Trigonometrie 1 - mathekurs.ch

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Trigonometrie 1
1. Einleitung, Definition
Die Trigonometrie behandelt das Problem der Berechnung von Dreiecken. Es bestehen schöne
Anwendungen in der Vermessung oder Astronomie.
Aufgabe:
Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel α = 55°. Bestimme die Längen von
Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse und berechne die Näherungswerte der folgenden
Seitenverhältnisse Sinus (sin), Cosinus
(cos), Tangens (tan), Cotangens (cot)
sinα
=
cosα
=
a
c
b
c
=
=
Gegenkathete
Hypotenuse
Ankathete
Hypotenuse
a Gegenkathete
tanα
= =
b Ankathete
b Ankathete
cotα
= =
a Gegenkathete
Schülerinnen schlagen folgende Merkregel vor:
sin cos tan cot
G A G A
H H A G
Bemerkungen:
Da alle rechtwinkligen Dreiecke mit dem Winkel α zueinander ähnlich sind, sind die Werte
der Seitenverhältnisse von der speziellen Wahl des Dreiecks unabhängig Die Werte der
Seitenverhältnisse hängen damit nur vom Winkel ab, sind eine Funktion des Winkels α.
Ist umgekehrt ein Seitenverhältnis gegeben, so bestimmt dies den Winkel α und damit auch
die übrigen Seitenverhältnisse eindeutig.
Zur Herkunft des Wortes Sinus:
Sehne heisst indisch jiva. Es wurde von den Arabern als Fremdwort übernommen. Da es
ähnlich tönt wie das arabische Wort für Ein-, Ausbuchtung führte dies zur falschen
Übersetzung ins Lateinische.
08.11.2013 trigo_1_s/ul

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Aufgabe:
Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck mit Winkel α, so dass gilt sin α = 4 /5 und gib die
restlichen Funktionswerte (ohne TR) an.
Wähle z.B. die Gegenkathete a = 8 und die
Hypotenuse c = 10. Für die Ankathete b gilt
dann nach Pythagoras b = 4. Damit können die
Funktionswerte angegeben werden:
cos α = 4 /5, tan α = 3 /4, cot α = 4 /3.
Übungsaufgabe:
geg. tanα = 8
ges. cosα ohne TR
Lösung: cosα = 1 /3
2. spezielle Winkel
Die trigonometrischen Funktionswerte sind i.a. irrationale Zahlen, für die der Taschenrechner
Näherungswerte liefert. Wie die folgenden Beispiele zeigen, können in einigen Fällen genaue
Werte angegeben werden.
a) α = 45°
Betrachte die Hälfte eines Einheitsquadrats
1 2
sin 45°
= cos45°
= = tan 45°
= cot 45°
= 1
2 2
b) α = 30° bzw. 60°
Betrachte die Hälfte eines gleichseitigen Dreiecks mit der
Seite 2 und der Höhe 3
1
sin 30° = cos 60° = sin 60° = cos 30° =
2
1 3
tan 30° = cot 60° = = tan 60° = cot 30° = 3
3 3
3
2
Eselsleiter:
α 0° 30° 45° 60° 90°
sin α
0
2
1
2
2
2
3
2
4
2
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3. Folgerung aus der Definition
sin α = cos (90° - α) z.B. sin 30° = cos 60°
cos α = sin (90° - α) z.B. cos 50° = sin 40°
tan α = cot (90° - α) z.B. tan 20° = cot 70°
cot α = tan (90° - α) z.B. cot 40° = tan 50°
4. Darstellung der trigonometrischen Funktionswerte am Einheitskreis
Die trigonometrischen Funktionswerte erscheinen als Masszahlen der farbig bezeichneten
Strecken. Beachte OB = OC = OE = 1
AB
sin α = = =
OB AB y
OA
cosα
= = =
OB OA x
AB CD
tan α = = =
OA OC
CD
OA EF
cot α = = =
AB OE
EF
Wächst α von 0° bis 90°
- so wächst sin α von 0 bis 1
- so fällt cos α von 1 bis 0
- so wächst tan α von 0 bis ∞, d.h. nähert sich
der Winkel 90°, so wird tan α grösser
als jede noch so grosse positive Zahl
- so fällt cot α von ∞ bis 0.
Beachte:
Die Funktionswerte wachsen nicht linear. Insbesondere bedeutet eine Verdopplung des
Winkels nicht eine Verdopplung des Funktionswerts.
tan 90° bzw. cot 0° sind nicht definiert.
5. Grundlegende Beziehungen
Aus der Skizze ergeben sich die folgenden grundlegenden Beziehungen:
Pythagoras im Dreieck OAP:
(1)
(2)
(3)
2
2
cos α + sin α = 1
sinα
cosα
tanα
= cotα
=
cosα
sinα
1
cotα
=
tanα
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Bemerkungen:
2 2
cos α = cosα ⋅ cos α = (cos α)
(1) drückt aus, dass sich cos α in sin α ausdrücken lässt
cosα
= 1−
sin
2
α
bzw. umgekehrt sin α in cos α
sinα
=
1−
cos
Die Beziehungen gelten für beliebige zulässige Winkel, d.h. α kann z.B. ersetzt werden
durch 2β oder γ/2.
Die Funktionswerte sind aber nicht zum Winkel proportional d.h. sin (2α) ≠ 2sin α
Beispiele:
- Grundlegende Beziehungen anwenden
- Terme auf einen gemeinsamen Bruchstrich bringen
- ausklammern, faktorisieren
B: Vereinfache
2 2
sinα cos α sin α 1 2 2 1
cosα + sinα ⋅ tanα = cosα + sin α ⋅ = + = ⋅ (sin α + cos α)
=
cosα cosα cosα cosα cosα
B: Vereinfache
4 4 4 4 2 2 2 2
sin α − cos α s − c ( s − c ) ⋅ ( s + c ) 2 2
= = = s + c = 1
2 2 2 2 2 2
sin α − cos α s − c s − c
2
α
B: Beweise die folgenden Identitäten:
2
a) α 1
1 + tan =
b)
cos
2 α
1 cot
α
2
+ =
1
2
sin α
Es ist zu zeigen, dass für jeden zulässigen Winkel linke und rechte Seite übereinstimmen.
Zeige, dass sich z.B. die linke (kompliziertere Seite) in die rechte Seite überführen lässt.
2 2 2 2
⎛ sinα ⎞ sin α cos α + sin α
a) L = 1+ ⎜ ⎟ = 1+ = = R
2 2
⎝ cosα ⎠ cos α cos α
b) analog
Übungsaufgabe:
Beweise die folgenden Identitäten:
sinα
⋅cosα
a) = tanα
b)
2
1−
sin α
2 2
2 tan α ⋅sin
α
= 2
2 2
tan α − sin α
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6. Bestimmung der trigonometrischen Funktionswerte mit der TR
a) Winkel gegeben, Funktionswert gesucht
Winkel im Gradmass (DEG! nicht GRAD!)
B: α= 25° sin 25° = 0.4226 cos 25° = 0.9063
tan 25° = 0.4663 cot 25° = 2.1445 (Kehrwertfunktion!)
Winkel im Bogenmass (RAD)
B: α = 1.309 sin 1.309 = 0.9659 cos 1.309 = 0.2588
tan 1.309 = 3.7321 cot 1.309 = 0.2679
⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞
Test mit sin ⎜ ⎟ = 0.5 bzw. tan ⎜ ⎟ = 1
⎝ 6 ⎠
⎝ 4 ⎠
b) Funktionswert gegeben, Winkel gesucht
Die Umkehrfunktion des Sinus heisst Arcussinus. Sie gibt zu einem bestimmten Sinuswert
den zugehören spitzen Winkel an (Bogen heisst auf lateinisch arcus).
Gradmass: sin α = 0.8 α = arcsin 0.8 = 23.6°
cos α = 0.4 α = arccos 0.4 = 66.4°
tan α = 2 α = arctan 2 = 63,4°
cot α= 4
berechne zunächst tan α = 0.25 (Kehrwertfunktion!)
und daraus α = arctan 0.25 = 14.0°
Bogenmass sin α = 0.8 α = arcsin 0.8 = 0.9273
cos α = 0.4 α = arccos 0.4 = .1.1593
tan α = 2 α = arctan 2 = 1.1071
cot α = 4
berechne zunächst tan α = 0.25 (Kehrwertfunktion!)
und daraus α = arctan 0.25 = 0.245
Zeige (ohne TR):
arctan(1) arctan(2) arctan(3) 180
+ + = °
α = ?
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7. Berechnung des rechtwinkligen Dreiecks
Eine Winkelfunktion verknüpft einen Winkel und zwei Seiten. Aus zwei der Grössen lässt
sich die dritte berechnen.
Grundaufgabe 1:
Berechne ein rechtwinkliges Dreieck aus einem Winkel und der Hypotenuse
Gegeben: c, α
β = 90° - α
a = c⋅sin α
b = c⋅cos α
numerische Beispiele:
α = 29.6°, c = 23.9 β = 60.4° a = 11.8 b = 20.8
α = 19.4°, c = 7.63 β = 70.6° a = 2.54 b = 7.20
Grundaufgabe 2:
Berechne ein rechtwinkliges Dreieck aus einem Winkel und einer Kathete
Gegeben: a, β
α = 90° - β
a
cos β =
c
b
tan β =
a
a
c =
cos β
b = a ⋅tan
β
numerisches Beispiel:
a = 31.7 β = 58.0° α = 32.0° c = 59.8 b = 50.7
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Grundaufgabe 3:
Berechne ein rechtwinkliges Dreieck aus der Hypotenuse und einer Kathete
Gegeben: c, b
b ⎛ b
sinβ
= β = arcsin⎜
⎞ c
⎝ c⎠ ⎟
α = 90 °−β
a
cosβ
= a = c cosβ
c
numerisches Beispiel:
c = 13.6, b = 8.95 β= 41.2° α = 48.8° a = 10.24
Grundaufgabe 4:
Berechne ein rechtwinkliges Dreieck aus den Katheten
Gegeben: a, b
a
⎛ a
tan α = α = arctan⎜
⎞ b
⎝ b⎠ ⎟
β = 90 °−α
a a
sin α = c =
c sinα
Höhe h: h = b ⋅ sinα
Hypotenusen abschnitte:
p = a ⋅ cos β q = b⋅
cosα
numerisches Beispiel:
a = 3.17, b = 5.08 α = 32.0° β = 58.0° c = 5.99
Aufgabe:
Von einem rechtwinkligen Dreieck ABC sind die Kathete a und die Hypotenuse c gegeben.
Berechne a) die Höhe hoch b) die Winkelhalbierende wα c) die Seitenhalbierende Sub.
Lösung:
⎛
a) β arccos a ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ c ⎠
h = a ⋅ sin β
b
b) α = 90° − β b = c ⋅ cosα
w α
=
α
cos
c)
b
⎛ b ⎞
tanε
= ε = arctan ⎜ ⎟
2a
⎝ 2a
⎠
a a
cosε
= sb
=
s cosε
b
( ) 2
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Übungsaufgaben:
a)
Von einem rechtwinkligen Dreieck kennt man die Hypotenuse c = 74.00 und die
Kathete a = 24.00. Berechne die Winkelhalbierende wα.
Lösung: wα = 70.97
b)
Die Fahrt mit der Seilbahn von der Talstation A zur Bergstation B dauert 16 Minuten. Die
mittlere Geschwindigkeit der Kabine beträgt 2 Meter pro Sekunde. Wir nehmen an, dass sich
die Kabine längs einer Geraden bewegt, die mit der Horizontalen einen Winkel von 25° bildet.
Berechne auf Meter genau die Höhe der Bergstation B über der Talstation A.
8. Berechnung von gleichschenkligen Dreiecken, Trapezen, regulären Vielecken
Gleichschenklige Dreiecke, Rechtecke, Rhomben, usw. können berechnet werden, indem man
geeignete rechtwinklige Teildreiecke betrachtet.
Aufgabe:
Berechne ein gleichschenkliges Dreieck aus der Basis c und der Höhe ha.
ha
⎛ ha
⎞
sin β = β = α = arcsin⎜
⎟
c
⎝ c ⎠
γ = 180° − 2β
cos β =
hc
sin β =
a
c c
=
a 2a
1
2
h
c
c
a =
2cos β
= a ⋅sin
β =
1
2
c ⋅ tan β
numerisches Beispiel:
c = 86.4, ha = 78.5
α = β = 65.3° γ = 49.4°
a = b = 103.4 hc = 94.0.
Ergänzung: Berechne den Inkreis- bzw. den Umkreisradius.
Aufgabe:
Im gleichseitigen Dreieck ABC mit der Seite
a = 6 wird die Seite AB durch die Teilpunkte
T1 und T2 in drei gleiche Teile zerlegt.
Welchen Winkel schliessen die Geraden CT1
und CT2 ein?
Pythagoras:
2 2
h = 6 − 3 = 3 3
ϕ 1
⎛ 1 ⎞
tan ( 2 ) = ϕ = 2arctan ⎜ ⎟ ≈ 21.8°
3 3
⎝ 3 3 ⎠
1
ε = 30° − ϕ ≈ 19.1°
2
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Übungsaufgaben:
a)
Bestimme in einem Rechteck mit den Seiten a = 28 und b = 45 den spitzen Schnittwinkel der
Diagonalen.
Lösung: 63.78°
b)
Wie gross sind die Innenwinkel eines Rhombus mit den Diagonalen e = 171.6 und f = 245.1
Lösung: 110.0°, 70.0°.
Aufgabe:
Berechne ein gleichschenkliges Trapez aus a, h und α.
Geg. a, h, α = β
Ges. b = d , c Diagonale e = f
g = EB
h
h
= sinα
b =
b
sinα
g = h ⋅ cotα
c = a − 2g
= a − 2h
⋅ cotα
a + b
m =
2
Bestimmung der Diagonalen nach Pythagoras.
Variante: Hilfswinkel ε:
h
tan a g
⎛ h ⎞ h
ε = ⎜ ⎟ = sin ε
⎝ a − g ⎠ e
numerisches Beispiel: a = 54.6 h = 9.86 α = 65.5°
b = 10.8 c = 45.6 e = 11.1
e = f =
h
sin ε
Kann keine direkte Beziehung zwischen bekannten Grössen und der gesuchten Grösse
aufgestellt werden, so führe man eine Hilfsvariable ein.
Eine einfache Vermessungsaufgabe:
Berechne die Höhe h eines Turmes, dessen
Fusspunkt unzugänglich ist.
geg: α, β, s Hilfsvariable BF = x
s + x = h⋅ cotα
x = h⋅ cot β eingesetzt
s + h⋅ cot β = h⋅
cotα
s s ⋅ tanα
⋅ tan β
h = =
cotα − cot β tan β − tanα
num. B Kühlturm, Augenhöhe: 1.59 m, s = 80.00 m, α = 13.13°, β = 14.91°
Lösung: h = 152.5 m (incl. Augenhöhe)
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Übungsaufgabe:
Der Beobachter B befindet sich a = 70 m über
dem Seespiegel. Er sieht die Bergspitze unter
dem Höhenwinkel α = 28°, ihr Spiegelbild
unter einem Tiefenwinkel β = 35°. Wie hoch
liegt S über dem Seespiegel?
Lösung:
Aufgabe:
Berechne den Flächeninhalt I eines spitzwinkligen Dreiecks aus zwei Seiten a,b und dem
eingeschlossenen Winkel γ
hb
sinγ
= hb
= a ⋅sinγ
a
(1)
b ⋅ hb
I = =
1 ab sinγ
2
2
⋅
halbes Produkt der beiden Seiten mit
dem Sinus des eingeschlossenen Winkels.
numerisches Beispiel:
a = 8.0, b = 6.0, γ = 49.4° I = 18.2
Aufgabe:
Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks mit Schenkel s und dem Winkel 2α zwischen
den beiden Schenkeln
einerseits nach (1)
2I
= s ⋅ s ⋅sin(2α
)
andrerseits aus Grundlinie und Höhe
2I
= s ⋅ s ⋅ 2 ⋅ sinα
cosα
Daraus folgt die wichtige Formel:
sin( 2α
) = 2sinα
⋅ cosα
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Die eben hergeleitete Formel ermöglicht es, den Sinuswert des doppelten Winkels zu
berechnen. Da für kleine Winkel der Sinus gut mit dem Bogenmass des entsprechenden
Winkels übereinstimmt gilt:
π
sin 1° ≈ = 0. 01745329252...
180
π
sin 2° ≈ 2 ⋅ 1− ⎛ 0. 03490126806...
180 ⎝ ⎜ π ⎞
⎟ =
180⎠
sin 4° ≈ 0.
0676000998
2
In der Praxis verwendet man (möglichst rasch konvergierende) Reihen, z.B → F u.T
Übungsaufgaben:
a)
Einem Kreis mit Radius r ist ein reguläres n-Eck a) einbeschrieben b) umbeschrieben.
Berechne die entsprechenden Flächeninhalte.
Ie
⎛ 360°
⎞
⎝ n ⎠
1 2
=
2
⋅ nr sin ⎜ ⎟
Iu
2 ⎛180°
⎞
= nr tan ⎜ ⎟
⎝ n ⎠
b)
Übungsaufgabe:
Zwei Kreisscheiben mit Radius r1 = 40 cm und r2 = 20 cm sind mit gekreuzten Lederriemen
verbunden. Der Winkel des Riemens an der Kreuzungsstelle ist 60°. Wie lang ist der Riemen?
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9. Aufgaben aus der Raumgeometrie
Räumliche Aufgaben können auf ebene zurückgeführt werden, indem man geeignete Schnitte
betrachtet.
Aufgabe:
Wie gross ist die Geschwindigkeit, mit der sich eine Erdbewohnerin im Punkt P mit der
geografischen Länge λ und der geografischen Breite ϕ um die Erdachse bewegt? (Die Erde
wird bei dieser Aufgabe als Kugel mit
dem Radius 6.37⋅10 3 km angenommen).
In der Skizze ist der Schnitt durch den
Längenkreis von P dargestellt. In 24
Stunden legt die Erdbewohnerin den
Umfang des Breitenkreises mit Radius ρ
zurück:
Umfang des Breitenkreises:
U = 2πρ = 2π R ⋅ cosϕ
Im Spezialfall Zofingen (λ = 7.94383°
E) und ϕ = 47.28351°N legt die Bewohnerin
U = 2πρ = 2π R ⋅ cosϕ
≈ 27151 km
in 24⋅3600 s zurück, bewegt sich also mit einer Geschwindigkeit von v = 314 m/s um die
Erdachse.
Zusatzfrage:
Auf welchem Breitenkreis könnte ein Flugzeug mit der Durchschnittsgeschwindigkeit von
300 km/h (in Österreich kmh genannt!?) in einem Tag gerade um die Erde fliegen?
Lösung: 2π
R ⋅ cosϕ
= 24⋅ 300 ϕ = 79.6°
Übungsaufgabe:
Der 47°-Breitenkreis geht durch Neuchâtel und Bad Ragaz. Berechne den sphärischen
Abstand der beiden Ortschaften aus ihren Längen 6°57’ und 9°30’.
Lösung:
Winkel bei regulären Polyedern
Es kann bewiesen werden, dass es genau fünf reguläre Körper gibt. Euler hat den sogenannten
Eulerschen Polyedersatz bewiesen, der eine Aussage über die Beziehung zwischen der Anzahl
der Ecken e, der Anzahl der Flächen f und der Anzahl der Kanten k macht:
e + f - k = 2
Eulersche Polyedersatz
1. Der Würfel (Hexaeder) e = 8 f = 6 k = 12
Berechne den Winkel zwischen der Raumdiagonale und einer Würfelkante.
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Betrachte das rechtwinklige Dreieck aus einer Kante, einer Flächendiagonale und einer
Raumdiagonale α = arctan( 2) ≈ 54. 74°
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2. Das Tetraeder e = 4 f = 4 k = 6
Es wird von 4 gleichseitigen Dreiecken begrenzt. Das Tetraeder kann durch Verbinden
geeigneter Ecken eines Würfels dargestellt werden. Berechne
a) den Winkel α zwischen einer Kante und einer Fläche
b) den Winkel β zwischen zwei Flächen
In der Abbildung rechts ist der Grundriss des Tetraeders ABCD mit der Grundfläche ABC in
der xy-Ebene dargestellt. Legt man einen geeigneten Schnitt in die Grundebene um, so
entsteht das gleichschenklige Dreieck CED, wobei die Tetraederseite gleich der
Flächendiagonalen des links dargestellten Würfels ist. Wählen wir als Tetraederkante 2 dann
gilt für die
Höhe des gleichseitigen Dreiecks: h = CE = 3
Da die Höhe zugleich Seitenhalbierende ist verhalten sich die Höhenabschnitte wie 2: 1 d.h.
es gilt:
EF =
3
3
CF
CF =
2 3
3
3
cosα = = α = 54.7°
CD 3
cos β = 1 /3 und damit β = arccos( 1 /3) ≈ 70.5°
bzw. β = 180° - 2α.
3. Das reguläre Oktaeder e = 6 f = 8 k = 12
Es wird von acht gleichseitigen Dreiecken begrenzt.
Skizze:
Die Mitten der sechs Seitenflächen des Würfels bilden ein reguläres Oktaeder.
Halbiert man das Tetraeder so ist zu erkennen, dass sich
Gegenkathete und Ankathete des halben Winkels wie
die Diagonale und die Seite eines Quadrats verhalten.
Damit gilt für den gesuchten Winkel α zwischen zwei
benachbarten Seitenflächen
α = 2⋅arctan(
2) ≈ 109. 5°
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4. Das reguläre Dodekaeder 5. Das reguläre Ikosaeder
e = 20 f = 12 k = 30 e = 12 f = 20 k = 30
vgl. den Beitrag Auszug aus: Bilder der Mathematik Georg Glaeser, Konrad Polthier
http://www.symmetrie.info/downloads/begleittext_symmetrie_ausstellung.pdf
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10. Beispiele aus der Physik
Aufgabe:
Zerlege den Kraftvektor F mit F = 7500 N in zwei Komponenten F1 und F2, die mit F die
Winkel α1 = 27.8° und α2 = 90° - 27.8°
einschliessen.
F1 = F cos 27.8° = 6634.4 N
F2 = F sin 27.8° = 3497.9 N
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Aufgabe: Drei Gewichte
Über zwei Rollen in gleicher Höhe im Abstand von 4.7 dm wird eine Schnur gelegt, an deren
Enden je ein Gewicht mit der Gewichtskraft von 3 N bzw. 4 N hängt. Zwischen den beiden
Rollen ist an einem Knoten ein Gewicht mit einer Gewichtskraft von 3 N befestigt. Berechne
die Winkel, über welche die mittlere Masse im Gleichgewichtszustand mit den beiden Rollen
verbunden ist.
Versuchsanordnung: Markus Ninck, Foto: Rudolf Fischer 20.2.2012
Den drei Kräften entspricht das gleichschenklige Dreieck KLM mit der Basis KM. Im
rechtwinkligen Teildreieck gilt:
cosγ = und daraus γ = 48.2° und schliesslich die gesuchten Winkel zu
2
3
α = 6.4° und β = 41.8°.
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Aufgabe: Brechungsgesetz:
Ein Lichtstrahl, der auf die Grenzfläche von zwei optischen Medien trifft, wird gebrochen
oder reflektiert.
l Lichtstrahl
l’ gebrochener Lichtstrahl
e Einfallslot
α Einfallswinkel
β Brechungswinkel
Dabei gilt das Brechungsgesetz von Snellius:
1. l, l’ und e liegen in einer Ebene.
2. sin α
= n n heisst Brechungsindex
sin β
Beim Übergang
von Luft in Wasser ist n = 4 /3
von Luft in gewöhnliches Glas ist n = 1.54
Übungsaufgaben:
a)
Berechne für α = 27° den Winkel β beim Übergang von Luft in Wasser
Lösung: 20°
b)
Berechne für β = 32.3° den zugehörigen Winkel α wenn der Lichtstrahl von Glas in die Luft
austritt. Bei welchem Winkel tritt Totalreflexion ein?
Lösung: α = 54.3°, Totalreflexion bei 71.3°
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Planparallele Glasplatten
Ein Lichtstrahl fällt mit dem Einfallswinkel α auf
eine plane Glasplatte der Dicke d. Bestimme die
parallele Verschiebung v des ausfallenden Lichtstrahls
zum einfallenden Strahl.
sinα
n
sin β = 1
sin β =
n
⋅ sinα
s = d ⋅ tan β
2 2
m = s + d
v = m ⋅sin ( α − β )
oder auch
⎛
v = d ⋅sinα
⋅⎜1−
⎝
cosα
⎞
⎟
2 2
n − sin α ⎠
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11. Steigungswinkel einer Geraden
Der Winkel, den eine Gerade mit der
positiven x-Achse einschliesst, heisst
Steigungswinkel der Geraden.
Die Steigung m einer Geraden gibt die
Veränderung der y-Koordinate an, wenn
y
x um 1 wächst: m = ∆ ∆ x
.
Satz:
m = tan α
Die Steigung ist gleich dem Tangens des
Steigungswinkels
B:
3x - 2y + 2 = 0 implizite Form
y = 3 /2 x + 1 explizite Form
tan α = 3 /2 α = arctan( 3 /2 ) = 56.3°
B:
Die Polybahn überwindet auf 176 m Horizontaldistanz eine Höhendifferenz von 41 m.
41
Die Steigung beträgt m = tanα
= ≈ 0.23 also 23%, der Steigungswinkel beträgt
176
⎛ 41 ⎞
α = arctan ⎜ ⎟ ≈ 13.1°
⎝176
⎠
a% Steigung bedeutet a Meter Höhendifferenz auf 100 Meter Horizontaldistanz.
Steigung 100% bedeutet insbesondere Steigungswinkel 45°
Weitere Übungsaufgaben z.B.
Erhard Rhyn:
Aufgabensammlung Trigonometrie und Vektorgeometrie mit Lösungen
rhyn.gut@balcab.ch
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