Gleichungen lösen – Wie mach ich das? - HIB

Hier drücken wir in der einfacheren Gleichung (die zweite) eine Variable aus und setzen sie in die andere
Gleichung ein.
g: y = 3x-5
in k: x 2 + (3x-5) 2 -4x +3(3x-5) = 20
und schon haben wir eine einfache quadratische Gleichung vorliegen. Lösen, x (falls es eins/zwei gibt) in g
einsetzen, fertig.
Oder:
k1: x 2 + y 2 - 4x +3y = 20
k2: x 2 + y 2 + 3x – y = 5
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Wir können die lästigen Quadrate verschwinden lassen, wenn wir einfach die Differenz der Zeilen bilden.
k1: x 2 + y 2 - 4x +3y = 20
k2: x 2 + y 2 + 3x – y = 5
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k2-k1: 7x -4y = -15
Wenn wir diese Gleichung mit einer der beiden gegebenen (ich wähle immer die einfachere...) kombinieren,
erhalten wir den ersten Fall. Also auch nicht weiter kompliziert...
Strategie:
- bei gleichartigen Gleichungen empfiehlt sich Eliminieren
- bei unterschiedlichen Typen funktioniert das Substituieren: Variable ausdrücken und in andere
Gleichungen einsetzen (speziell bei Parameterdarstellungen der Vektorrechnung)
9. Überbestimmte Systeme
Was tun, wenn wir mehr Gleichungen haben, als Variable? Wir lassen vorerst einfach überflüssige Zeilen weg.
1.) Das verkleinerte System ist lösbar – wir testen diese Lösungen mit den weggelassenen Gleichungen. Nur
wenn sie ebenfalls richtig sind, gelten die Lösungen. Sonst: keine Lösung
2.) Beim Lösungsvorgang fallen Zeilen weg, sie ergeben etwa 0 = 0 beim Eliminieren. In diesem Fall ersetzen
wir eine der soeben als 'überflüssig' erkannten Gleichungen durch eine weggelassene und arbeiten weiter.
10. Unterbestimmte Systeme
Löse das System
x – 2y = 5
x - y - z = 4
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Hier fehlt offenbar eine Gleichung. Das bedeutet aber einen Freiheitsgrad, den wir durch eine neue Variable
beschreiben, gerne wird sie t genannt, sie kann jede reelle Zahl annehmen. Setzen wir sie etwa für z ein. In der
weiteren Rechnung sehen wir t wie eine Zahl an.
x – 2y = 5
x - y - t = 4
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x – 2y = 5
x - y = 4 + t
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Das sieht aus wie 2 Gleichungen in 2 Variablen x und y wir eliminieren einfach drauf los!
-I) -x + 2y = -5
II) x - y = 4 + t
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II-I) y = -1+ t
und eingesetzt in II)
HIB Wien --- Gleichungen lösen v0.98 urban 1/2011 S. 10