Gleichungen lösen – Wie mach ich das? - HIB

probieren: x=1 1 -1 -5 +6 = 1, nicht Null, +1 ist keine Lösung
probieren: x=-1 -1 -1 +5 +6 = 9, nicht Null, -1 ist keine Lösung
probieren: x=2 8 -4 -10+6 = 0, JUHUU! 2 ist eine Lösung
ich notiere die erste gefundene Lösung x 1 = 2
jetzt spalte ich den zu dieser Lösung gehörigen Linearfaktor (x-2) ab.
x 3 – x 2 - 5x – 6 : (x-2) = x 2 + x - 3
∓x 3 ± 2x 2
---------------
x 2 -5x
∓x 2 ±2x
-------
-3x + 6
±3x ∓ 6
------
0 Rest, das passt
Jetzt müssen wir uns nur mehr um eine quadratische Gleichung kümmern und sind einen Schritt näher an der
Lösung der Aufgabe, wir haben den Grad um eins verringert.
x 2 + x – 3 = 0
x 2,3 =− 1 2 ± 1 2 23
Da wenden wir die Formel an.
x 2,3 =− 1 2 ± 13 4
x 2 = −1−13 , x
2
3 = −113
2
Somit haben wir alle drei Lösungen gefunden, mehr kann es bei einer Gleichung dritten Grades auch nicht
geben.
Spezialfall:
Wie könnten wir folgende Gleichung lösen:
x 6 + 7x 3 - 8 = 0
Eine Gleichung sechsten Grades, doch kommen nur wenige Hochzahlen vor. x 5 ,x 4 ,x 2 ,x 1 fehlen, nur die
Exponenten 6, 3 und 0 treten auf. Idee: das sind lauter Vielfache von 3: 2*3, 1*3, 0*3. Ich könnte die gegebene
Gleichung so schreiben:
(x 3 ) 2 + 7x 3 - 8 = 0
Das sieht aus wie eine quadratische Gleichung, nur nicht nach x, sondern nach x 3 aufzulösen. Am besten
erfinden wir eine neue Variable, ich will sie T nennen (jede andere Bezeichnung wäre auch möglich). Es
entsteht ein Gleichungssystem. (Wir erfinden eine zusätzliche Gleichungszeile, deren Substitution die
ursprüngliche Gleichung ergibt)
I) T = x 3
II) T 2 + 7T - 8 = 0
Die zweite Gleichung lässt sich sofort lösen (Formel oder Vieta im Kopf)
T 1 = 1 , T 2 = -8
Und nun setzen wir in die erste Zeile ein:
x 1
3
= T 1 = 1 , x 2
3
= T 2 = -8
Diese dritten Wurzeln können wir berechnen: x 1 = 1, x 2 = -2 und damit ist die Gleichung (in den reellen
Zahlen) gelöst.
HIB Wien --- Gleichungen lösen v0.98 urban 1/2011 S. 8