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x f(x) 1.4 2.3536 1.5 2.3125 1.6 2.3616 endlich gefunden ? Und eine 'ganz ganz kleine' Umgebung? x f(x) 1.49 2.312946 1.50 2.3125 1.51 2.312954 tatsächlich gefunden ! Unsere erste Idee war falsch – die Wertetabelle mit den ganzen Zahlen war zu ungenau. Gibt es eine Möglichkeit, Punkte mit besonderen Eigenschaften ohne Probieren, also mit Methode zu finden? Ja – mit der Technik des Differenzierens. Welche 'besonderen Punkte' gibt es denn? Das ist freilich Ansichtssache. Vielleicht würde ein Oktopus all die Punkte für 'besonders schön' halten, deren y-Wert 8 beträgt, schon allein wegen der Namensgleichheit. Wir besinnen uns auf die bekannten Aufgaben, den Verlauf eines Graphen zu skizzieren, das bedeutet die Funktion 'in den Griff zu bekommen'. Wo sind besonders große oder kleine Werte? Wo biegt sich der Graph in welche Richtung? Und so weiter. All dies können wir leicht finden: ▷ Nullstellen Sie sind wichtig, weil man sie a) zum Skizzieren hervorragend verwenden und b) leicht berechnen kann. Für a) gilt, dass die Funktion zwischen Nullstellen niemals die x-Achse schneidet und immer das gleiche Vorzeichen hat. Wenn die Funktionswerte ihr Vorzeichen wechseln, dann kann das nur in einer Nullstelle geschehen (muss aber nicht). Für b) gilt: f(x)=0 : Setze die Funktionsgleichung gleich Null und löse sie. ▷ Extremwerte Sie sind wichtig, weil man sie a) zum Skizzieren hervorragend verwenden und b) leicht berechnen kann. Für a) gilt, dass Du im Extremwert entweder ein Tal (Beule nach unten) oder einen Berg (Beule nach oben) zeichnest. Zwischen zwei Extremwerten ist die Funktion entweder immer fallend oder immer steigend. Dieses Wachstumsverhalten kann sie nur in einem Extremwert ändern (muss aber nicht) Für b) gilt: ∂ x f(x)=0 : Setze die erste Ableitung der Funktionsgleichung gleich Null und löse sie. Überlege oder teste, ob es tatsächlich ein Extremwert ist. ▷ Wendepunkte Sie sind wichtig, weil man sie a) zum Skizzieren hervorragend verwenden und b) leicht berechnen kann. Für a) gilt: Beim Zeichnen einer gekrümmten Linie von links nach rechts (wachsende x-Werte) kann die Krümmung nach links, d.h. gegen den Uhrzeigersinn, was die linke Hand besser kann, sein, oder nach rechts, d.h. im Uhrzeigersinn, was die rechte Hand besser kann. Dieses Krümmungsverhalten kann sich nur in Wendepunkten ändern (muss aber nicht). Für b) gilt: ∂ 2 xf(x)=0 : Setze die zweite Ableitung der Funktionsgleichung gleich Null und löse sie. Überlege oder teste, ob es tatsächlich ein Wendepunkt ist. HIB Wien --- Kurvendiskussion 1 v0.98 urban 4/2011 S. 2
Wer kann was: f(x) die Funktionswerte Er kann positiv sein (über der Achse) oder negativ sein (unter der Achse). Ein Wechsel kann nur dort auftreten, wo der Graph die Achse schneidet: bei den Nullstellen mit f(x) = 0 ∂ x f(x) die Anstiege (erste Ableitung) Die Funktion kann wachsen (die Funktionswerte werden größer, der Tangentenanstieg ist positiv, ∂ x f(x)>0) oder fallen (die Funktionswerte werden kleiner, der Tangentenanstieg ist negativ, ∂ x f(x) 0. Der Graph einer rechtsgekrümmten Funktion biegt sich im Uhrzeigersinn, in mathematisch negativer Drehrichtung. Die Tangentenanstiege werden kleiner, hier gilt ∂ 2 xf(x) > 0. Ein Wechsel des Verhaltens kann nur dort auftreten, wo die Kurve lokal 'gerade' (ungekrümmt) ist, also in den Wendepunkte mit ∂ 2 xf(x) = 0. Beachte: f(x) = 0 ist immer eine Nullstelle. Doppelt auftretende Nullstellen (oder 4 mal, 6 mal,...) sind gleichzeitig Extremwerte. Nullstellen die 3, 5, 7,... mal auftreten sind auch Wendepunkte. Idee: lokal sieht der Graph in der Nullstelle so aus wie x n mit geradem oder ungeradem Grad im Wert x=0. ∂ x f(x) = 0 ergibt einen 'kritischen Punkt', aber nicht immer einen Extremwert. Ist die zweite Ableitung an dieser Stelle ungleich Null, ist alles klar. Sonst müsste man so lange weitere Ableitungen berechnen und an dieser Stelle auswerten, bis sich eine Ableitung ergibt die nicht Null ist. Ist dies eine gerade (2., 4,. 6.,...), liegt ein Extremwert vor. Sonst ein Wendepunkt. Einfachere Alternative: Mithilfe der Funktionsgleichung je einen Punkt des Graphen knapp links und einen knapp rechts des kritischen Punktes berechnen. Dann einfach die Höhen der drei Punkte vergleichen. ∂ 2 xf(x) = 0 ergibt nicht immer einen Wendepunkt. Streng genommen müsste man verfahren wie oben – wenn die erste an dieser Stelle nicht verschwindende Ableitung (d.h. sie ist nicht Null) eine ungerade ist, liget tatsächlich ein Wendepunkt vor, sonst ein Extremwert. Doch das ist ja schon im vorangegangenen Absatz geklärt worden. HIB Wien --- Kurvendiskussion 1 v0.98 urban 4/2011 S. 3
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