Gleichungen lösen – Wie mach ich das? - HIB

Weiteres Beispiel:
x 4 - 5x 2 - 36 = 0
(x 2 ) 2 - 5x 2 - 36 = 0 | Z = x 2 substituieren
Z 2 - 5Z - 36 = 0 | quadratiche Gleichung für Z lösen
Z 1 = 9 , Z 2 = -4 | x 2 = Z rückgängig machen
2 2
x 1 = Z 1 = 9 , x 2 = Z 2 = -9
Hier ist die Wurzel für x 1 berechenbar. Wir gewinnen zwei Lösungen für die ursprüngliche Gleichung, nämlich
3 und -3. In den reellen Zahlen gibt es keine weiteren Lösungen, da es aus -9 keine Quadratwurzel gibt. In den
komplexen Zahlen kämen noch die dritte und vierte Lösung 3i und -3i dazu.
6. Wurzelgleichungen
Was tun, wenn in der zu lösenden Gleichung Wurzeln auftauchen? Erstens: nicht verzagen, zweitens: was hilft
gegen Wurzeln? Potenzieren.
x−2 = 4 hoch 2
x−2 = 16
x = 18
Zur Kontrolle setzen wir ein: die Wurzel aus 18-2 ist tatsächlich4.
Aber Achtung:
x−2 = 2x−1
x−2 = 2x−1
−1=x
quadrieren
Ist dieses errechnete -1 die Lösung? Setzen wir in die Angabe ein. Die linke Seite der Gleichung wird dann
−1−2=−3 , und die Wurzel aus einer negativen Zahl ist in R nicht möglich – die gegebene Gleichung
hat folglich KEINE LÖSUNG!
Wir haben weiter oben schon festgestellt: Potenzieren ist KEINE Äquivalenzumformung, wir müssen die
errechneten Zahlen zur Kontrolle in die Angabe einsetzen. Nur die Werte, für die alle Bestandteile der
Gleichung sinnvoll sind und die diese Gleichung erfüllen, sind Lösung.
7. Vektorgleichungen
Diese Gleichungen sind sehr einfach zu lösen. Vektorgleichungen gelten immer koordinatenweise, wir können
in einzelne Zeilen auftrennen und gewinnen ein normales lineares Gleichungssystem.
x−3 k
y2 k = 2⋅ 2
−5
4 k
Dies entspricht einem Gleichungssystem in 3 Variablen:
x – 3k = 4
y + 2k = -10
4 = 2k
Und lineare Gleichungssysteme sind uns bereits vertraut.
8. Systeme mit quadratischen Gleichungen
Ein Spezialfall kommt bei den Aufgaben zu Kreisen und Kegelschnitten vor.
k: x 2 + y 2 -4x +3y = 20
g: 3x – y = 5
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HIB Wien --- Gleichungen lösen v0.98 urban 1/2011 S. 9