MOD (PDF, 395,6 KB) - TU Berlin

Einführung in die optische Nachrichtentechnik
MOD/1
Modulationsverhalten von Halbleiterlasern (MOD)
(siehe auch: K. Petermann, Laser diode modulation and noise, Kluwer Academic, 1991)
1 Bilanzgleichungen
Das Modulationsverhalten von Halbleiterlasern läÿt sich am einfachsten beschreiben mit den sogenannten
Bilanz- (oder Raten-) Gleichungen.
1.1 Bilanzgleichung für die Photonen
Wir betrachten einen spektral einwelligen Laser, in dessen Lasermodus sich S Photonen benden. Es
gilt dann für die zeitliche Veränderung der Photonenanzahl im Laserresonator:
dS
dt = r st S S= ph + r sp (1)
Dabei bezeichnet r st die eektive stimulierte Emissionsrate im Lasermodus
r st = R st (2)
die nach Maÿgabe des Füllfaktors (vgl. S. HL/6) gegenüber der Volumenrate der stimulierten Emission
R st reduziert ist. Entsprechend reduziert sich auch die spontane Emissionsrate
r sp = R sp ; (3)
wobei wir mit dem Verhältnis
n sp = r sp =r st = R sp =R st (4)
den sogenannten Inversionsfaktor bezeichnen. Entsprechend Seite L/11, L/12 gilt
so daÿ
R st = R stim R abs = R sp R abs ; (5)
R sp
n sp = =
R sp R abs
1
1 R abs =R sp
: (6)
Damit ist stets n sp > 1. Nur für vollständige Inversion (Besetzungswahrscheinlichkeit im Valenzband
f V = 0 bzw. Besetzungswahrscheinlichkeit im Leitungsband f L = 1) wird R abs = 0 und damit n sp = 1
(Dies entspricht übrigens auch dem Fall minimalen Rauschens für Laserverstärker, vergleiche Kapitel
EDFA). Typischerweise ist bei Halbleiterlasern n sp 1; 5:::2; 5.
ph in Gl. (1) bezeichnet die sogenannte Photonenlebensdauer und beinhaltet sowohl die Streuverluste
s als auch die Spiegelverluste m ( m = 2L 1 ln( 1
R 1 R 2
) für den Fabry-Perot-Laser auf Seite HL/10)
gemäÿ
1
ph
= ( s + m )c=N (7)
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mit der Lichtgeschwindigkeit c und dem Gruppenindex N im Laserresonator. Damit läÿt sich die
Bilanzgleichung (1) auch schreiben:
dS
dt = r st(S + n sp ) S= ph : (8)
Um einen Eindruck vom Einuÿ der spontanen Emission (n sp ) zu erhalten, ist es zweckmäÿig, eine
typische Photonenanzahl S im Laserresonator abzuschätzen.
1.1.1 Zusammenhang zwischen Photonenanzahl S und optischer Leistung P
Die gesamte (von beiden Spiegelfacetten) emittierte optische Leistung P des Lasers läÿt sich abschätzen
gemäÿ:
P = (h ) ext
i
(Anzahl stimuliert erzeugter Photonen/Zeit): (9)
Mit (vergl. Seite HL/15)
ext = i = m =( s + m ); (10)
ergibt sich dann aus Gl. (9):
P = (h) m
r
s + st m
S: (11)
Wenn man weiterhin berücksichtigt, daÿ für S >> n sp im stationären Gleichgewicht ( dt d = 0 in Gl.
(8)) r st ' 1
ph
gilt, erhält man mit Gl. (7) schlieÿlich folgenden Zusammenhang:
P = (h ) m (c=N)S (12)
Mit typischen Parametern sowohl für kantenemittierende als auch ächenemittierende (VCSEL) Halbleiterlaser
( m ' 28=cm, c=N = 710 7 m=s, = 1; 55m) gilt beispielsweise
S = 40:000[P=mW ],
so daÿ sich dann für eine emittierte Leistung von 5 mW immerhin 200.000 Photonen im Laserresonator
benden und damit n sp in der Bilanzgleichung (8) im allgemeinen vernachlässigt werden kann (n sp
bestimmt allerdings ganz wesentlich das Rauschverhalten von Laserdioden und Laserverstärkern).
1.2 Bilanzgleichung für die Ladungsträger
Für die Bilanz der Ladungsträgerdichte n gilt:
dn
dt = I
eV
R(n) r st S=V (13)
Dabei bezeichnet der erste Term auf der rechten Seite (I - Injektionsstrom, e - Elementarladung, V -
Volumen der aktiven Zone) die Anzahl der in die aktive Zone injizierten Ladungsträger pro Volumen
und Zeit. Der zweite Term R(n) beschreibt die spontane und die nichtstrahlende Ladungsträgerrekombination.
Der dritte Term beschreibt schlieÿlich den Ladungsträgerverbrauch aufgrund der stimulierten
Emission.
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R(n) kann entwickelt werden um die Ladungsträgerdichte n = n s (n s - Ladungsträgerdichte oberhalb
der Laserschwelle) entsprechend:
R(n) = R(n s ) + dR
dn (n n s) = R(n s ) + 1 (n
e
n s ) (14)
mit der Elektronenlebensdauer e = (dR=dn) 1 . 1
Mit dem Schwellstrom I s = e V R(n s )läÿt sich (13) umschreiben:
dn
dt = I
eV
wobei noch zusätzlich die normierte Verstärkung
eingeführt wurde.
2 Einschaltverhalten von Halbleiterlasern
I s
1
e
(n n s ) G S=(V ph ); (15)
G = r st ph = g=g s (16)
Idealerweise würde sich die emittierte Leistung bei moduliertem Strom durch Spiegelung an der
Licht/Strom-Kennlinie ergeben, wie dies in Abb. 1 schematisch dargestellt ist.
Das dynamische Modulationsverhalten ist aber komplizierter, und zunächst soll die Reaktion des Lasers
auf einen Stromsprung von I 0 (I 0 < I S ) auf I 1 (I 1 > I S ) analysiert werden. Entsprechend Abb. 2 führt
der Unterlegstrom I 0 zunächst zu einer Ladungsträgerdichte n 0 < n S . Wird nun der Strom sprunghaft
auf I 1 erhöht, steigt die Ladungsträgerdichte allmählich (bestimmt durch die Elektronenlebensdauer
e in Gl. (15)) bis auf n = n S an, wo die Laserschwelle erreicht wird und die Laseremission einsetzt.
Das Einsetzen der Laseremission ist dann begleitet von Relaxationsoszillationen der Frequenz f r . Diese
Relaxationsoszillationen entstehen aufgrund des Wechselspiels zwischen der Dynamik der Photonen
(ausgedrückt durch die Photonenlebensdauer ph von einigen ps) und die Ladungsträgerdynamik (ausgedrückt
durch die Ladungsträgerlebensdauer e in der Gröÿenordnung von ns).
Das dynamische Verhalten wird damit bestimmt durch die Einschaltverzögerung t S und die Relaxationsoszillationen
der Frequenz f r .
2.1 Einschaltverzögerung
Die Einschaltverzögerung t S bezeichnet die Zeit, die vergeht, bis die Ladungsträgerdichte n S erreicht
wird. Während dieser Zeit ist die Photonenanzahl im Laserresonator noch sehr gering (S 0).Zur
Zeit t=0 werde der Strom von I 0 < I S auf I 1 > I S geschaltet, und als Lösung von Gl. (15) (für S=0)
ergibt sich für t t S :
n(t)
1
Im Kapitel HL war vereinfachend R(n) = n= e gesetzt worden
n S = e
eV [(I 1 I S ) (I 1 I 0 )exp( t= e )] (17)
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Abb. 1: Ideales Modulationsverhalten eines Halbleiterlasers
Für t = t S gilt n(t S ) = n S woraus sich die Einschaltverzögerung t S aus Gl. (17) für t = t S ergibt:
t S = e ln I 1 I 0
I 1 I S
; (I 0 < I S , I 1 > I S ) (18)
Die Einschaltverzögerung verschwindet für I 0 = I S .Deshalb ist eine Regelung für den Unterlegstrom
I 0 erforderlich, um Schwankungen des Schwellstroms I S z.B. aufgrund von Temperaturschwankungen
auszugleichen. Sie verschwindet auch für Unterlegströme I 0 > I S , allerdings ist man im allgemeinen
an einem möglichst hohen Extinktionsverhältnis P 1 =P 0 interessiert, weshalb I 0 möglichst nahe am
Schwellstrom I S liegen sollte. Um auf jegliche Regelung des Vorstroms I 0 zu verzichten, ist man
gelegentlich auch an einem vorstromfreien Betrieb (I 0 = 0) des Lasers interessiert. Für I 1 =I S >> 1
können sich u.U. genügend kleine Einschaltverzögerungen ergeben. Aus Gl. (18) folgt für I 0 = 0 und
I 1 =I S >> 1:
t S =
e
I 1
I S
1
Der vorstromfreie Betrieb ist im allgemeinen auf Bitraten B 1Gbit=s beschränkt, um
B t S

2
1
J
J
J
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1
1
=
2
J 5
B
H
2
5
>
Abb. 2: Einschaltverhalten eines Halbleiterlasers (Injektionsstrom (a), Emittierte optische Leistung
(b), Ladungsträgerdichte (c))
3 Kleinsignalmodulationsverhalten
Das Modulationsverhalten wird mit den Gl. (8), (15) durch 2 gekoppelte nichtlineare Dierentialgleichungen
beschrieben. Für einen einfachen Überblick ist es zweckmäÿig, die Bilanzgleichungen um einen
festen Arbeitspunkt herum zu linearisieren:
?
I = I 0 + Re(Iexp(j! m t)) (20)
S = S 0 + Re(Sexp(j! m t)) (21)
n = n 0 + Re(nexp(j! m t)) (22)
mit j n j

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werden kann
G = r st ph (1 s S) (23)
Man kann typischerweise davon ausgehen, daÿ bei einer Photonendichte S0 = S=V = 10 16 cm 3
die Verstärkung um ca. 10 Prozent zurück geht, also s S = 0:1 für S=V = 10 16 cm 3 und damit
s ( =V )10 17 cm 3 . Wenn man n sp in Gl. (8) noch vernachlässigt, gilt
ph
dS
dt
Die Linearisierung von Gl. (24) mit (21), (22) ergibt:
= (G(n; S) 1)S (24)
j! m ph S = S 0 ( @G
@n n sS) (25)
wobei bereits von s @G=@S und G(n 0 ; S 0 ) = 1 Gebrauch gemacht wurde.
Entsprechend ergibt sich aus Gl. (15) für die Ladungsträgerbilanz:
j! m n = I
eV
n
e
S
V ph
S 0
V ph
( @G
@n n sS): (26)
Wenn die rechte Seite von Gl. (25) in Gl. (26) eingesetzt wird, führt dies auf:
(j! m + 1= e )n = I
eV
S
V (j! m + 1= ph ) (27)
Wir sind an der Übertragung vom modulierten Strom I zur modulierten Lichtleistung bzw. Photonenanzahl
S interessiert, wozu Gl. (25) nach n aufgelöst und in Gl. (27) für n eingesetzt wird,
so daÿ von den Kleinsignalgröÿen nur I und S verbleiben und eine Übertragungsfunktion H(j! m )
formuliert werden kann:
(Annahme bei der Berechnung: s = e

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Der Faktor K ist damit durch relativ universelle Gröÿen festgelegt. So ergibt sich mit ( s V= ) =
10 17 cm 3 (vgl. unterhalb Gl. 23), @g st =@n = 35010 18 cm 2 (siehe Seite HL/3) und c=N = 710 7 m=s
K
(2) 2 = ph + 4ps (33)
ph ist typischerweise in der Gröÿenordnung von ca. 1ps, so daÿ sich daraus insgesamt ein
K 0; 2ns (34)
ergibt. Wie weiter unten gezeigt, sollte K für schnell modulierbare Laser so klein wie möglich sein,
wobei aber einer Verringerung von K enge physikalische Grenzen gesetzt sind. Die verbleibende Gröÿe
! r in Gl. (29), (30) ist gegeben durch
! r = 1
√
@G=@n S 0
ph V
und bezeichnet die Relaxationsresonanzfrequenz (f r = ! r =2).
Wenn man wie bei Gl. (31) für
@G
@n = @g st
g s @n = @g st
s + m @n = ph (c=N) @g st
@n
einführt, läÿt sich für die Relaxationsresonanzfrequenz f r = ! r =2 aus Gl. (35) auch schreiben
f r = 1
2
√
@gst
@n
(35)
(36)
(S =V )(c=N)
ph
(37)
Die Relaxationsresonanzfrequenz hängt damit unmittelbar mit der Photonendichte S0 = (S =V ) im
Laserresonator zusammen. Wie schon bei Gl. (23) erwähnt, liegt die maximale Photonendichte im
Laserresonator bei ca. 10 16 cm 3 , so daÿ sich mit ph = 1ps, c=N = 710 7 m=s, @g st =@n = 350
10 18 cm 2 eine maximale Relaxationsresonanzfrequenz von ca.
ergibt.
4 Diskussion des Modulationsverhaltens
f r j max 25GHz (38)
Die Übertragungsfunktion H(j! m ) gemäÿ Gl. (29) ist in Abb. 3 dargestellt. Klar zu erkennen ist
die Resonanz bei ! r (vergl. auch Abb. 2), die allerdings mit zunehmendem ! r weniger ausgesprägt
ist. ! r ist gemäÿ Gl. (37) arbeitspunktabhängig und nimmt mit zunehmender Photonenanzahl (bzw.
emittierter optischer Leistung) zu. Für ! r ! 1 ist die Grenzfrequenz durch f g = ! d =2 bzw. gemäÿ
Gl. (30) durch
f g;max = 2=K (39)
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&
$
"
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
MOD/8
@ *
> A H J H = C K C I B K J E 0 M
&
$
"
M M
H @
M M #
H @
M M
H @
"
$
M M #
H @
&
H E A H J A @ K = J E I B H A G K A M
M
@
Abb. 3: Kleinsignalmodulationsverhalten von Halbleiterlasern
gegeben, wofür sich mit Gl.(34)
f g;max 30GHz (40)
ergibt, was ca. die maximal mögliche Modulationsbandbreite eines Halbleiterlasers angibt.
Mit digitalen binären Signalen und dem geforderten hohen Ein/Aus-Verhältnis ist eine direkte Laser-
Modulation bis zu Bitraten von ca. 10 Gbit/s möglich. Es muÿ jedoch berücksichtigt werden, daÿ bei
der Lasermodulation nicht nur die optische Leistung, sondern auch die optische Emissionsfrequenz
moduliert wird (chirp), worunter die Übertragung bei einer Langstreckenübertragung leidet, vergleiche
auch die Diskussion in Kapitel ÜB, Abschnitt 3.2. Typische Halbleiterlaser weisen dabei einen chirp-
Parameter ch 2:::6 auf. Wegen dieser chirp-Probleme werden bei Langstreckensystemen und
Kanalraten > 10Gbit=s überwiegend externe Modulatoren (entweder interferometrisch oder durch
Elektroabsorption) eingesetzt, die bis ca. 40 Gbit/s verfügbar sind.
Neben der inneren Dynamik des Lasers, ausgedrückt durch die Bilanzgleichungen, ist die Modulationsbandbreite
auch durch parasitäre elektrische Bauelemente begrenzt. In der einfachsten Form ist das
+ 5
4 5
E A H A
= I A H @ E @ A
Abb. 4: Prinzipielles Ersatzschaltbild eines Halbleiterlasers
elektrische Ersatzschaltbild eines Lasers in Abb. 4 dargestellt (ohne Berücksichtigung der Zuleitungs-
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induktivitäten), wobei sich mit C s ; R s ein Tiefpaÿverhalten mit einer Grenzfrequenz
1
f g;el =
(41)
2C s R s
ergibt.
Bei Lasern mit einer geringen parasitären Kapazität von z.B. C s = 0:5pF ergibt sich z.B. mit R s = 10
ein f g;el 30GHz, so daÿ dann die erreichbare Modulationsgrenzfrequenz eher durch die innere
Laserdynamik mit ! d ; ! r bestimmt wird.
Hochfrequent modulierbare Laser erfordern auch eine entsprechende Aufbautechnik, wobei das Modulationssignal
mit einer Leitung möglichst dicht an den Laser herangeführt wird. Ein Beispiel dazu mit
der entsprechenden Modulationscharakteristik zeigt Abb. 5.
Abb. 5: Hochfrequent modulierbarer 1.55m-Halbleiterlaser (Quelle: P.A. Morton et. al., Electron.
Lett. (30)1994, pp. 2044-2046)
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