Gleichungen lösen â Wie mach ich das? - HIB
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nur mehr 8 Variable aufweisen. Und so fort, bis nur mehr eine Gle<strong>ich</strong>ung in einer Variable vorliegt. Und wenn<br />
wir diese kennen, suchen wir eine Zeile mit zwei Variablen, setzen die eben erhaltene ein und gewinnen den<br />
Wert der zweite. Und diese beiden in eine Zeile mit 3 Variablen eingesetzt, liefert die dritte usw. usw. usw.<br />
Normalerweise benötigt man zur Berechnung von n Variablen n <strong>Gle<strong>ich</strong>ungen</strong>.<br />
I) 3a – b + 2c - 2d = 11<br />
II) 4a + 2b - 2c + d = 19<br />
III) 5a + b + c - d = 24<br />
IV) 3a + 2c + 3d = 19<br />
Die vierte Zeile enthält kein b. Das ist fein (wir sparen uns eine Kombination) – also bilden wir aus den übrigen<br />
Zeilen 2 Kombinationen, bei denen <strong>das</strong> b wegfällt und erhalten ein neues System<br />
I') 2I+II) 10a + 2c - 3d = 41<br />
II') II-2III) -6a - 4c + 3d = -29<br />
III') IV) 3a + 2c + 3d = 19<br />
Was sollen wir jetzt eliminieren – eigentl<strong>ich</strong> egal, aber bei d steht überall 3, wir müssen n<strong>ich</strong>t multiplizieren.<br />
I'') I'+II') 4a - 2c = 12<br />
II'') I'+III) 13a + 4c = 60<br />
Fast fertig – entweder I'') durch 2 teilen, c ausdrücken und in II'') einsetzen, oder wieder eliminieren<br />
2I''+II'') 21a = 84 | :21<br />
a = 4<br />
Die erste Variable ist gefunden. Jetzt setzen wir schrittweise zurück nach oben ein. Übers<strong>ich</strong>t beim<br />
Anschreiben zahlt s<strong>ich</strong> aus!!!<br />
I'') 4*4 - 2c = 12 also c = 2<br />
III') 3*4+2*2+3d = 19 also d = 1<br />
I) I) 3*4 – b + 2*2 - 2*1 = 11, somit b = 3<br />
geht’s noch schlimmer?<br />
Aber klar doch.<br />
Fall 1: Beim Kombinieren von zwei Zeilen entsteht eine falsche Aussage wie etwa 0 = 7.<br />
Das System hat dann keine Lösung.<br />
Fall2; Beim Kombinieren entsteht eine immer wahre Aussage wie 0 = 0. Das bedeutet, <strong>das</strong>s eine der Zeilen<br />
gar keine nützl<strong>ich</strong>e Information enthielt, sondern eine Linearkombination von anderen Zeilen war. Es gibt dann<br />
unendl<strong>ich</strong> viele Lösungen. (Details folgen weiter unten)<br />
Zum Trost: jetzt kanns n<strong>ich</strong>t mehr schlimmer werden.<br />
4. Quadratische <strong>Gle<strong>ich</strong>ungen</strong><br />
4a Babyle<strong>ich</strong>t<br />
w 2 = 9<br />
w ist die Zahl, deren Quadrat 9 ist. Das ist genau die Definition der Quadratwurzel.<br />
Beachte: 9 hat einen einzigen Wert, näml<strong>ich</strong> +3. Wir wissen aber, <strong>das</strong>s beim Quadrieren reeller Zahlen ihr<br />
Vorze<strong>ich</strong>en verschwindet und wir deshalb als zweite Lösung -3 erhalten.<br />
Allgemein: x 2 = A x=± A . Die quadratische Gle<strong>ich</strong>ung hat 2 Lösungen, die Wurzel selbst einen<br />
einzigen Wert.<br />
<strong>HIB</strong> <strong>Wie</strong>n --- <strong>Gle<strong>ich</strong>ungen</strong> lösen v0.98 urban 1/2011 S. 5