Gleichungen lösen – Wie mach ich das? - HIB

x - y = 4 + t
x - (-1+t) = 4 + t
x + 1 - t = 4 + t
x = 3 -2t
Wir erhalten die Lösungen als
x = 3 -2t
y = -1+ t
z = t , tεR
oder hübscher angeschrieben
x
y = 3
−1 t⋅ −2
1 , t R
z 0 1
11. Exponentialgleichungen
Dieser Gleichungstyp ist von ganz anderer Struktur – hier steht die gesuchte Variable im Exponenten!
- elementar (algebraisch)
3 x−2 = 81
wir können die rechte Seite ebenfalls als Dreierpotenz schreiben 3 x−2 = 3 4 .
Nun haben wir zwei Potenzen, die gleich sind. Da sie die gleiche Basis 3 besitzen, müssen die Exponenten
gleich sein. Daher ist x-2 = 4 und die Lösung lautet x=6.
- mit dem Taschenrechner
3 x =10
Hier besteht keine Chance, rechts und links auf die gleiche Basis zu kommen. Gibt es eine Möglichkeit, den
Exponenten 'nach unten' zu bekommen? Ja, das kann der Logarithmus.
a z =b ⇔ z= logb a
weil b=a log b a
und damit lautet die Gleichung a z =a log b a
Weil im Beispiel die Basis 3 lautet, muss der Dreier-Logarithmus gewählt werden. Wir können so denken:
3 x = 10 | 3 log auf beiden Seiten anwenden
x =
3log10
Leider können die meisten Taschenrechner diesen Logarithmus nicht berechnen. Sie beherrschen nur den
natürlichen Logarithmus zur Basis e und den dekadischen zur Basis 10. Das kann uns aber nicht erschüttern,
da wir wissen, wie man einen Basiswechsel durchführt. Um einen Logarithmus zur Basis a auf den natürlichen
zurückzuführen, erinnert man sich an
log x
a
= ln x
ln a
weil a = e ln a , x = a log x a
= e ln a log x a
ln a⋅ alog x
= e
und x = e ln x
in unserem Beispiel lautet die Rechnung demnach ln(10)/ln(3), und das ergibt 2.096 als Lösung.
Noch ein Beispiel (Wahrscheinlichkeitsrechnung)
0.99 n = 0.2 | 0.99 log auf beiden Seiten anwenden
n =
0.99
log 0.2 | log umwandeln
ln 0.2
n =
ln 0.99 ≃ 160.14
Probe durchführen hilft gegen Unsicherheit. 0.99 hoch 160.14 ist tatsächlich fast 0.2
HIB Wien --- Gleichungen lösen v0.98 urban 1/2011 S. 11