nichts<br />
Senkrecht schräg Senkrecht<br />
c) φ = 0° φ = 45° φ = 0°<br />
Dies liegt daran, dass bei einer Drehung um nur 45° immer wieder eine Komponente des Vektors<br />
übrig bleibt, der dann entweder in die senkrechte oder in die waagrechte Richtung projiziert werden<br />
kann.