Gleichungen lösen – Wie mach ich das? - HIB

Grundprinzip der Mathematiker:
1.) Wir können einfache Gleichungen lösen
2.) Wir lösen komplizierte Gleichungen, indem wir sie auf einfache Gleichungen zurückführen.
Gleichungen umformen
Eine Gleichung besteht aus einem Term (auswertbarer mathematischer Ausdruck, man kann für die Variable
eine Zahl einsetzen) links, einem Gleichheitszeichen, sowie einem auswertbaren Ausdruck rechts. Du kannst
Dir das wie eine Balkenwaage vorstellen. Ein linkes Gewicht, ein rechtes Gewicht, und das Gleichheitszeichen
besagt, dass die beiden Seiten gleich schwer sind.
Die Lösung(en) zu finden bedeutet, alle Zahlenwerte zu entdecken, die man für die Variablen rechts und links
einsetzen kann, sodass beide Terme den selben Wert ergeben.
Was können wir mit Gleichungen tun? Anders formuliert – was dürfen wir mit Gleichungen machen, ohne ihre
Lösungen zu verändern (Äquivalenzumformungen)?
- wir können links und rechts gleiche Gewichtsstücke hinzufügen oder wegnehmen:
L = R
L+a = R+a
L-a = R-a
- wir können rechts und links das Gewicht z.B verdoppeln oder halbieren – die Waage ist immer noch im
Gleichgewicht
L = R
L*a = R*a
L/a = R/a (a sollte nicht Null sein)
- gelegentlich möchte man eine Gleichung auf beiden Seiten quadrieren. Das ist möglich, doch hat die Sache
einen Haken. Man könnte dadurch zusätzliche Lösungen erzeugen, die gar nicht Lösung der ursprünglichen
Gleichung sind. Ein Beispiel:
x = 3
x 2 = 9
Die erste Gleichung hat nur die Lösung 3, die zweite hat die Lösungen 3 und -3. Was folgt daraus: Wir müssen
in diesem Fall die Probe machen und in die ursprüngliche Gleichung einsetzen. Nur die Zahlen, die auch hier
stimmen, sind Lösung.
- Das Umformen von Gleichungen funktioniert mit allen reellen (und sogar komplexen) Zahlen. Die 'Maschine'
des Umformens kann Werte ergeben, die keine Lösungen sind, weil sie nicht zur gestellten Aufgabe passen
(Beispiel: Wir berechnen die Länge einer Quadratseite und erhalten die Werte -2 und 3. Klarerweise ist nur 3
die Lösung). Die Maschine namens Gleichungenlösen hat ja keine Ahnung, was die Bedeutung der beteiligten
Variablen ist. Diese Entscheidung können nur wir treffen, das kann der Mensch besser als der Computer.
Eine andere Sichtweise der Äquivalenzumformungen:
Warum forme ich eine Gleichung um? Weil die neue Gleichung einfacher ist als die zuvor, d.h. ich kann die
Lösungen leichter erkennen. Stört mich auf einer Seite etwas, dann kann ich es wegbekommen, indem ich auf
der anderen Seite die ENTGEGENGESETZTE Rechenoperation durchführe.
In welcher Reihenfolge? Punktrechnung ist stärker als Strichrechnung, Klammern sind am allerstärksten.
Im Term 4(v+2)-5 kann man zuerst den Fünfer loslösen, erst dann den Vierer von der Klammer trennen, da
die Multiplikation stärker bindet als die Subtraktion. In einer Rechnung:
4(v+2)-5 = 15 | +5 rechts, weil mich -5 links stört
4(v+2) = 20 | :4 jetzt kann ich etwas gegen das *4 tun
v+2 = 5 | -2 um das +2 loszuwerden
v = 3
und aus der letzten Gleichung lässt sich die Lösung viel leichter ablesen als aus der ersten.
Im Folgenden kümmere ich mich nicht um Wertemengen für die Variablen. Da alle Rechengänge mit reellen
(komplexen) Zahlen klappen, funktionieren sie mit rationalen, ganzen und natürlichen ganz genauso.
HIB Wien --- Gleichungen lösen v0.98 urban 1/2011 S. 2