Gleichungen lösen – Wie mach ich das? - HIB

Das doppelte Vorzeichen kommt immer dann, wenn in den reellen Zahlen eine gerade Wurzel (zweite, vierte,
sechste,...) gezogen wird. Die Zahl unter dem Wurzelzeichen darf nicht negativ sein. Bei ungeraden Wurzeln ist
3
3
alles einfacher (bijektive Abbildung) 64=4 , −64=−4
In den komplexen Zahlen ist die Sache viel leichter: für die n-te Wurzel gibt es genau n unterschiedliche
Lösungen.
4b Kinderleicht
z 2 - 8z + 16 = 9
mir fällt auf, dass die linke Seite als Quadrat eines Binoms geschrieben werden kann.
(z – 4) 2 = 9
und nun kann ich auf beiden Seiten die Wurzel ziehen. Das +/- stelle ich immer auf die Seite der Zahl.
z – 4 = ±3 | +4
z = 4 ± 3
Wir erhalten die zwei Lösungen 4-3 = 1 und 4+3 = 7
4c auch nicht schwer
Wenn nicht wie oben ein vollständiges Quadrat vorliegt, kann man ja eines basteln.
z 2 - 8z = -7
Damit links -8x steht, muss in der Klammer x-4 stehen. Wenn man (x-4) ausquadriert, kommt als dritter
Summand +16 hinzu. Dieser Wert steht nicht in der Angabe, wir ergänzen ihn durch beidseitige Addition
z 2 - 8z + 16 = -7 + 16
(z – 4) 2 = -7 + 16
(z – 4) 2 = 9
und weiter geht’s wie oben.
4d mit Formel
Wenn man nicht tüfteln will, kann man den Gedankengang aus 4c einmal mit Buchstaben durchrechnen und
dann die entstehende Formel auswendig lernen. Die kann man mit etwas Übung so flott anwenden, dass man
sie fast immer einsetzt..
Wichtig: die Ausgangsgleichung muss in die Form x 2 + px +q = 0 gebracht werden. Vor dem Quadrat steht ein
Einser (nötigenfalls die Gleichung dividieren), vor der Variable steht p, die Konstante ist q, rechts steht Null.
x 2 pxq = 0
x 2 2⋅ p 2 ⋅x p 2 2
− p 2 2q = 0
x p 2 2
− p 2 2q = 0
x p 2 2
= p 2 2−q
x p 2 = ± p 2 2−q
x = − p 2 ± p 2 2−q
Wenn unter dem Wurzelzeichen eine negative Zahl steht, gibt es keine reelle Lösung. Wenn eine Null steht, gibt
es eine einzige Lösung. Wenn der Ausdruck in der Wurzel (er wird die 'Diskriminante' genannt) positiv ist, gibt
es zwei Lösungen.
HIB Wien --- Gleichungen lösen v0.98 urban 1/2011 S. 6