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Hochfrequenztechnik I Ebene Wellen Polarisation EB/ 1
1 Vorbetrachtung
Bevor wir die Wellenausbreitung im freien Raum betrachten, wollen wir noch einmal die Koaxialleitung
analysieren:
Die geführte Leistung einer Koaxialleitung (siehe Abschnitt STR) lässt sich folgendermaÿen beschreiben:
P h = 1 2 < ( U ¡ I £) (1)
Anstelle einer Beschreibung mit Strom- und Spannungsamplituden lässt sich die Leistungsdichte auch
mit Feldkomponenten in Form des Poynting-Vektors ausdrücken:
~S = 1 2
(
~ E ¢ ~ H £) (2)
Die gesamte geführte Leistung erhält man dann mittels einer Integration über den Leitungsquerschnitt
A senkrecht zur Ausbreitungsrichtung z:
∫∫ ( ∫∫
P h = < S)
~ dA ~ = < ( )
S z dA (3)
A
A
Nun wollen wir die Feldkomponenten aus Gl. (LEI 21) und (LEI 22) in einer Koaxialleitung in Gleichung
(3) einsetzen, um einen Ausdruck für die geführte Leistung in Abhängigkeit von der Geometrie der
Leitung zu erhalten:
S z = 1 E r ¡ H £ '
2
⎛ ⎞
( )
= 1 ⎜ U
⎝ ( )
⎟ I
£
⎠ = 1 U ¡ I £
(
2
D
r ¡ ln
2r 2 2r 2 ¡ ln
d
⎛
⎞
D=2
) P h = 1 ∫
< UI £ 1
( ) 2r dr
2 ⎜ 2r 2 D
ln
⎝ d=2
d ⎟
} {{ }
⎠
=1
D
d
)
(4)
Gl. (4) ist damit auch in Übereinstimmung mit Gl. (1). Mit dieser Abschätzung lässt sich erkennen,
dass sich die Leistungsübertragung entlang der Leitung sowohl mit Strom und Spannung als auch mit
elektromagnetischen Feldern beschreiben lässt. Da die Integration über den Querschnitt der Leitung
oensichtlich die gesamte Leistung berücksichtigt, kann man Folgendes feststellen:
ˆ Die geführte Leistung bendet sich ausschlieÿlich im Dielektrikum zwischen Innen- und Auÿenleiter
dies gilt zumindest für eine Skin-Eindringtiefe z 0 d; D
ˆ Innen- und Auÿenleiter übernehmen nur die Führung der elektromagnetischen Welle. Sie tragen
nicht zum Energietransport bei!
ˆ Ohne diese Wellenführung lässt sich die Energie oenbar auch im freien Raum übertragen.
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Hochfrequenztechnik I Ebene Wellen Polarisation EB/ 2
2 Maxwell'sche Gleichungen
Da wir gesehen haben, dass die Leistungsübertragung in einer Leitung mit Hilfe elektromagnetischer
Wellen beschreibbar ist, wollen wir im Folgenden die Eigenschaften solcher Wellen ausgehend von den
Maxwell'schen Gleichungen analysieren.
Durchutungsgesetz: Die Wirbel des magnetischen Feldes ~H werden bestimmt durch die elektrische
Stromdichte ~J einschlieÿlich des Verschiebungsstroms @ D ~ . Dieser Zusammenhang wird durch
@t
das Durchutungsgesetz beschrieben:
∮ ∫∫ ( )
~H d~s = ~J + @ D ~ d ~A; (5)
@t
A
A
wobei ~D die dielektrische Verschiebung darstellt. Wenn in Gl. (5) die Fläche A innitesimal klein
wird, lässt sich dieser integrale Zusammenhang auch als Dierentialgleichung ausdrücken (siehe
Abb. 1):
rot ~H = r ¢ ~H = ~J @ ~D
+ (6)
@t
Hierbei bezeichnet r den Nabla-Operator:
⎛ ⎞
@
@x
@
r = ⎜ ⎟
⎝ @y
@
@z
⎠ : (7)
Abb. 1: Durchutungsgesetz.
Induktionsgesetz: Die Wirbel des elektrischen Feldes ~E werden bestimmt durch die Änderung der magnetischen
Flussdichte ~B. Dieser Zusammenhang wird durch das Induktionsgesetz beschrieben
(siehe Abb. 2):
∮
∫∫ ( )
@ B
~E d~s =
~ d ~A (8)
@t
A
Ähnlich wie oben, lässt sich auch dieser integrale Zusammenhang als Dierentialgleichung ausdrücken:
@ ~B
rot ~E = r ¢ ~E =
(9)
@t
A
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Hochfrequenztechnik I Ebene Wellen Polarisation EB/ 3
Abb. 2: Induktionsgesetz.
Feldprobleme der Hochfrequenztechnik lassen sich bereits mit den beiden Maxwell'schen Gleichungen
(5) und (9) (Durchutungs- und Induktionsgesetz) vollständig beschreiben.
Insgesamt gibt es aber vier Maxwell'sche Gleichungen, so dass noch hinzukommen:
Magnetische Flusslinien sind grundsätzlich geschlossen (siehe Abb. 3):
∮
~B d ~F = 0; (10)
F
wobei F die Oberäche eines geschlossenen Volumens beschreibt. Als Dierentialgleichung stellt
sich der Zusammenhang folgendermaÿen dar:
div ~B = r ¡ ~B = 0 (11)
Abb. 3: Magnetische Feldlinien sind immer geschlossen.
Die Linien der dielektrischen Verschiebung beginnen und enden auf Ladungen (siehe Abb. 4):
∮
~D d ~F = Q (12)
F
wobei Q die elektrische Ladung innerhalb des durch F eingeschlossenen Volumens beschreibt.
Als Dierentialgleichung lässt sich der Zusammenhang folgendermaÿen ausdrücken:
div ~D = r ¡ ~D = ; (13)
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Hochfrequenztechnik I Ebene Wellen Polarisation EB/ 4
mit der Raumladungsdichte .
Abb. 4: Linien der dielektrischen Verschiebung.
Bei hochfrequenten Problemen (zeitveränderlichen ~D(t) bzw. ~B(t)) folgen Gl. (11) und (13) automatisch
aus Gl. (5) und (9).
Die Maxwell'schen Gleichungen lassen sich deutlich vereinfachen, wenn man die Feldgröÿen im Frequenzbereich
als Zeigergröÿen darstellt. Nimmt man z.B. für die magnetische Feldstärke ein harmonisches
Signal der Kreisfrequenz ! an, kann man das Signal folgendermaÿen in Zeigerdarstellung
schreiben:
( )
~H(t) = < H ~ exp(j!t)
Wie man leicht sieht, ist die Ableitung nach der Zeit in Zeigerdarstellung durch eine einfache Multiplikation
mit j! beschreibbar, wodurch sich die Maxwell'schen Gleichungen vereinfachen:
rot ~H = r ¢ ~H = j!~D + ~J (14)
rot ~E = r ¢ ~E = j!~B (15)
Für ! 6= 0 folgt aus Gl. (14) und (15) unmittelbar auch Gl. (11) und (13), so dass die Maxwell'schen
Gleichungen Gl. (14) und (15) die Basis für die folgende Betrachtung darstellen.
2.1 Materialgleichungen
Im letzten Abschnitt wurden die Feldgröÿen behandelt, als ob sie voneinander unabhängig wären. In
realen Materialien sind jedoch ~H und ~B sowie ~E und ~D meist miteinander in folgender Weise verknüpft:
~D = " 0 " r
~E (16)
~B = 0 r
~H (17)
Hierbei beschreiben " 0 und 0 die Dielektrizitätskonstante und die Permeabilitätskonstante im freien
Raum, die jeweils Naturkonstanten darstellen. " r und r sind dagegen die relative Dielektrizitätskonstante
bzw. die relative Permeabililitätskonstante, die somit Materialeigenschaften beschreiben. Für
Vakuum gilt z.B. " r = r = 1, während das häug für Dielektrika verwendete Polethylen ein " r = 2; 28
und r 1 aufweist.
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Hochfrequenztechnik I Ebene Wellen Polarisation EB/ 5
2.2 Stromdichte
Die Stromdichte ~J kann man in die drei Komponenten Leitungsstromdichte ~J L , Konvektionsstromdichte
~J K und eingeprägte Stromdichte ~J E aufteilen:
Die drei Gröÿen haben die folgende Bedeutung:
~J = ~J L + ~J K + ~J E (18)
ˆ ~J L = ¡ ~E ist die Leitungsstromdichte mit der spezischen Leitfähigkeit des Materials .
ˆ ~J K = ¡ ~v berücksichtigt die Bewegung freier Ladungsträger durch äuÿere Kräfte (z.B. im
Plasma), wobei ~v die Geschwindigkeit beschreibt, mit der sich die Raumladungsdichte bewegt.
ˆ ~J E beschreibt die von auÿen erzwungene Stromdichte, wie sie z.B. bei Antennen vorkommt.
Setzen wir nun Gleichung (18) in die Maxwell'sche Gleichung Gl. (15) ein, so folgt:
Die ersten beiden Terme lassen sich zusammenfassen zu:
mit der komplexen Dielektrizitätskonstanten " = " 0 " r j ! .
r ¢ ~H = j!" 0 " r
~E + ~E + ~J K + ~J E (19)
r ¢ ~H = j!" ¡ ~E + ~J K + ~J E (20)
In ähnlicher Weise kann man auch die andere Maxwell'sche Gleichung mit einer komplexen Materialkonstante
beschreiben:
r ¢ ~E = j! ~H (21)
mit der komplexen Permeabilitätskonstanten = 0 ¡ r
, wobei der Imaginärteil von die magnetischen
Verluste berücksichtigt.
3 Ebene Wellen
Die Gleichungen (20) und (21) beschreiben elektromagenetische Wellen in allgemeiner Weise. Im Folgenden
wollen wir uns jedoch auf die meist zutreende Annahme beschränken, dass keine eingeprägten
Ströme und keine Konvektionsströme vorliegen: ~J E = ~J K = 0.
In diesem Fall vereinfachen sich Gl. (20) und (21) zu:
r ¢ ~H = j!" ~E (22)
r ¢ ~E = j!~H (23)
Die einfachsten Lösungen für die Gl. (22) und (23) erhält man für homogenes, also ortsunabhängiges
", . Setzt man beide Gleichungen ineinander ein, ergibt sich:
r ¢ r ¢ ~E + ! 2 " ~E = 0 (24)
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Hochfrequenztechnik I Ebene Wellen Polarisation EB/ 6
Mit der folgenden Identität aus der Vektoranalysis
r ¢ r ¢ ~E =
( )
r r ¡ ~E
} {{ }
=0 wegen r¡ ~ E=0
¡~E
ergibt sich die Wellengleichung für die elektrische Feldstärke:
¡~E + ! 2 "~E = 0 (25)
Hierbei beschreibt ¡ den Laplace-Operator, der deniert ist als ¡ ^= @2
@x 2 + @2
@y 2 + @2
für jede kartesische
@z 2
Komponente von ~E.
Analog kann man die Wellengleichung auch für die magnetische Feldstärke herleiten
¡~H + ! 2 "~H = 0 (26)
Ein einfaches Beispiel für eine Lösung von Gl. (25) ist die ebene Welle:
(
~E = ~E 0 ¡ exp
)
j~k ¡ ~r = ~E 0 ¡ ( exp j(k x x + k y y + k z z ) ) (27)
Hierbei beschreibt ~r den Ortsvektor
⎛ ⎞
x
~r = ⎜y
⎟
⎝ ⎠
z
(28)
und ~k den Wellenvektor
⎛ ⎞
k x
~k = ⎜k ⎝ y ⎟
⎠ ; (29)
k z
in dessen Richtung sich die ebene Welle in Gleichung (27) ausbreitet.
Gl. (27) löst Gl. (25) mit:
( ) 2
~ k = k 2 x + k 2 y + k 2 z = !2 " (30)
Obige Gl. (27) beschreibt eine ebene Welle, da Flächen mit konstanter Phase ' = ~k ¡ ~r Ebenen
darstellen. Diese Phasenächen stehen senkrecht auf ~k und damit senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.
Weiterhin führt Gl. (27) in Gl. (23) eingesetzt auf:
~H =
~k ¢ ~E
(
! = ~H 0 ¡ exp
j~k ¡ ~r
)
mit ~H 0 =
~k ¢ ~E 0
!
(31)
Analog folgt aus Gl. (22):
~E =
~k ¢ ~H
Aus den Gleichungen (31) und (32) folgt, dass ~E, ~H und ~k bei ebenen Wellen jeweils senkrecht
aufeinander stehen.
!"
(32)
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Hochfrequenztechnik I Ebene Wellen Polarisation EB/ 7
4 Polarisation
Wir wollen im Folgenden eine sich in z-Richtung ausbreitende ebene Welle betrachten und deren Eigenschaften
genauer analysieren. Bei Ausbreitung in z-Richtung besitzt der Wellenvektor ~k ausschlieÿlich
eine z-Komponente, so dass man schreiben kann:
j~k = ~e z
mit ~e z Einheitsvektor in z-Richtung
Mit dieser Schreibweise ergibt sich für die in z-Richtung ausbreitende ebene Welle:
~E = ~E 0 ¡ exp( z ) mit =
√
! 2 "
Man erkennt, dass dann, wenn das Argument der Exponentialfunktion rein imaginär wird, sich eine
ungedämpfte Wellenausbreitung ergibt. Das Argument der Exponentialfunktion wird rein imaginär,
wenn und " positiv und reell sind.
Da der Wellenvektor ~k in z-Richtung zeigt, liegen ~E und ~H in der xy-Ebene und stehen dort senkrecht
aufeinander. Dieser Sachverhalt lässt sich folgendermaÿen beschreiben:
⎛ ⎞
~E = ⎝ a x
⎠ E 0 exp( z ) (33)
a y
⎛
~H = ⎝
a y
a x
⎞
⎠ H 0 exp( z ) mit H 0 = E 0
Z F
(34)
√
Hierbei steht Z F = =" für den Feldwellenwiderstand, der das Verhältnis zwischen elektrischer und
magnetischer Feldstärke beschreibt. Im freien Raum ist der Feldwellenwiderstand rein reell:
∣ √
∣∣∣Freiraum 0
Z F = Z F 0 = = 120 (35)
" 0
Anmerkung: Streng genommen gilt der Zahlenwert in Gl. (35) nur, wenn für die Lichtgeschwindigkeit
c 0 = 3 ¡ 10 8 m zugrunde gelegt wird. Exakt gilt Z s F 0 = p 0
0
=
" 0
0 ¡ c 0 mit 0 = 4 ¡ 10 7 Vs
Am
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c 0 = 299792458
⎛ ⎞
m . s
Der Jones-Vektor ⎝ a x
⎠ ist ein Einheitsvektor der Länge 1 ) j a x j 2 + j a y j 2 = 1.
a y
Er beschreibt den Polarisationszustand der Welle.
und der
4.1 Polarisationszustände im Zeitbereich
Im Folgenden wollen wir einige spezielle Polarisationszustände und ihren zeitlichen Verlauf betrachten.
Dabei wollen wir aus Vereinfachungsgründen von der Annahme ausgehen, dass eine ungedämpfte
Wellenausbreitung mit = j mit rein reell vorliegt. Dann ergibt sich folgender zeitlicher Verlauf:
⎛
~E(z; t) = E 0
⎝ < ( a x exp( jz ) ⎞
) exp(j!t)
(
) ⎠ (36)
< a y exp( jz ) exp(j!t)
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Wenn wir in Gl. (36) a x und a y
nach Betrag und Phase schreiben:
ergibt sich:
a x = ja x j exp(j' x ) (37)
a y = ja y j exp(j' y ); (38)
⎛
⎞
~E(z; t) = E 0
⎝ ja xj cos[!t z + ' x ]
⎠ : (39)
ja y j cos[!t z + ' y ]
Der elektrische Feldvektor in Gl. (36) bzw. Gl. (39) bewegt sich in Abhängigkeit von (!t z ) auf
einer Ellipse, weshalb man im Allgemeinen auch von einem elliptischen Polarisationszustand spricht.
Spezialfälle stellen die lineare bzw. die zirkulare Polarisation dar, die in Folgenden detaillierter betrachtet
werden sollen.
4.2 Lineare Polarisation
Für ' x = ' y bewegt sich der Feldvektor ~E(z; t) in Gl. (39) auf einer Linie, so dass man dann von
linearer Polarisation spricht. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit lässt sich dann ' x = ' y = 0 und
ja x j = cos ' sowie ja y j = sin ' setzen, so dass dann aus Gl. (39) folgt:
⎛ ⎞
~E(z; t) = E 0
⎝ cos '
sin '
⎠ cos(!t z ) (40)
Der elektrische Feldvektor liegt in der xy-Ebene auf einer Geraden (siehe Abb. 5) im Winkel ' zur
x-Achse.
Abb. 5: Elektrischer Feldvektor bei linearer Polarisation.
4.3 Zirkulare Polarisation
Bei zirkularer Polarisation beschreibt der Vektor der elektrischen Feldstärke einen Kreis. Dabei weisen
die x- und y-Komponenten des Jones-Vektors jeweils die gleiche Länge von ja x j = ja y j = 1= p 2 auf
und sind um =2 zueinander phasenverschoben, d. h. beispielsweise:
a x = 1
p
2
und a ¦j
y = p
2
(41)
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Mit Gl. (36) und (39) kann man dann den zeitlichen Verlauf folgendermaÿen beschreiben:
~E(z; t) = E 0
1
p
2
⎛
⎞
cos(!t z )
⎝
§ sin(!t z )
⎠ (42)
Das Vorzeichen der y-Komponente bzw. die Phasenverschiebung von =2 oder +=2 bestimmt, ob
es sich um rechtszirkulare oder linkszirkulare Polarisation handelt:
rechtszirkular:
In Ausbreitungsrichtung gesehen dreht sich ~E bei konstantem Ort z in Uhrzeigerrichtung. Dieser
Polarisationszustand entspricht Gl. (42) mit positivem Vorzeichen (+) bzw. negativem Vorzeichen
in Gl. (41).
linkszirkular:
In Ausbreitungsrichtung gesehen dreht sich ~E bei konstantem Ort z entgegengesetzt zum Uhrzeiger.
Dieser Polarisationszustand entspricht Gl. (42) mit negativem Vorzeichen ( ) bzw. positivem
Vorzeichen in Gl. (41).
Abb. 6 zeigt beispielhaft den Verlauf des elektrischen Feldvektors bei linkszirkularer Polarisation.
Abb. 6: Elektrischer Feldvektor bei linkszirkularer Polarisation.
4.4 Poincaré-Kugel
Alle möglichen Polarisationszustände lassen sich sehr elegant auf der sog. Poincaré-Kugel (Poincaré
französischer Mathematiker) darstellen, wie Abb. 7 zeigt. Die Pole repräsentieren dabei die linksbzw.
rechtszirkulare Polarisation, während sich die linearen Polarisationszustände auf dem Äquator
benden. Ansonsten handelt es sich um elliptische Polarisationszustände.
Alternativ zum Jones-Vektor in Gl. (33) wird der Polarisationszustand häug auch durch die Stokes-
Parameter beschrieben. Wenn man wie in Abb. 8 die Poincaré-Kugel mit einem kartesischen Koordinatensystem
versieht, ergeben sich die Stokes-Parameter S 1 , S 2 , S 3 als die jeweiligen Achsenabschnitte
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Hochfrequenztechnik I Ebene Wellen Polarisation EB/ 10
eines Polarisationszustands P auf der Poincaré-Kugel Zusätzlich zu S 1 , S 2 , S 3 gibt es noch einen vierten
Stokes-Parameter S 0 , der die Intensität der Welle beschreibt. Wenn man S 0 = 1 setzt (Normierung),
ergibt sich folgender Zusammenhang zwischen den Stokes-Parametern und dem Jones-Vektor:
S 1 = ja x j 2 ja y j 2 (43)
S 2 = 2ja x jja y j cos(' y ' x ) (44)
S 3 = 2ja x jja y j sin(' y ' x ) (45)
Breitengrad
beschreibt
Achsenverhältnis
Linkszirkular
Obere Hemisphäre
links-elliptisch
Äquator:
lin.Pol.
45° Lineare
Polarisation
Rechtszirkular
Längengrad
beschreibt den
Verkippungswinkel
Abb. 7: Beispiele für Polarisationszustände auf der Poincaré-Kugel.
4.5 Lineare Doppelbrechung
Eine zirkulare Polarisation lässt sich beispielsweise aus linearer Polarisation gewinnen, indem man zwischen
der x- und y-Feldkomponente eine Phasenverschiebung von einführt. Das erreicht man nach
2
Durchgang durch ein doppelbrechendes Medium. Wir betrachten ein Material mit linearer Doppelbrechung
und x; y als Hauptachsen d.h. die x- und y-Polarisation haben unterschiedliche Phasenkonstanten
x und y mit
y = x + ¡: (46)
Aus Gl. (33) folgt dann sinngemäÿ:
⎛
~E(z ) = E 0
⎝ a x (z = 0) ¡ exp( j xz )
a y (z = 0) ¡ exp( j y z )
⎞ ⎛
⎞
⎠ = E0 ⎝ a x (z = 0)
a y (z = 0) ¡ exp( j¡z )
⎠ exp( jx z ) (47)
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S 3
S 2
L
P
-45°
V
H
+45°
S 1
R
Abb. 8: Stokes-Parameter auf der Poincaré-Kugel.
Gehen wir nun bei z = 0 von einer linearen Doppelbrechung mit ' = 45 aus, erhalten wir für den
Jones-Vektor vor dem doppelbrechenden Material (z = 0, vgl. Gl. (40)):
a x (z = 0) = a y (z = 0) = 1
p2 :
Nach der Ausbreitung durch das doppelbrechende Material erhalten wir an der Stelle z:
a x (z ) = p
1
2 ; a y (z ) = p2 1
exp( j¡z )
1. Bei einer Phasenverschiebung um =2 erhalten wir rechtszirkulare Polarisation:
¡ ¡ z = 2
(entspricht 4 -Platte in der Optik) ) a y = j
p
2
2. Bei einer Phasenverschiebung um spiegelt sich der Polarisationszustand an der x-Achse, da
die y-Komponente nun das umgekehrte Vorzeichen aufweist:
¡ ¡ z = (entspricht 2 -Platte in der Optik) ) a y = 1
p
2
3. Bei einer Phasenverschiebung um 3=2 (entspricht =2) erhalten wir linkszirkulare Polarisation:
¡ ¡ z 3 = ) a y = p
j
2
2
4. Bei einer Phasenverschiebung um 2 erhalten wir wieder den ursprünglichen Polarisationszustand:
¡ ¡ z = 2 ) a y = p
1
2
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Hochfrequenztechnik I Ebene Wellen Polarisation EB/ 12
Diese Transformation des Polarisationszustands lässt sich mit Hilfe der Poicaré-Kugel einfach veranschaulichen,
indem man zunächst die beiden Eigenzustände des doppelbrechenden Mediums auf der
Poincaré-Kugel markiert (für das obige Beispiel wäre das die x- bzw. y-Polarisation oder in Abb. 8
die Punkte H und V ). Diese beiden Eigen-Polarisationszustände denieren eine Drehachse, um die der
Eingangspolarisationszustand (im obigen Beispiel lineare Polarisation mit ' = 45 ) um den Winkel
¡ ¡ z auf der Poincaré-Kugel gedreht wird.
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