Gleichungen lÃ¶sen â Wie mach ich das? - HIB

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Möglichkeit 2 – Gleichsetzen I) 2a – b = 5 II) 2a - 2b = 2 Diese Methode zählt zu den 'Tricks', die eher selten anwendbar sind. Wir basteln uns in jeder Zeile den gleichen Term. Dazu addieren wir etwa in II) ein b, um die linke Seite von I) zu erhalten I) 2a – b = 5 II) 2a - b = 2 + b Und wenn die linken Seiten der Gleichungen so offensichtlich gleich sind, müssen auch die rechten Seiten übereinstimmen. 5 = 2 + b | -2 3 = b das a finden wir durch Einsetzen in eine der Ausgangsgleichungen. I) sieht einfacher aus: I) 2a – b = 5 | b einsetzen 2a – 3 = 5 | +3 2a = 8 | :2 a = 4 Möglichkeit 3 – Eliminieren I) 3a – b = 9 II) 4a + 3b = 25 Diese Methode funktioniert IMMER und ist nie kompliziert. Die obigen beiden Methoden führen nur in Spezialfällen rascher ans Ziel. Hier bilden wir von einer Zeile (oder notfalls von beiden) geeignete Vielfache mit folgendem Ziel: Wir haben doch zwei Gleichungen. Weil ihre Werte rechts und links gleich sind, dürfen wir sie auch zur anderen Gleichung dazuaddieren, ohne die Lösungen zu verändern. Ich multipliziere die erste Zeile mit 3 I') 3*I) 9a – 3b = 27 II) 4a + 3b = 25 Warum hab ich das getan? Jetzt steht in der ersten Zeile -3b, in der zweiten +3b. Addiere ich die beiden Zeilen, hebt sich b in der Summe weg und es bleibt eine Gleichung in einer Variablen übrig. I'+II) 9a +4a = 27 + 25 | vereinfachen 13a = 52 | :13 a = 4 b finden wir wiederum, indem wir in eine Zeile der Angabe (die einfachere) einsetzen. ODER komplizierter, aber als nette Übung durch Eliminieren von a aus dem ursprünglichen System I) 3a – b = 9 | *(-4) II) 4a + 3b = 25 | *3 I') -12a + 4b = -36 II') 12a + 9b = 75 I'+II') 13b = 39 | :13 b = 3 Diese Technik merken wir uns: durch geschicktes Kombinieren von ZWEI Gleichungen erhalten wir EINE Gleichung, aus der eine Variable verschwunden ist. 3. System von drei oder mehr linearen Gleichungen Dieser Trick des Eliminierens scheint ausbaufähig. Wenn wir etwa 10 Gleichungen in 10 Variablen haben, bilden wir ganz geschickt 9 Kombinationen (multiplizieren und zusammenzählen), denen DIE SELBE Variable fehlt, wodurch wir 9 Gleichungen in 9 Variablen erhalten. Davon bilden wir 8 geschickte Kombinationen, die HIB Wien --- Gleichungen lösen v0.98 urban 1/2011 S. 4
nur mehr 8 Variable aufweisen. Und so fort, bis nur mehr eine Gleichung in einer Variable vorliegt. Und wenn wir diese kennen, suchen wir eine Zeile mit zwei Variablen, setzen die eben erhaltene ein und gewinnen den Wert der zweite. Und diese beiden in eine Zeile mit 3 Variablen eingesetzt, liefert die dritte usw. usw. usw. Normalerweise benötigt man zur Berechnung von n Variablen n Gleichungen. I) 3a – b + 2c - 2d = 11 II) 4a + 2b - 2c + d = 19 III) 5a + b + c - d = 24 IV) 3a + 2c + 3d = 19 Die vierte Zeile enthält kein b. Das ist fein (wir sparen uns eine Kombination) – also bilden wir aus den übrigen Zeilen 2 Kombinationen, bei denen das b wegfällt und erhalten ein neues System I') 2I+II) 10a + 2c - 3d = 41 II') II-2III) -6a - 4c + 3d = -29 III') IV) 3a + 2c + 3d = 19 Was sollen wir jetzt eliminieren – eigentlich egal, aber bei d steht überall 3, wir müssen nicht multiplizieren. I'') I'+II') 4a - 2c = 12 II'') I'+III) 13a + 4c = 60 Fast fertig – entweder I'') durch 2 teilen, c ausdrücken und in II'') einsetzen, oder wieder eliminieren 2I''+II'') 21a = 84 | :21 a = 4 Die erste Variable ist gefunden. Jetzt setzen wir schrittweise zurück nach oben ein. Übersicht beim Anschreiben zahlt sich aus!!! I'') 4*4 - 2c = 12 also c = 2 III') 3*4+2*2+3d = 19 also d = 1 I) I) 3*4 – b + 2*2 - 2*1 = 11, somit b = 3 geht’s noch schlimmer? Aber klar doch. Fall 1: Beim Kombinieren von zwei Zeilen entsteht eine falsche Aussage wie etwa 0 = 7. Das System hat dann keine Lösung. Fall2; Beim Kombinieren entsteht eine immer wahre Aussage wie 0 = 0. Das bedeutet, dass eine der Zeilen gar keine nützliche Information enthielt, sondern eine Linearkombination von anderen Zeilen war. Es gibt dann unendlich viele Lösungen. (Details folgen weiter unten) Zum Trost: jetzt kanns nicht mehr schlimmer werden. 4. Quadratische Gleichungen 4a Babyleicht w 2 = 9 w ist die Zahl, deren Quadrat 9 ist. Das ist genau die Definition der Quadratwurzel. Beachte: 9 hat einen einzigen Wert, nämlich +3. Wir wissen aber, dass beim Quadrieren reeller Zahlen ihr Vorzeichen verschwindet und wir deshalb als zweite Lösung -3 erhalten. Allgemein: x 2 = A x=± A . Die quadratische Gleichung hat 2 Lösungen, die Wurzel selbst einen einzigen Wert. HIB Wien --- Gleichungen lösen v0.98 urban 1/2011 S. 5
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Seite 7 und 8: Beobachtungen, Satz von Vieta Schon
Seite 9 und 10: Weiteres Beispiel: x 4 - 5x 2 - 36
Seite 11 und 12: x - y = 4 + t x - (-1+t) = 4 + t x
Seite 13: x 2 - y 2 - 14x +3y = 20 x 2 + y 2

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