Gleichungen lösen – Wie mach ich das? - HIB

Gleichungen lösen – Wie mach ich das?
Wozu ist das gut?
Ein alter Bauer sagt: „Ich habe einige Hühner und Schafe. Gemeinsam sind wir eine fröhliche achtköpfige
Familie mit 24 Füßen.“
Können wir herausfinden, wie viele Hühner und Schafe der Bauer besitzt? Wenn wir seinen eigenen Kopf und
seine 2 Füße abziehen, bleiben 7 Tiere mit insgesamt 22 Füßen übrig. Hühner haben bekanntlich 2, Schafe 4
Füße.
Nun geben wir jedem dieser 7 Tierköpfe 2 Füße zum Stehen, das macht 14 Füße, und uns bleiben noch
22-14 = 8 übrig. Das müssen die fehlenden Vorderbeine der Schafe sein, sie gehören zu 8:2 = 4 Tieren, somit
hat der Bauer 4 Schafe. Da insgesamt 7 Tiere da sind, sind 7-4 = 3 Hühner.
Muss man jedes Beispiel so 'umständlich' überlegen? Und was tun, wenn die Zahlen nicht so schön im Kopf
berechenbar sind?
Für diesen Fall hat die Mathematik Tricks erfunden, die das Lösen solcher Aufgaben zur Anwendung einer
Folge von einfachen Rechenschritten machen. Allerdings muss man zuerst die gestellte Aufgabe in die
'mathematische Sprache' übersetzen, also den Text der Aufgabe als Zusammenhang zwischen Zahlen
formulieren.
Für obiges Beispiel könnten wir sagen: H sei die Anzahl der Hühner, sie haben 2H Füße. S sei die Anzahl der
Schafe, sie haben 4S Füße. Die Summe von H und S hat der Bauer verraten, die Summe von 2H und 4S
ebenfalls. Wir gelangen durch diese zwei Informationen zu zwei Gleichungen
H + S = 7
2H + 4S = 22
und die können wir mithilfe einer 'Rechenvorschrift' lösen.
Wir finden die Antwort also in 3 Schritten:
1.) Wir übersetzen die Angabe in eine oder mehrere Gleichungen. Das ist Mathematik. Wir erfinden ein
Modell, das die gegebenen Informationen in der Sprache von Variablen und Zahlen beschreibt.
2.) Wir lösen die dabei entstandenen Gleichung(en). Das ist eher langweiliges Rechnen, stur nach Vorschrift.
Manchen gefällt es trotzdem. Allerdings ist das der Teil, den ein Computer besser kann.
3) Wir geben den errechneten Zahlen eine Bedeutung, indem wir aus ihnen die Antwort auf die gestellte
Frage ableiten. Das ist wieder Mathematik.
Querverbindung: Wie berechnet die NASA Flugbahnen von Raumschiffen?
1.) Physiker formulieren die auftretenden Kräfte und Gesetze mathematisch.
2.) Mathematiker lösen die Gleichungen und berechnen Ergebnisse
3.) Physiker übersetzen die Lösung zurück in die gesuchten Werte (Abschusswinkel, Brennstoffverbrauch,
Flugdauer,...)
Das Lösen von Gleichungen ist demnach ein technisches 'Handwerkszeug' der Mathematiker, um rasch und
ohne viele Umstände die Lösung von Aufgaben finden zu können.
Schau ins Schulbuch – was wird hauptsächlich vom Schüler verlangt? Richtig – das Lösen von Gleichungen.
Leider wird viel zu viel Wert auf die reine Rechnerei gelegt und die Fähigkeit des Aufgabenlösens (der
spannende Teil und die einzige Rechtfertigung, warum ein Schüler überhaupt Gleichungen lösen können soll)
stark vernachlässigt. Auch die neuen 'Kompetenzen' des Schülers erschöpfen sich zumeist in motivationsarmen
Rechenübungen.
Trotzdem will ich Dir einen umfassenden Überblick geben, welche Techniken man beim Gleichungslösen
anwenden kann.
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Grundprinzip der Mathematiker:
1.) Wir können einfache Gleichungen lösen
2.) Wir lösen komplizierte Gleichungen, indem wir sie auf einfache Gleichungen zurückführen.
Gleichungen umformen
Eine Gleichung besteht aus einem Term (auswertbarer mathematischer Ausdruck, man kann für die Variable
eine Zahl einsetzen) links, einem Gleichheitszeichen, sowie einem auswertbaren Ausdruck rechts. Du kannst
Dir das wie eine Balkenwaage vorstellen. Ein linkes Gewicht, ein rechtes Gewicht, und das Gleichheitszeichen
besagt, dass die beiden Seiten gleich schwer sind.
Die Lösung(en) zu finden bedeutet, alle Zahlenwerte zu entdecken, die man für die Variablen rechts und links
einsetzen kann, sodass beide Terme den selben Wert ergeben.
Was können wir mit Gleichungen tun? Anders formuliert – was dürfen wir mit Gleichungen machen, ohne ihre
Lösungen zu verändern (Äquivalenzumformungen)?
- wir können links und rechts gleiche Gewichtsstücke hinzufügen oder wegnehmen:
L = R
L+a = R+a
L-a = R-a
- wir können rechts und links das Gewicht z.B verdoppeln oder halbieren – die Waage ist immer noch im
Gleichgewicht
L = R
L*a = R*a
L/a = R/a (a sollte nicht Null sein)
- gelegentlich möchte man eine Gleichung auf beiden Seiten quadrieren. Das ist möglich, doch hat die Sache
einen Haken. Man könnte dadurch zusätzliche Lösungen erzeugen, die gar nicht Lösung der ursprünglichen
Gleichung sind. Ein Beispiel:
x = 3
x 2 = 9
Die erste Gleichung hat nur die Lösung 3, die zweite hat die Lösungen 3 und -3. Was folgt daraus: Wir müssen
in diesem Fall die Probe machen und in die ursprüngliche Gleichung einsetzen. Nur die Zahlen, die auch hier
stimmen, sind Lösung.
- Das Umformen von Gleichungen funktioniert mit allen reellen (und sogar komplexen) Zahlen. Die 'Maschine'
des Umformens kann Werte ergeben, die keine Lösungen sind, weil sie nicht zur gestellten Aufgabe passen
(Beispiel: Wir berechnen die Länge einer Quadratseite und erhalten die Werte -2 und 3. Klarerweise ist nur 3
die Lösung). Die Maschine namens Gleichungenlösen hat ja keine Ahnung, was die Bedeutung der beteiligten
Variablen ist. Diese Entscheidung können nur wir treffen, das kann der Mensch besser als der Computer.
Eine andere Sichtweise der Äquivalenzumformungen:
Warum forme ich eine Gleichung um? Weil die neue Gleichung einfacher ist als die zuvor, d.h. ich kann die
Lösungen leichter erkennen. Stört mich auf einer Seite etwas, dann kann ich es wegbekommen, indem ich auf
der anderen Seite die ENTGEGENGESETZTE Rechenoperation durchführe.
In welcher Reihenfolge? Punktrechnung ist stärker als Strichrechnung, Klammern sind am allerstärksten.
Im Term 4(v+2)-5 kann man zuerst den Fünfer loslösen, erst dann den Vierer von der Klammer trennen, da
die Multiplikation stärker bindet als die Subtraktion. In einer Rechnung:
4(v+2)-5 = 15 | +5 rechts, weil mich -5 links stört
4(v+2) = 20 | :4 jetzt kann ich etwas gegen das *4 tun
v+2 = 5 | -2 um das +2 loszuwerden
v = 3
und aus der letzten Gleichung lässt sich die Lösung viel leichter ablesen als aus der ersten.
Im Folgenden kümmere ich mich nicht um Wertemengen für die Variablen. Da alle Rechengänge mit reellen
(komplexen) Zahlen klappen, funktionieren sie mit rationalen, ganzen und natürlichen ganz genauso.
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Ist jede Gleichung lösbar?
Nein. Es gibt Gleichungen ohne Lösung, mit einer Lösung, mit zwei, … sogar mit unendlich vielen Lösungen.
Je ein Beispiel
0 = 1 Immer falsch, keine Lösung.
3 = 3 Immer richtig. Jede mögliche Zahl ist Lösung.
z = z+1 Keine Zahl ist gleich ihrem Nachfolger – keine Lösung
z = 1-z einzige Lösung ½.
z*z = z Hier kann man 0 einsetzen, aber auch 1. Also zwei Lösungen.
z-1 = -(1-z) Diese Terme sind immer gleich. Jede für z erlaubte Zahl ist
Lösung.
1. Eine lineare Gleichung
2(a+4) = 17-a
Wir versuchen, alle Teile mit der Variable a nach links (nach rechts ginge genauso) zu bringen, alle reinen
Zahlen auf die andere Seite. Die Klammer links verhindert das Sortieren, deshalb lösen wir sie auf.
2(a+4) = 17-a | Klammer auflösen
2a + 8 = 17-a | +a damit die Variable nach links kommt
3a + 8 = 17 | -8 um die Zahlen nach rechts zu sortieren
3a = 9 | :3 um a alleine zu haben
a = 3
2. System von zwei linearen Gleichungen
Möglichkeit 1 – Einsetzen (Substitution)
I) 2a – b = 5
II) b = -7
Wir können die Information aus der zweiten Gleichung in die erste einsetzen
I) 2a – (-7) = 5
Diese Gleichung ist leicht zu lösen, a = -1 .
Ein komplizierteres Beispiel:
I) 2a – b = 5
II) 3a +2b = 18
Wie können wir die Information aus einer Gleichung in die zweite einsetzen? In I) kann man b leicht
ausdrücken
I') 2a – 5 = b
und dieses b kann man in die zweite Zeile einsetzen
3a+2(2a-5) = 18
Und das ist eine Gleichung in einer Variable, die können wir bereits lösen
3a+4a-10 = 18
7a = 28
a = 4
Und b bekommen wir, wenn wir genau die Zeile I'), die wir eingesetzt haben, auswerten. Das a kennen wir ja
bereits.
b = 2a-5 = 2*4-5 = 3
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Möglichkeit 2 – Gleichsetzen
I) 2a – b = 5
II) 2a - 2b = 2
Diese Methode zählt zu den 'Tricks', die eher selten anwendbar sind. Wir basteln uns in jeder Zeile den gleichen
Term. Dazu addieren wir etwa in II) ein b, um die linke Seite von I) zu erhalten
I) 2a – b = 5
II) 2a - b = 2 + b
Und wenn die linken Seiten der Gleichungen so offensichtlich gleich sind, müssen auch die rechten Seiten
übereinstimmen.
5 = 2 + b | -2
3 = b
das a finden wir durch Einsetzen in eine der Ausgangsgleichungen. I) sieht einfacher aus:
I) 2a – b = 5 | b einsetzen
2a – 3 = 5 | +3
2a = 8 | :2
a = 4
Möglichkeit 3 – Eliminieren
I) 3a – b = 9
II) 4a + 3b = 25
Diese Methode funktioniert IMMER und ist nie kompliziert. Die obigen beiden Methoden führen nur in
Spezialfällen rascher ans Ziel.
Hier bilden wir von einer Zeile (oder notfalls von beiden) geeignete Vielfache mit folgendem Ziel: Wir haben
doch zwei Gleichungen. Weil ihre Werte rechts und links gleich sind, dürfen wir sie auch zur anderen
Gleichung dazuaddieren, ohne die Lösungen zu verändern. Ich multipliziere die erste Zeile mit 3
I') 3*I) 9a – 3b = 27
II) 4a + 3b = 25
Warum hab ich das getan? Jetzt steht in der ersten Zeile -3b, in der zweiten +3b. Addiere ich die beiden Zeilen,
hebt sich b in der Summe weg und es bleibt eine Gleichung in einer Variablen übrig.
I'+II)
9a +4a = 27 + 25 | vereinfachen
13a = 52 | :13
a = 4
b finden wir wiederum, indem wir in eine Zeile der Angabe (die einfachere) einsetzen.
ODER komplizierter, aber als nette Übung durch Eliminieren von a aus dem ursprünglichen System
I) 3a – b = 9 | *(-4)
II) 4a + 3b = 25 | *3
I') -12a + 4b = -36
II') 12a + 9b = 75
I'+II') 13b = 39 | :13
b = 3
Diese Technik merken wir uns: durch geschicktes Kombinieren von ZWEI Gleichungen erhalten wir EINE
Gleichung, aus der eine Variable verschwunden ist.
3. System von drei oder mehr linearen Gleichungen
Dieser Trick des Eliminierens scheint ausbaufähig. Wenn wir etwa 10 Gleichungen in 10 Variablen haben,
bilden wir ganz geschickt 9 Kombinationen (multiplizieren und zusammenzählen), denen DIE SELBE Variable
fehlt, wodurch wir 9 Gleichungen in 9 Variablen erhalten. Davon bilden wir 8 geschickte Kombinationen, die
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nur mehr 8 Variable aufweisen. Und so fort, bis nur mehr eine Gleichung in einer Variable vorliegt. Und wenn
wir diese kennen, suchen wir eine Zeile mit zwei Variablen, setzen die eben erhaltene ein und gewinnen den
Wert der zweite. Und diese beiden in eine Zeile mit 3 Variablen eingesetzt, liefert die dritte usw. usw. usw.
Normalerweise benötigt man zur Berechnung von n Variablen n Gleichungen.
I) 3a – b + 2c - 2d = 11
II) 4a + 2b - 2c + d = 19
III) 5a + b + c - d = 24
IV) 3a + 2c + 3d = 19
Die vierte Zeile enthält kein b. Das ist fein (wir sparen uns eine Kombination) – also bilden wir aus den übrigen
Zeilen 2 Kombinationen, bei denen das b wegfällt und erhalten ein neues System
I') 2I+II) 10a + 2c - 3d = 41
II') II-2III) -6a - 4c + 3d = -29
III') IV) 3a + 2c + 3d = 19
Was sollen wir jetzt eliminieren – eigentlich egal, aber bei d steht überall 3, wir müssen nicht multiplizieren.
I'') I'+II') 4a - 2c = 12
II'') I'+III) 13a + 4c = 60
Fast fertig – entweder I'') durch 2 teilen, c ausdrücken und in II'') einsetzen, oder wieder eliminieren
2I''+II'') 21a = 84 | :21
a = 4
Die erste Variable ist gefunden. Jetzt setzen wir schrittweise zurück nach oben ein. Übersicht beim
Anschreiben zahlt sich aus!!!
I'') 4*4 - 2c = 12 also c = 2
III') 3*4+2*2+3d = 19 also d = 1
I) I) 3*4 – b + 2*2 - 2*1 = 11, somit b = 3
geht’s noch schlimmer?
Aber klar doch.
Fall 1: Beim Kombinieren von zwei Zeilen entsteht eine falsche Aussage wie etwa 0 = 7.
Das System hat dann keine Lösung.
Fall2; Beim Kombinieren entsteht eine immer wahre Aussage wie 0 = 0. Das bedeutet, dass eine der Zeilen
gar keine nützliche Information enthielt, sondern eine Linearkombination von anderen Zeilen war. Es gibt dann
unendlich viele Lösungen. (Details folgen weiter unten)
Zum Trost: jetzt kanns nicht mehr schlimmer werden.
4. Quadratische Gleichungen
4a Babyleicht
w 2 = 9
w ist die Zahl, deren Quadrat 9 ist. Das ist genau die Definition der Quadratwurzel.
Beachte: 9 hat einen einzigen Wert, nämlich +3. Wir wissen aber, dass beim Quadrieren reeller Zahlen ihr
Vorzeichen verschwindet und wir deshalb als zweite Lösung -3 erhalten.
Allgemein: x 2 = A x=± A . Die quadratische Gleichung hat 2 Lösungen, die Wurzel selbst einen
einzigen Wert.
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Das doppelte Vorzeichen kommt immer dann, wenn in den reellen Zahlen eine gerade Wurzel (zweite, vierte,
sechste,...) gezogen wird. Die Zahl unter dem Wurzelzeichen darf nicht negativ sein. Bei ungeraden Wurzeln ist
3
3
alles einfacher (bijektive Abbildung) 64=4 , −64=−4
In den komplexen Zahlen ist die Sache viel leichter: für die n-te Wurzel gibt es genau n unterschiedliche
Lösungen.
4b Kinderleicht
z 2 - 8z + 16 = 9
mir fällt auf, dass die linke Seite als Quadrat eines Binoms geschrieben werden kann.
(z – 4) 2 = 9
und nun kann ich auf beiden Seiten die Wurzel ziehen. Das +/- stelle ich immer auf die Seite der Zahl.
z – 4 = ±3 | +4
z = 4 ± 3
Wir erhalten die zwei Lösungen 4-3 = 1 und 4+3 = 7
4c auch nicht schwer
Wenn nicht wie oben ein vollständiges Quadrat vorliegt, kann man ja eines basteln.
z 2 - 8z = -7
Damit links -8x steht, muss in der Klammer x-4 stehen. Wenn man (x-4) ausquadriert, kommt als dritter
Summand +16 hinzu. Dieser Wert steht nicht in der Angabe, wir ergänzen ihn durch beidseitige Addition
z 2 - 8z + 16 = -7 + 16
(z – 4) 2 = -7 + 16
(z – 4) 2 = 9
und weiter geht’s wie oben.
4d mit Formel
Wenn man nicht tüfteln will, kann man den Gedankengang aus 4c einmal mit Buchstaben durchrechnen und
dann die entstehende Formel auswendig lernen. Die kann man mit etwas Übung so flott anwenden, dass man
sie fast immer einsetzt..
Wichtig: die Ausgangsgleichung muss in die Form x 2 + px +q = 0 gebracht werden. Vor dem Quadrat steht ein
Einser (nötigenfalls die Gleichung dividieren), vor der Variable steht p, die Konstante ist q, rechts steht Null.
x 2 pxq = 0
x 2 2⋅ p 2 ⋅x p 2 2
− p 2 2q = 0
x p 2 2
− p 2 2q = 0
x p 2 2
= p 2 2−q
x p 2 = ± p 2 2−q
x = − p 2 ± p 2 2−q
Wenn unter dem Wurzelzeichen eine negative Zahl steht, gibt es keine reelle Lösung. Wenn eine Null steht, gibt
es eine einzige Lösung. Wenn der Ausdruck in der Wurzel (er wird die 'Diskriminante' genannt) positiv ist, gibt
es zwei Lösungen.
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Beobachtungen, Satz von Vieta
Schon diesem alten Franzosen ist folgendes aufgefallen: Die Zahl q ist immer das Produkt der beiden
Lösungen, das p die Summe der Lösungen mit umgekehrtem Vorzeichen. Nennen wir die Lösungen x 1 und x 2 .
x 2 + px + q =
x 2 –(x 1 +x 2 )x + x 1 x 2 =
x 2 –x 1 x -x 2 x + x 1 x 2 =
(x-x 1 ).(x-x 2 )
das können wir als Produkt von zwei Klammern schreiben
Sehen wir uns die erste und letzte Zeile nochmals an: sie sind durch reine Umformung auseinander entstanden,
also können wir sie zu einer Gleichung machen.
x 2 + px + q = (x-x 1 ).(x-x 2 )
Die Gleichung x 2 +px+q=0 ist gleichwertig mit der Gleichung (x-x 1 ).(x-x 2 )=0. Letztere ist ein
Produkt, das Null ergibt. Demnach muss ein Faktor gleich Null sein. Entweder ist x=x 1 , dann ist die erste
Klammer Null, oder x=x 2 , dann ist die zweite Klammer Null.
Angenommen, wir könnten eine Lösung x 1 der Gleichung x 2 + px +q = 0 erraten, wie finden wir dann die
zweite Lösung? In diesem Fall können wir eine Division versuchen und erhalten aus obiger Zeile
x 2 + px + q = (x-x 1 ).(x-x 2 ) | :(x-x 1 )
(x 2 + px + q):(x-x 1 ) = x-x 2
Ein derartiger Ausdruck (x minus Lösung) wird übrigens Linearfaktor genannt.
Ein Beispiel: Wenn ich 3 in die Gleichung x 2 -7x +12 = 0 einsetze, stimmt sie. 3 ist somit eine Lösung. Wir
finden die zweite Lösung durch Division ('Abspalten') des Linearfaktors x-3
( x 2 -7x +12 ):(x-3) = x-4
-x 2 +3x
-------
∓4x +12
±4x ∓12
-------
0 Rest (das MUSS sein)
Die zweite Lösung finden wir, indem wir das Divisionsergebnis x-4 gleich Null setzten. Das ist leicht, x=4.
Beachte: Im Linearfaktor steht immer die Lösung mit dem umgekehrten Vorzeichen (es wird erst dann 'richtig'
wenn die Lösung die Seite der Gleichung wechselt. X-x 1 = 0 wird zu x = x 1 )
5. Gleichungen höheren Grades
Es gibt Formeln für Gleichungen dritten und vierten Grades. Wir werden sie nicht lernen. Für höhere Grade
gibt es gar keine allgemeinen Formeln mehr.
Wir können jedoch den Trick des Linearfaktor-Abspaltens anwenden – vorausgesetzt wir erraten eine Lösung.
Hilfe: Das konstante Glied der Gleichung ist das Produkt aller Lösungen. Wenn vor der höchsten Postenz der
Gleichung ein Einser steht und alle Koeffizienten ganzzahlig sind, dann gilt: falls es ganzzahlige Lösungen der
Gleichung gibt, sind diese Teiler des konstanten Gliedes.
Beispiel: x 3 -x 2 +x-6 = 0
Das konstante Glied ist 6, wir probieren nur (in der Reihenfolge von einfach bis kompliziert) die Teiler von 6
durch: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6.
Hier haben wir schon mit +2 Glück. Wir notieren die erste Lösung x 1 = 2 und dividieren die linke
Gleichungsseite durch den zugehörigen Linearfaktor (x-2). Das ergibt einen quadratischen Ausdruck, dessen
zugehörige Gleichung wir bereits lösen können (oder wir hoffen auf weitere ganzzahlige Lösungen, raten
weiter und dividieren wiederum).
Gleichung x 3 – x 2 - 5x + 6 = 0
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probieren: x=1 1 -1 -5 +6 = 1, nicht Null, +1 ist keine Lösung
probieren: x=-1 -1 -1 +5 +6 = 9, nicht Null, -1 ist keine Lösung
probieren: x=2 8 -4 -10+6 = 0, JUHUU! 2 ist eine Lösung
ich notiere die erste gefundene Lösung x 1 = 2
jetzt spalte ich den zu dieser Lösung gehörigen Linearfaktor (x-2) ab.
x 3 – x 2 - 5x – 6 : (x-2) = x 2 + x - 3
∓x 3 ± 2x 2
---------------
x 2 -5x
∓x 2 ±2x
-------
-3x + 6
±3x ∓ 6
------
0 Rest, das passt
Jetzt müssen wir uns nur mehr um eine quadratische Gleichung kümmern und sind einen Schritt näher an der
Lösung der Aufgabe, wir haben den Grad um eins verringert.
x 2 + x – 3 = 0
x 2,3 =− 1 2 ± 1 2 23
Da wenden wir die Formel an.
x 2,3 =− 1 2 ± 13 4
x 2 = −1−13 , x
2
3 = −113
2
Somit haben wir alle drei Lösungen gefunden, mehr kann es bei einer Gleichung dritten Grades auch nicht
geben.
Spezialfall:
Wie könnten wir folgende Gleichung lösen:
x 6 + 7x 3 - 8 = 0
Eine Gleichung sechsten Grades, doch kommen nur wenige Hochzahlen vor. x 5 ,x 4 ,x 2 ,x 1 fehlen, nur die
Exponenten 6, 3 und 0 treten auf. Idee: das sind lauter Vielfache von 3: 2*3, 1*3, 0*3. Ich könnte die gegebene
Gleichung so schreiben:
(x 3 ) 2 + 7x 3 - 8 = 0
Das sieht aus wie eine quadratische Gleichung, nur nicht nach x, sondern nach x 3 aufzulösen. Am besten
erfinden wir eine neue Variable, ich will sie T nennen (jede andere Bezeichnung wäre auch möglich). Es
entsteht ein Gleichungssystem. (Wir erfinden eine zusätzliche Gleichungszeile, deren Substitution die
ursprüngliche Gleichung ergibt)
I) T = x 3
II) T 2 + 7T - 8 = 0
Die zweite Gleichung lässt sich sofort lösen (Formel oder Vieta im Kopf)
T 1 = 1 , T 2 = -8
Und nun setzen wir in die erste Zeile ein:
x 1
3
= T 1 = 1 , x 2
3
= T 2 = -8
Diese dritten Wurzeln können wir berechnen: x 1 = 1, x 2 = -2 und damit ist die Gleichung (in den reellen
Zahlen) gelöst.
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Weiteres Beispiel:
x 4 - 5x 2 - 36 = 0
(x 2 ) 2 - 5x 2 - 36 = 0 | Z = x 2 substituieren
Z 2 - 5Z - 36 = 0 | quadratiche Gleichung für Z lösen
Z 1 = 9 , Z 2 = -4 | x 2 = Z rückgängig machen
2 2
x 1 = Z 1 = 9 , x 2 = Z 2 = -9
Hier ist die Wurzel für x 1 berechenbar. Wir gewinnen zwei Lösungen für die ursprüngliche Gleichung, nämlich
3 und -3. In den reellen Zahlen gibt es keine weiteren Lösungen, da es aus -9 keine Quadratwurzel gibt. In den
komplexen Zahlen kämen noch die dritte und vierte Lösung 3i und -3i dazu.
6. Wurzelgleichungen
Was tun, wenn in der zu lösenden Gleichung Wurzeln auftauchen? Erstens: nicht verzagen, zweitens: was hilft
gegen Wurzeln? Potenzieren.
x−2 = 4 hoch 2
x−2 = 16
x = 18
Zur Kontrolle setzen wir ein: die Wurzel aus 18-2 ist tatsächlich4.
Aber Achtung:
x−2 = 2x−1
x−2 = 2x−1
−1=x
quadrieren
Ist dieses errechnete -1 die Lösung? Setzen wir in die Angabe ein. Die linke Seite der Gleichung wird dann
−1−2=−3 , und die Wurzel aus einer negativen Zahl ist in R nicht möglich – die gegebene Gleichung
hat folglich KEINE LÖSUNG!
Wir haben weiter oben schon festgestellt: Potenzieren ist KEINE Äquivalenzumformung, wir müssen die
errechneten Zahlen zur Kontrolle in die Angabe einsetzen. Nur die Werte, für die alle Bestandteile der
Gleichung sinnvoll sind und die diese Gleichung erfüllen, sind Lösung.
7. Vektorgleichungen
Diese Gleichungen sind sehr einfach zu lösen. Vektorgleichungen gelten immer koordinatenweise, wir können
in einzelne Zeilen auftrennen und gewinnen ein normales lineares Gleichungssystem.
x−3 k
y2 k = 2⋅ 2
−5
4 k
Dies entspricht einem Gleichungssystem in 3 Variablen:
x – 3k = 4
y + 2k = -10
4 = 2k
Und lineare Gleichungssysteme sind uns bereits vertraut.
8. Systeme mit quadratischen Gleichungen
Ein Spezialfall kommt bei den Aufgaben zu Kreisen und Kegelschnitten vor.
k: x 2 + y 2 -4x +3y = 20
g: 3x – y = 5
-------------------
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Hier drücken wir in der einfacheren Gleichung (die zweite) eine Variable aus und setzen sie in die andere
Gleichung ein.
g: y = 3x-5
in k: x 2 + (3x-5) 2 -4x +3(3x-5) = 20
und schon haben wir eine einfache quadratische Gleichung vorliegen. Lösen, x (falls es eins/zwei gibt) in g
einsetzen, fertig.
Oder:
k1: x 2 + y 2 - 4x +3y = 20
k2: x 2 + y 2 + 3x – y = 5
--------------------
Wir können die lästigen Quadrate verschwinden lassen, wenn wir einfach die Differenz der Zeilen bilden.
k1: x 2 + y 2 - 4x +3y = 20
k2: x 2 + y 2 + 3x – y = 5
--------------------
k2-k1: 7x -4y = -15
Wenn wir diese Gleichung mit einer der beiden gegebenen (ich wähle immer die einfachere...) kombinieren,
erhalten wir den ersten Fall. Also auch nicht weiter kompliziert...
Strategie:
- bei gleichartigen Gleichungen empfiehlt sich Eliminieren
- bei unterschiedlichen Typen funktioniert das Substituieren: Variable ausdrücken und in andere
Gleichungen einsetzen (speziell bei Parameterdarstellungen der Vektorrechnung)
9. Überbestimmte Systeme
Was tun, wenn wir mehr Gleichungen haben, als Variable? Wir lassen vorerst einfach überflüssige Zeilen weg.
1.) Das verkleinerte System ist lösbar – wir testen diese Lösungen mit den weggelassenen Gleichungen. Nur
wenn sie ebenfalls richtig sind, gelten die Lösungen. Sonst: keine Lösung
2.) Beim Lösungsvorgang fallen Zeilen weg, sie ergeben etwa 0 = 0 beim Eliminieren. In diesem Fall ersetzen
wir eine der soeben als 'überflüssig' erkannten Gleichungen durch eine weggelassene und arbeiten weiter.
10. Unterbestimmte Systeme
Löse das System
x – 2y = 5
x - y - z = 4
---------------
Hier fehlt offenbar eine Gleichung. Das bedeutet aber einen Freiheitsgrad, den wir durch eine neue Variable
beschreiben, gerne wird sie t genannt, sie kann jede reelle Zahl annehmen. Setzen wir sie etwa für z ein. In der
weiteren Rechnung sehen wir t wie eine Zahl an.
x – 2y = 5
x - y - t = 4
---------------
x – 2y = 5
x - y = 4 + t
----------------
Das sieht aus wie 2 Gleichungen in 2 Variablen x und y wir eliminieren einfach drauf los!
-I) -x + 2y = -5
II) x - y = 4 + t
----------------
II-I) y = -1+ t
und eingesetzt in II)
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x - y = 4 + t
x - (-1+t) = 4 + t
x + 1 - t = 4 + t
x = 3 -2t
Wir erhalten die Lösungen als
x = 3 -2t
y = -1+ t
z = t , tεR
oder hübscher angeschrieben
x
y = 3
−1 t⋅ −2
1 , t R
z 0 1
11. Exponentialgleichungen
Dieser Gleichungstyp ist von ganz anderer Struktur – hier steht die gesuchte Variable im Exponenten!
- elementar (algebraisch)
3 x−2 = 81
wir können die rechte Seite ebenfalls als Dreierpotenz schreiben 3 x−2 = 3 4 .
Nun haben wir zwei Potenzen, die gleich sind. Da sie die gleiche Basis 3 besitzen, müssen die Exponenten
gleich sein. Daher ist x-2 = 4 und die Lösung lautet x=6.
- mit dem Taschenrechner
3 x =10
Hier besteht keine Chance, rechts und links auf die gleiche Basis zu kommen. Gibt es eine Möglichkeit, den
Exponenten 'nach unten' zu bekommen? Ja, das kann der Logarithmus.
a z =b ⇔ z= logb a
weil b=a log b a
und damit lautet die Gleichung a z =a log b a
Weil im Beispiel die Basis 3 lautet, muss der Dreier-Logarithmus gewählt werden. Wir können so denken:
3 x = 10 | 3 log auf beiden Seiten anwenden
x =
3log10
Leider können die meisten Taschenrechner diesen Logarithmus nicht berechnen. Sie beherrschen nur den
natürlichen Logarithmus zur Basis e und den dekadischen zur Basis 10. Das kann uns aber nicht erschüttern,
da wir wissen, wie man einen Basiswechsel durchführt. Um einen Logarithmus zur Basis a auf den natürlichen
zurückzuführen, erinnert man sich an
log x
a
= ln x
ln a
weil a = e ln a , x = a log x a
= e ln a log x a
ln a⋅ alog x
= e
und x = e ln x
in unserem Beispiel lautet die Rechnung demnach ln(10)/ln(3), und das ergibt 2.096 als Lösung.
Noch ein Beispiel (Wahrscheinlichkeitsrechnung)
0.99 n = 0.2 | 0.99 log auf beiden Seiten anwenden
n =
0.99
log 0.2 | log umwandeln
ln 0.2
n =
ln 0.99 ≃ 160.14
Probe durchführen hilft gegen Unsicherheit. 0.99 hoch 160.14 ist tatsächlich fast 0.2
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Und wie geht das mit dem Computer?
Ich zeige Dir die nötigen Anweisungen für das Programm Maxima. Es ist ein bewährtes Hilfsmittel für höhere
Mathematik, auch an der Uni im Einsatz, für Windows, Mac, Linux verfügbar. Außerdem gratis im Internet zu
bekommen. Für Windows ist die Version wxMaxima bestens geeignet: http://wxmaxima.sf.net
2(a+4) = 17-a
Eingabe
Ausgabe
solve([2*(a+4) = 17-a], [a]);
[a=3]
3a – b + 2c - 2d = 11
4a + 2b - 2c + d = 19
5a + b + c - d = 24
3a + 2c + 3d = 19
Eingabe linsolve([3*a-b+2*c-2*d = 11, 4*a+2*b-2*c+d = 19,
5*a+b+c-d = 24, 3*a+2*c+3*d = 19], [a,b,c,d]);
Ausgabe
[a=4,b=3,c=2,d=1]
x 2 - 8x = -7
Eingabe
Ausgabe
solve([x^2 - 8*x = -7], [x]);
[x=1,x=7]
x 3 – x 2 - 5x + 6 = 0
Eingabe
Ausgabe
solve([x^3-x^2-5*x+6 = 0], [x]);
[x=-(sqrt(13)+1)/2,x=(sqrt(13)-1)/2,x=2]
x 4 - 5x 2 - 36 = 0
Eingabe solve([x^4 - 5*x^2 - 36 = 0], [x]);
Ausgabe [x=-2*%i,x=2*%i,x=-3,x=3]
x 6 + 7x 3 - 8 = 0
Eingabe solve([x^6 + 7*x^3 - 8 = 0], [x]);
Ausgabe
[x=1-sqrt(3)*%i,
x=sqrt(3)*%i+1,
x=-2,
x=(sqrt(3)*%i-1)/2,
x=-(sqrt(3)*%i+1)/2,
x=1]
Maxima kennt sich auch mit komplexen Zahlen (imaginäre Einheit %i) aus. Falls die Lösung nur in den reellen
Zahlen gefragt ist, gelten klarerweise nur 2 der komplexen Lösungen.
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x 2 - y 2 - 14x +3y = 20
x 2 + y 2 + 3x – y = 5
Eingabe
Ausgabe
algsys([x^2-y^2-14*x+3*y = 20, x^2+y^2+3*x-y = 5], [x,y]);
[[x=-1.352179836512262,y=3.234620418848168],
[x=-1.968135593220339,y=-2.198304813689429],
[x=0.93211261436947*%i+7.160157792648686,y=1.481842169806749-
8.221527419775349*%i],
[x=7.160157792648686-0.93211261436947*%i,y=8.221527419775352*%i+
1.481842169806746]]
x – 2y = 5
x - y - z = 4
Eingabe
linsolve([x-2*y = 5, x-y-z = 4], [x,y,z]);
Ausgabe [x=2*%r1+3,y=%r1-1,z=%r1]
%r1 steht für einen Freiheitsgrad, d.h. Einen freien Parameter
x−2 = 4
Eingabe
Ausgabe
solve([(x-2)^(1/2) = 4], [x]);
[x=18]
Nun noch die 'unlösbare' Gleichung:
4 x−2 = 4 2x−1
Eingabe
solve([4*sqrt(x-2) = 4*sqrt(2*x-1)], [x]);
Ausgabe [sqrt(2*x-1)=sqrt(x-2)]
Das Programm zeigt die bestmöglich vereinfachte Gleichung. Weiter geht es in den reellen Zahlen nicht korrekt
zu rechnen.
Du siehst: Gleichungen zu lösen ist auch für Computer ein Kinderspiel....
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