Gleichungen lösen â Wie mach ich das? - HIB
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Das doppelte Vorzeichen kommt immer dann, wenn in den reellen Zahlen eine gerade Wurzel (zweite, vierte, sechste,...) gezogen wird. Die Zahl unter dem Wurzelzeichen darf nicht negativ sein. Bei ungeraden Wurzeln ist 3 3 alles einfacher (bijektive Abbildung) 64=4 , −64=−4 In den komplexen Zahlen ist die Sache viel leichter: für die n-te Wurzel gibt es genau n unterschiedliche Lösungen. 4b Kinderleicht z 2 - 8z + 16 = 9 mir fällt auf, dass die linke Seite als Quadrat eines Binoms geschrieben werden kann. (z – 4) 2 = 9 und nun kann ich auf beiden Seiten die Wurzel ziehen. Das +/- stelle ich immer auf die Seite der Zahl. z – 4 = ±3 | +4 z = 4 ± 3 Wir erhalten die zwei Lösungen 4-3 = 1 und 4+3 = 7 4c auch nicht schwer Wenn nicht wie oben ein vollständiges Quadrat vorliegt, kann man ja eines basteln. z 2 - 8z = -7 Damit links -8x steht, muss in der Klammer x-4 stehen. Wenn man (x-4) ausquadriert, kommt als dritter Summand +16 hinzu. Dieser Wert steht nicht in der Angabe, wir ergänzen ihn durch beidseitige Addition z 2 - 8z + 16 = -7 + 16 (z – 4) 2 = -7 + 16 (z – 4) 2 = 9 und weiter geht’s wie oben. 4d mit Formel Wenn man nicht tüfteln will, kann man den Gedankengang aus 4c einmal mit Buchstaben durchrechnen und dann die entstehende Formel auswendig lernen. Die kann man mit etwas Übung so flott anwenden, dass man sie fast immer einsetzt.. Wichtig: die Ausgangsgleichung muss in die Form x 2 + px +q = 0 gebracht werden. Vor dem Quadrat steht ein Einser (nötigenfalls die Gleichung dividieren), vor der Variable steht p, die Konstante ist q, rechts steht Null. x 2 pxq = 0 x 2 2⋅ p 2 ⋅x p 2 2 − p 2 2q = 0 x p 2 2 − p 2 2q = 0 x p 2 2 = p 2 2−q x p 2 = ± p 2 2−q x = − p 2 ± p 2 2−q Wenn unter dem Wurzelzeichen eine negative Zahl steht, gibt es keine reelle Lösung. Wenn eine Null steht, gibt es eine einzige Lösung. Wenn der Ausdruck in der Wurzel (er wird die 'Diskriminante' genannt) positiv ist, gibt es zwei Lösungen. HIB Wien --- Gleichungen lösen v0.98 urban 1/2011 S. 6
Beobachtungen, Satz von Vieta Schon diesem alten Franzosen ist folgendes aufgefallen: Die Zahl q ist immer das Produkt der beiden Lösungen, das p die Summe der Lösungen mit umgekehrtem Vorzeichen. Nennen wir die Lösungen x 1 und x 2 . x 2 + px + q = x 2 –(x 1 +x 2 )x + x 1 x 2 = x 2 –x 1 x -x 2 x + x 1 x 2 = (x-x 1 ).(x-x 2 ) das können wir als Produkt von zwei Klammern schreiben Sehen wir uns die erste und letzte Zeile nochmals an: sie sind durch reine Umformung auseinander entstanden, also können wir sie zu einer Gleichung machen. x 2 + px + q = (x-x 1 ).(x-x 2 ) Die Gleichung x 2 +px+q=0 ist gleichwertig mit der Gleichung (x-x 1 ).(x-x 2 )=0. Letztere ist ein Produkt, das Null ergibt. Demnach muss ein Faktor gleich Null sein. Entweder ist x=x 1 , dann ist die erste Klammer Null, oder x=x 2 , dann ist die zweite Klammer Null. Angenommen, wir könnten eine Lösung x 1 der Gleichung x 2 + px +q = 0 erraten, wie finden wir dann die zweite Lösung? In diesem Fall können wir eine Division versuchen und erhalten aus obiger Zeile x 2 + px + q = (x-x 1 ).(x-x 2 ) | :(x-x 1 ) (x 2 + px + q):(x-x 1 ) = x-x 2 Ein derartiger Ausdruck (x minus Lösung) wird übrigens Linearfaktor genannt. Ein Beispiel: Wenn ich 3 in die Gleichung x 2 -7x +12 = 0 einsetze, stimmt sie. 3 ist somit eine Lösung. Wir finden die zweite Lösung durch Division ('Abspalten') des Linearfaktors x-3 ( x 2 -7x +12 ):(x-3) = x-4 -x 2 +3x ------- ∓4x +12 ±4x ∓12 ------- 0 Rest (das MUSS sein) Die zweite Lösung finden wir, indem wir das Divisionsergebnis x-4 gleich Null setzten. Das ist leicht, x=4. Beachte: Im Linearfaktor steht immer die Lösung mit dem umgekehrten Vorzeichen (es wird erst dann 'richtig' wenn die Lösung die Seite der Gleichung wechselt. X-x 1 = 0 wird zu x = x 1 ) 5. Gleichungen höheren Grades Es gibt Formeln für Gleichungen dritten und vierten Grades. Wir werden sie nicht lernen. Für höhere Grade gibt es gar keine allgemeinen Formeln mehr. Wir können jedoch den Trick des Linearfaktor-Abspaltens anwenden – vorausgesetzt wir erraten eine Lösung. Hilfe: Das konstante Glied der Gleichung ist das Produkt aller Lösungen. Wenn vor der höchsten Postenz der Gleichung ein Einser steht und alle Koeffizienten ganzzahlig sind, dann gilt: falls es ganzzahlige Lösungen der Gleichung gibt, sind diese Teiler des konstanten Gliedes. Beispiel: x 3 -x 2 +x-6 = 0 Das konstante Glied ist 6, wir probieren nur (in der Reihenfolge von einfach bis kompliziert) die Teiler von 6 durch: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6. Hier haben wir schon mit +2 Glück. Wir notieren die erste Lösung x 1 = 2 und dividieren die linke Gleichungsseite durch den zugehörigen Linearfaktor (x-2). Das ergibt einen quadratischen Ausdruck, dessen zugehörige Gleichung wir bereits lösen können (oder wir hoffen auf weitere ganzzahlige Lösungen, raten weiter und dividieren wiederum). Gleichung x 3 – x 2 - 5x + 6 = 0 HIB Wien --- Gleichungen lösen v0.98 urban 1/2011 S. 7
- Seite 1 und 2: Gleichungen lösen - Wie mach ich d
- Seite 3 und 4: Ist jede Gleichung lösbar? Nein. E
- Seite 5: nur mehr 8 Variable aufweisen. Und
- Seite 9 und 10: Weiteres Beispiel: x 4 - 5x 2 - 36
- Seite 11 und 12: x - y = 4 + t x - (-1+t) = 4 + t x
- Seite 13: x 2 - y 2 - 14x +3y = 20 x 2 + y 2
Beobachtungen, Satz von Vieta<br />
Schon diesem alten Franzosen ist folgendes aufgefallen: Die Zahl q ist immer <strong>das</strong> Produkt der beiden<br />
Lösungen, <strong>das</strong> p die Summe der Lösungen mit umgekehrtem Vorze<strong>ich</strong>en. Nennen wir die Lösungen x 1 und x 2 .<br />
x 2 + px + q =<br />
x 2 –(x 1 +x 2 )x + x 1 x 2 =<br />
x 2 –x 1 x -x 2 x + x 1 x 2 =<br />
(x-x 1 ).(x-x 2 )<br />
<strong>das</strong> können wir als Produkt von zwei Klammern schreiben<br />
Sehen wir uns die erste und letzte Zeile nochmals an: sie sind durch reine Umformung auseinander entstanden,<br />
also können wir sie zu einer Gle<strong>ich</strong>ung <strong>mach</strong>en.<br />
x 2 + px + q = (x-x 1 ).(x-x 2 )<br />
Die Gle<strong>ich</strong>ung x 2 +px+q=0 ist gle<strong>ich</strong>wertig mit der Gle<strong>ich</strong>ung (x-x 1 ).(x-x 2 )=0. Letztere ist ein<br />
Produkt, <strong>das</strong> Null ergibt. Demnach muss ein Faktor gle<strong>ich</strong> Null sein. Entweder ist x=x 1 , dann ist die erste<br />
Klammer Null, oder x=x 2 , dann ist die zweite Klammer Null.<br />
Angenommen, wir könnten eine Lösung x 1 der Gle<strong>ich</strong>ung x 2 + px +q = 0 erraten, wie finden wir dann die<br />
zweite Lösung? In diesem Fall können wir eine Division versuchen und erhalten aus obiger Zeile<br />
x 2 + px + q = (x-x 1 ).(x-x 2 ) | :(x-x 1 )<br />
(x 2 + px + q):(x-x 1 ) = x-x 2<br />
Ein derartiger Ausdruck (x minus Lösung) wird übrigens Linearfaktor genannt.<br />
Ein Beispiel: Wenn <strong>ich</strong> 3 in die Gle<strong>ich</strong>ung x 2 -7x +12 = 0 einsetze, stimmt sie. 3 ist somit eine Lösung. Wir<br />
finden die zweite Lösung durch Division ('Abspalten') des Linearfaktors x-3<br />
( x 2 -7x +12 ):(x-3) = x-4<br />
-x 2 +3x<br />
-------<br />
∓4x +12<br />
±4x ∓12<br />
-------<br />
0 Rest (<strong>das</strong> MUSS sein)<br />
Die zweite Lösung finden wir, indem wir <strong>das</strong> Divisionsergebnis x-4 gle<strong>ich</strong> Null setzten. Das ist le<strong>ich</strong>t, x=4.<br />
Beachte: Im Linearfaktor steht immer die Lösung mit dem umgekehrten Vorze<strong>ich</strong>en (es wird erst dann 'r<strong>ich</strong>tig'<br />
wenn die Lösung die Seite der Gle<strong>ich</strong>ung wechselt. X-x 1 = 0 wird zu x = x 1 )<br />
5. <strong>Gle<strong>ich</strong>ungen</strong> höheren Grades<br />
Es gibt Formeln für <strong>Gle<strong>ich</strong>ungen</strong> dritten und vierten Grades. Wir werden sie n<strong>ich</strong>t lernen. Für höhere Grade<br />
gibt es gar keine allgemeinen Formeln mehr.<br />
Wir können jedoch den Trick des Linearfaktor-Abspaltens anwenden – vorausgesetzt wir erraten eine Lösung.<br />
Hilfe: Das konstante Glied der Gle<strong>ich</strong>ung ist <strong>das</strong> Produkt aller Lösungen. Wenn vor der höchsten Postenz der<br />
Gle<strong>ich</strong>ung ein Einser steht und alle Koeffizienten ganzzahlig sind, dann gilt: falls es ganzzahlige Lösungen der<br />
Gle<strong>ich</strong>ung gibt, sind diese Teiler des konstanten Gliedes.<br />
Beispiel: x 3 -x 2 +x-6 = 0<br />
Das konstante Glied ist 6, wir probieren nur (in der Reihenfolge von einfach bis kompliziert) die Teiler von 6<br />
durch: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6.<br />
Hier haben wir schon mit +2 Glück. Wir notieren die erste Lösung x 1 = 2 und dividieren die linke<br />
Gle<strong>ich</strong>ungsseite durch den zugehörigen Linearfaktor (x-2). Das ergibt einen quadratischen Ausdruck, dessen<br />
zugehörige Gle<strong>ich</strong>ung wir bereits lösen können (oder wir hoffen auf weitere ganzzahlige Lösungen, raten<br />
weiter und dividieren wiederum).<br />
Gle<strong>ich</strong>ung x 3 – x 2 - 5x + 6 = 0<br />
<strong>HIB</strong> <strong>Wie</strong>n --- <strong>Gle<strong>ich</strong>ungen</strong> lösen v0.98 urban 1/2011 S. 7
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