Kurvendiskussion - HIB

Kurvendiskussion
Besondere Punkte einer Kurve
Dein Lehrer verrät Dir die Gleichung einer Funktion: f x = x 4 −2 x 3 4 . Deine Aufgabe ist es, den
kleinsten Zahlenwert zu finden, der bei dieser Funktion herauskommen kann (das 'Minimum' der Werte, wenn
man alle reellen Zahlen für x einsetzen darf).
Das ist ja einfach: schnell eine Wertetabelle
x f(x)
-4 388
-3 139
-2 36
-1 7
0 4
1 3
2 4
3 132
Die Sachlage ist klar: weit außen dominiert
x 4 , da gibt es keine 'kleinen' Wert.
Der kleinste Wert, der sich ergibt, ist die 3
an der Stelle 1.
Fertig.
da ist der Wert !
Oder haben wir uns zu früh gefreut? Dass das Minimum zwischen x=0 und x=2 liegen muss ist klar. An diesen
Grenzen sind die Funktionswerte gleich und dazwischen kleiner. Aber was ist knapp neben x=1?
x f(x)
0.9 3.189
1.0 3
1.1 2.802
dieser Wert ist ja noch kleiner !
x=1 mit Funktionswert 3 ist also sicher nicht die richtige Antwort gewesen. Ist f(1.1) = 2.802 die richtige
Antwort? Oder müssen wir weiter probieren? Und wenn ja bis zu welcher Genauigkeit? Das wird wohl echt
viel Rechenarbeit.
HALT! Richtige Mathematiker haben was gegen überflüssige Herumrechnerei. Die erinnern sich an die Idee
von Leibniz mit den Tangentenanstiegen. Mithilfe des Differenzierens bekommen wir den Anstieg der Tangente
in einem Punkt direkt aus der Funktionsgleichung. Und was zeichnet ein Minimum aus? Es hat eine waagrechte
Tangente.
Übersetzt ins rechnerische:
finde die Stelle (x-Wert), an dem der Funktionswert minimal ist = finde die Stelle mit der waagrechten
Tangente = finde die Stelle, an der die Ableitung gleich 0 ist.
f x = x 4 −2 x 3 4 ⇒ Anstieg im Punkt (x/y) = df
dx = ∂ x f = 4 x3 −6 x 2
und die Ableitung setzten wir nun Null, um eine waagrechte Tangente zu erzwingen
4 x 3 −6 x 2 = 0
2 x 2 ⋅2x−3 = 0
x=0 oder x= 3 2
Wir erhalten zwei Ergebnisse: x=0, für unsere Aufgabenstellung hier völlig uninteressant. Und x = 1.5, das
sehen wir uns genauer an. Ist hier wirklich der Funktionswert minimal? Wir testen sofort eine kleine
Umgebung:
HIB Wien --- Kurvendiskussion 1 v0.98 urban 4/2011 S. 1

x f(x)
1.4 2.3536
1.5 2.3125
1.6 2.3616
endlich gefunden ?
Und eine 'ganz ganz kleine' Umgebung?
x f(x)
1.49 2.312946
1.50 2.3125
1.51 2.312954
tatsächlich gefunden !
Unsere erste Idee war falsch – die Wertetabelle mit den ganzen Zahlen war zu ungenau. Gibt es eine
Möglichkeit, Punkte mit besonderen Eigenschaften ohne Probieren, also mit Methode zu finden? Ja – mit der
Technik des Differenzierens.
Welche 'besonderen Punkte' gibt es denn?
Das ist freilich Ansichtssache. Vielleicht würde ein Oktopus all die Punkte für 'besonders schön' halten, deren
y-Wert 8 beträgt, schon allein wegen der Namensgleichheit.
Wir besinnen uns auf die bekannten Aufgaben, den Verlauf eines Graphen zu skizzieren, das bedeutet die
Funktion 'in den Griff zu bekommen'. Wo sind besonders große oder kleine Werte? Wo biegt sich der Graph in
welche Richtung? Und so weiter. All dies können wir leicht finden:
▷ Nullstellen
Sie sind wichtig, weil man sie a) zum Skizzieren hervorragend verwenden und b) leicht berechnen kann.
Für a) gilt, dass die Funktion zwischen Nullstellen niemals die x-Achse schneidet und immer das gleiche
Vorzeichen hat. Wenn die Funktionswerte ihr Vorzeichen wechseln, dann kann das nur in einer Nullstelle
geschehen (muss aber nicht).
Für b) gilt: f(x)=0 : Setze die Funktionsgleichung gleich Null und löse sie.
▷ Extremwerte
Sie sind wichtig, weil man sie a) zum Skizzieren hervorragend verwenden und b) leicht berechnen kann.
Für a) gilt, dass Du im Extremwert entweder ein Tal (Beule nach unten) oder einen Berg (Beule nach oben)
zeichnest. Zwischen zwei Extremwerten ist die Funktion entweder immer fallend oder immer steigend. Dieses
Wachstumsverhalten kann sie nur in einem Extremwert ändern (muss aber nicht)
Für b) gilt: ∂ x f(x)=0 : Setze die erste Ableitung der Funktionsgleichung gleich Null und löse sie. Überlege oder
teste, ob es tatsächlich ein Extremwert ist.
▷ Wendepunkte
Sie sind wichtig, weil man sie a) zum Skizzieren hervorragend verwenden und b) leicht berechnen kann.
Für a) gilt: Beim Zeichnen einer gekrümmten Linie von links nach rechts (wachsende x-Werte) kann die
Krümmung nach links, d.h. gegen den Uhrzeigersinn, was die linke Hand besser kann, sein, oder nach rechts,
d.h. im Uhrzeigersinn, was die rechte Hand besser kann. Dieses Krümmungsverhalten kann sich nur in
Wendepunkten ändern (muss aber nicht).
Für b) gilt: ∂ 2 xf(x)=0 : Setze die zweite Ableitung der Funktionsgleichung gleich Null und löse sie. Überlege
oder teste, ob es tatsächlich ein Wendepunkt ist.
HIB Wien --- Kurvendiskussion 1 v0.98 urban 4/2011 S. 2

Wer kann was:
f(x) die Funktionswerte
Er kann positiv sein (über der Achse) oder negativ sein (unter der Achse). Ein Wechsel kann nur dort auftreten,
wo der Graph die Achse schneidet: bei den Nullstellen mit f(x) = 0
∂ x f(x) die Anstiege (erste Ableitung)
Die Funktion kann wachsen (die Funktionswerte werden größer, der Tangentenanstieg ist positiv, ∂ x f(x)>0) oder
fallen (die Funktionswerte werden kleiner, der Tangentenanstieg ist negativ, ∂ x f(x) 0.
Der Graph einer rechtsgekrümmten Funktion biegt sich im Uhrzeigersinn, in mathematisch negativer
Drehrichtung. Die Tangentenanstiege werden kleiner, hier gilt ∂ 2 xf(x) > 0.
Ein Wechsel des Verhaltens kann nur dort auftreten, wo die Kurve lokal 'gerade' (ungekrümmt) ist, also in den
Wendepunkte mit ∂ 2 xf(x) = 0.
Beachte:
f(x) = 0 ist immer eine Nullstelle. Doppelt auftretende Nullstellen (oder 4 mal, 6 mal,...) sind gleichzeitig
Extremwerte. Nullstellen die 3, 5, 7,... mal auftreten sind auch Wendepunkte. Idee: lokal sieht der Graph in der
Nullstelle so aus wie x n mit geradem oder ungeradem Grad im Wert x=0.
∂ x f(x) = 0 ergibt einen 'kritischen Punkt', aber nicht immer einen Extremwert. Ist die zweite Ableitung an dieser
Stelle ungleich Null, ist alles klar.
Sonst müsste man so lange weitere Ableitungen berechnen und an dieser Stelle auswerten, bis sich eine
Ableitung ergibt die nicht Null ist. Ist dies eine gerade (2., 4,. 6.,...), liegt ein Extremwert vor. Sonst ein
Wendepunkt.
Einfachere Alternative: Mithilfe der Funktionsgleichung je einen Punkt des Graphen knapp links und einen
knapp rechts des kritischen Punktes berechnen. Dann einfach die Höhen der drei Punkte vergleichen.
∂ 2 xf(x) = 0 ergibt nicht immer einen Wendepunkt. Streng genommen müsste man verfahren wie oben – wenn
die erste an dieser Stelle nicht verschwindende Ableitung (d.h. sie ist nicht Null) eine ungerade ist, liget
tatsächlich ein Wendepunkt vor, sonst ein Extremwert. Doch das ist ja schon im vorangegangenen Absatz
geklärt worden.
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