LEI (PDF, 271,2 KB) - TU Berlin
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Hochfrequenztechnik I Leitungsgleichungen <strong>LEI</strong>/1<br />
1 Vorbetrachtung<br />
Problem: Eine Gleichspannungsquelle U 0 soll über einen Schalter S an einen reellen Lastwiderstand<br />
R angeschlossen werden. Dieser ist mit einer Leitung der Länge L mit der Spannungsquelle<br />
verbunden.<br />
Abb. 1: Einschaltvorgang bei einer Leitung der Länge L und einem reellen Abschlusswiderstand R.<br />
Der Schalter S wird zur Zeit t = 0 geschlossen. Wie groÿ ist der Strom I(t = 0) an der Stelle z = 0<br />
unmittelbar nach Schlieÿen des Schalters S?<br />
Da der Strom zu diesem Zeitpunkt vom Widerstand R noch nichts merkt, hängt die Gröÿe dieses<br />
Stromes oenbar nur von der Leitung ab und wird nicht durch den Widerstand am Ende der Leitung<br />
beeinusst. Man muss daher den Einuss der Leitung beschreiben.<br />
Abb. 2: Konstruktive Auslegung gängiger Leitungen.<br />
<strong>TU</strong> <strong>Berlin</strong> Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Hochfrequenztechnik I Leitungsgleichungen <strong>LEI</strong>/2<br />
Tabelle 1: Isoliermaterialien<br />
Luft Polyethylen Teon Polyvinylchlorid (PVC) Nylon<br />
" r 1 2,28 2,1 4-5 3,5<br />
1.1 Leitungsstrukturen<br />
In Abb. 2 sind unterschiedliche Leitungsstrukturen dargestellt. Leitungen ndet man damit in Nachrichtenkabeln,<br />
aber z.B. auch bei Leiterplatten oder auf Computerchips.<br />
2 Herleitung der Leitungsgleichungen<br />
Zunächst betrachten wir in Abb. 3 ein Leitungsstück der innitesimalen Länge dz: Die an der Leitung<br />
liegende Spannung u(z) führt im Abschnitt dz zu einer gespeicherten Ladung dQ (Kapazität). Der<br />
ieÿende Strom i(z) führt im Abschnitt dz zu einem magnetischen Fluss d¨ (Induktivität).<br />
Mit diesen Betrachtungen lässt sich für den Leitungsabschnitt dz ein Ersatzschaltbild nach Abb. 3<br />
herleiten. Hierbei gelten folgende Bezeichnungen:<br />
Abb. 3: Leitungsersatzschaltbild für einen innitesimal kleinen Leitungsabschnitt dz.<br />
L'<br />
Induktivitätsbelag mit der Dimension Induktivität pro Länge: L 0 dz = d¨<br />
i(z) .<br />
C' Kapazitätsbelag mit der Dimension Kapazität pro Länge: C 0 dz = dQ<br />
u(z) .<br />
R'<br />
Widerstandsbelag mit der Dimension Widerstand pro Länge. Er berücksichtigt die Ohm'schen<br />
Verluste der Leitung.<br />
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Hochfrequenztechnik I Leitungsgleichungen <strong>LEI</strong>/3<br />
G'<br />
Leitwertsbelag mit der Dimension Leitwert pro Länge. Er berücksichtigt die dielektrischen Verluste<br />
der Leitung.<br />
Aus Abb. 3 lassen sich die folgenden Beziehungen für Spannung und Strom ableiten:<br />
u(z @u<br />
+ dz) = u(z) +<br />
@z dz = u(z) L0 dz @i<br />
@t<br />
i(z @i<br />
+ dz) = i(z) +<br />
@z dz = i(z) C0 dz @u<br />
@t<br />
Aus Gl. (1) und (2) folgen die Leitungsgleichungen:<br />
R 0 dz ¡ i(z) (1)<br />
G 0 dz ¡ u(z) (2)<br />
@u<br />
@z<br />
@i<br />
@z<br />
= R 0 ¡ i(z) L 0 @i<br />
@t<br />
= G 0 ¡ u(z) C 0 @u<br />
@t<br />
(3)<br />
(4)<br />
2.1 Herleitung der Wellengleichung<br />
Die Gleichungen (1) bis (4) gelten für allgemeine zeit- und ortsabhängige Signale. Für die weitere<br />
Betrachtung ist es jedoch zunächst einfacher, eine harmonische Zeitabhängigkeit anzunehmen. So<br />
ergibt sich<br />
u(z; t) = ^U(z) cos(!t + (z)) =
Hochfrequenztechnik I Leitungsgleichungen <strong>LEI</strong>/4<br />
2.2 Wellenausbreitung auf Leitungen<br />
Die obige Gl. (10) stellt die Wellengleichung dar mit den zwei folgenden Lösungen:<br />
U h = U 1 exp( ¡ z); U r = U 2 exp( ¡ z) (11)<br />
Wie wir später noch sehen werden, beschreiben die beiden Lösungen in (11) jeweils die hin- bzw.<br />
rücklaufende Welle. U 1 und U 2 stellen die Spannungszeiger der hin- und der rücklaufenden Welle auf<br />
der Leitung an der Stelle z = 0 dar. Die allgemeine Lösung ist die Überlagerung beider Wellen:<br />
Daraus lässt sich mit Gl. (7) der Stromverlauf I(z) bestimmen:<br />
I(z) =<br />
oder in Kurzschreibweise:<br />
I(z) = I h (z) + I U h<br />
r (z) = (z)<br />
Z L<br />
Hier steht Z L für den Leitungswellenwiderstand mit<br />
U(z) = U h (z) + U r (z) (12)<br />
<br />
R 0 + j!L 0 } {{ }<br />
1<br />
Z L<br />
(U 1 exp( z) U 2 exp(+z)) (13)<br />
Z L = R0 + j!L 0<br />
<br />
=<br />
√<br />
R 0 + j!L 0<br />
G 0 + j!C 0 = U h<br />
I h<br />
=<br />
Die Ausbreitungskonstante lässt sich in Realteil und Imaginärteil aufteilen<br />
= + j;<br />
U r (z)<br />
Z L<br />
: (14)<br />
U r<br />
I r<br />
: (15)<br />
wobei der Realteil die Dämpfungskonstante und der Imaginärteil die Phasenkonstante darstellen.<br />
Für die hinlaufende Welle ergibt sich dann z.B.:<br />
U h = U 1 exp( z) = U 1 exp( z) exp( jz); (16)<br />
wobei exp( z) die Dämpfung, und exp( jz) die Phasendrehung beschreiben.<br />
Das Argument der ersten Exponentialfunktion ergibt sich folgendermaÿen:<br />
( )<br />
jU(z)j<br />
¡ z = ln<br />
jU(0)j<br />
(17)<br />
Die Dimension der Dämpfungskonstante ist gegeben als [ ]<br />
Np<br />
m (Neper pro Meter).<br />
Häug wird das Dämpfungsmaÿ 0 in [ ]<br />
dB<br />
m angegeben. Es wird folgendermaÿen deniert:<br />
0 ¡ z = 20 ¡ lg<br />
jU(0)j<br />
[ ] ( ) [ ]<br />
) 0 dB<br />
20 Np<br />
=<br />
<br />
m<br />
ln(10) m<br />
( )<br />
jU(z)j<br />
dB (18)<br />
= 8; 69 ¡ <br />
[ ]<br />
Np<br />
m<br />
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Hochfrequenztechnik I Leitungsgleichungen <strong>LEI</strong>/5<br />
3 Verlustarme Kabel<br />
Verlustarme Kabel weisen sehr geringe ohm'sche Verluste auf, so dass R 0 !L 0 und G 0 !C 0 gelten.<br />
Damit kann man für den Wellenwiderstand Z L aus Gleichung (15) folgende Vereinfachung einführen:<br />
√<br />
j!L 0 √<br />
Z L <br />
j!C 0 L 0<br />
=<br />
C 0 (19)<br />
Man beachte, dass der Wellenwiderstand unter diesen Bedingungen reell wird. Die Ausbreitungskonstante<br />
ergibt sich dann mit Gl. (10) näherungsweise:<br />
√<br />
= j! p √√√ (<br />
L 0 C 0 R0<br />
) (<br />
1 +<br />
j!L 0 G0<br />
)<br />
1 +<br />
j!C 0 j! p (<br />
L 0 C 0 R0<br />
1 +<br />
2j!L 0 G0<br />
)<br />
+ 2j!C 0<br />
Mit = + j heiÿt das für die Dämpfungs- und Phasenkonstante:<br />
√<br />
R0 C 0 √<br />
=<br />
2 L 0 G0 L 0<br />
+<br />
2 C 0 R0 G0 ¡ Z L<br />
= +<br />
2 ¡ Z L 2<br />
(20)<br />
= ! p L 0 C 0 (21)<br />
4 Anwendung auf eine Koaxialleitung<br />
Als Beispiel für eine Leitung wird ein Koaxialkabel betrachtet. Der schematische Aufbau einer solchen<br />
Abb. 4: Schematischer Aufbau (links) und Feldverteilungen (rechts) in einer Koaxialleitung.<br />
Koaxialleitung ist in Abb. 4 dargestellt. Hierbei hat der Innenleiter den Durchmesser d, der Auÿenleiter<br />
den Durchmesser D.<br />
Auf Grund des Skin-Eekts ieÿt der Strom nur an der Oberäche des Innen- bzw. Auÿenleiters. Daher<br />
bilden sich das elektrische und magnetische Feld im Wesentlichen nur im Dielektrikum mit = 0<br />
und " = " 0 " r aus.<br />
Das magnetische Feld hat nur eine -Komponente H :<br />
H =<br />
I<br />
2r<br />
(22)<br />
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Hochfrequenztechnik I Leitungsgleichungen <strong>LEI</strong>/6<br />
Das elektrische Feld besitzt nur eine radiale Komponente E r :<br />
E r =<br />
U<br />
) wegen<br />
D<br />
∫2<br />
E r dr = U (23)<br />
r ¡ ln<br />
(<br />
D<br />
d<br />
d<br />
2<br />
Da ~E und ~H nur in der transversalen Ebene (senkrecht zur Ausbreitungsrichtung) liegen, bezeichnet<br />
man die Welle als TEM-Welle (transversal elektromagnetisch).<br />
Der Induktivitätsbelag L 0 dz = dÏ<br />
errechnet sich folgendermaÿen:<br />
d¨ = dz<br />
D<br />
∫2<br />
d<br />
2<br />
0 ( H ) dr = dz ¡ 0 ln<br />
) L 0 = 0<br />
2 ln (<br />
D<br />
d<br />
(<br />
D<br />
d<br />
)<br />
)<br />
I<br />
2<br />
(24)<br />
(25)<br />
Der Kapazitätsbelag C 0 dz = dQ U<br />
dQ = dz ¡ 2 D 2 ¡ " 0" r E r<br />
(<br />
errechnet sich folgendermaÿen:<br />
r = D 2<br />
)<br />
= dz ¡ 2" 0 " r<br />
U<br />
ln<br />
(<br />
D<br />
d<br />
) C 0 2" 0" r<br />
= ( )<br />
D<br />
(26)<br />
ln<br />
d<br />
Der Widerstandsbelag R 0 setzt sich aus den Widerständen am Innen- und Auÿenleiter zusammen.<br />
Diese Widerstände berechnen sich mit der spezischen Leitfähigkeit und der Skin-Eindringtiefe z 0 :<br />
√<br />
2<br />
z 0 =<br />
! 0 :<br />
Als Zahlenwertgleichung ergibt sich beispielsweise für Kupfer (Cu): z 0;Cu 2; 1<br />
)<br />
p<br />
m<br />
. f =GHz<br />
) R 0 = 1 ( 1<br />
z 0 D + 1 )<br />
d<br />
Voraussetzung : z 0 d (27)<br />
Der Ausdruck ( ¡ z 0 ) 1 wird gelegentlich auch als Wandwiderstand R W = ( ¡ z 0 ) 1 bezeichnet. Für<br />
Kupfer ergibt sich R W 8; 3 ¡ 10 3 √<br />
f =GHz.<br />
Der Leitwertsbelag G 0 ergibt sich auf Grund der dielektrischen Verluste im Isolator:<br />
G 0 = !C 0 ¡ tan (28)<br />
Mit Kenntnis dieser Werte lässt sich der Leitungswellenwiderstand Z L berechnen:<br />
Z L =<br />
√<br />
L 0<br />
C 0 =<br />
√<br />
0<br />
" 0<br />
} {{ }<br />
120 <br />
( )<br />
1 D<br />
2 p ln =<br />
" r d<br />
60 ¡ ln<br />
(<br />
D<br />
d<br />
p<br />
"r<br />
)<br />
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Hochfrequenztechnik I Leitungsgleichungen <strong>LEI</strong>/7<br />
Für Polyethylen (" r = 2; 28) und einem Verhältnis zwischen Auÿen- zu Innenleiter von D d<br />
= 3; 6 erhält<br />
man einen Leitungswellenwiderstand von Z L 50 .<br />
Die Phasenkonstante = ! p L 0 C 0 = ! p p<br />
" r 0 " 0 lässt sich wegen c 0 = p 1<br />
0 " 0<br />
durch die Lichtgeschwindigkeit<br />
im Vakuum c 0 ausdrücken:<br />
Dieser Zusammenhang gilt allgemein bei TEM-Wellen.<br />
= !p " r<br />
c 0<br />
(29)<br />
Anmerkung: Mit Gl. (29) folgt allgemein aus den Gleichungen (19) und (20):<br />
L 0 Z p<br />
L "r<br />
=<br />
C 0 =<br />
c 0<br />
250 nH m<br />
Die Zahlenwerte gelten für " r = 2; 28 und Z L = 50 .<br />
(30)<br />
p<br />
"r<br />
Z L ¡ c 0<br />
100 pF m : (31)<br />
Die Dämpfungskonstante ergibt sich unter den obigen Annahmen verlustarmer Kabel entsprechend<br />
Gl. (20) zu:<br />
(<br />
1 1<br />
=<br />
2 ¡ z 0 ¡ Z L D + 1 )<br />
<br />
+<br />
d<br />
¡ } {{ }<br />
ohm 0 sche Verluste: / p 2 tan <br />
(32)<br />
} {{ }<br />
! dielektrische Verluste: / !<br />
Ohm'sche Verluste sind umso kleiner, je gröÿer die Durchmesser von Innen- und Auÿenleiter sind. Die<br />
minimale Dämpfung bei gegebenem Auÿendurchmesser D = const wird errreicht für D d<br />
= 3; 6. Im<br />
Gegensatz zu den ohm'schen Verlusten hängen die dielektrischen Verluste nicht von der Wellenleitergeometrie<br />
ab.<br />
Abb. 5 zeigt konkrete Beispiele für die Dämpfung von Koaxialkabeln.<br />
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Hochfrequenztechnik I Leitungsgleichungen <strong>LEI</strong>/8<br />
Abb. 5: Dämpfung von Koaxialkabeln mit Z L = 50 mit Polyethylen-Isolation (entnommen aus dem<br />
Katalog der Firma Huber und Suhner).<br />
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