(PDF, 216,9 KB) - TU Berlin
(PDF, 216,9 KB) - TU Berlin
(PDF, 216,9 KB) - TU Berlin
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
Hochfrequenztechnik I Ebene Wellen Polarisation EB/ 1<br />
1 Vorbetrachtung<br />
Bevor wir die Wellenausbreitung im freien Raum betrachten, wollen wir noch einmal die Koaxialleitung<br />
analysieren:<br />
Die geführte Leistung einer Koaxialleitung (siehe Abschnitt STR) lässt sich folgendermaÿen beschreiben:<br />
P h = 1 2 < ( U ¡ I £) (1)<br />
Anstelle einer Beschreibung mit Strom- und Spannungsamplituden lässt sich die Leistungsdichte auch<br />
mit Feldkomponenten in Form des Poynting-Vektors ausdrücken:<br />
~S = 1 2<br />
(<br />
~ E ¢ ~ H £) (2)<br />
Die gesamte geführte Leistung erhält man dann mittels einer Integration über den Leitungsquerschnitt<br />
A senkrecht zur Ausbreitungsrichtung z:<br />
∫∫ ( ∫∫<br />
P h = < S)<br />
~ dA ~ = < ( )<br />
S z dA (3)<br />
A<br />
A<br />
Nun wollen wir die Feldkomponenten aus Gl. (LEI 21) und (LEI 22) in einer Koaxialleitung in Gleichung<br />
(3) einsetzen, um einen Ausdruck für die geführte Leistung in Abhängigkeit von der Geometrie der<br />
Leitung zu erhalten:<br />
S z = 1 E r ¡ H £ '<br />
2<br />
⎛ ⎞<br />
( )<br />
= 1 ⎜ U<br />
⎝ ( )<br />
⎟ I<br />
£<br />
⎠ = 1 U ¡ I £<br />
(<br />
2<br />
D<br />
r ¡ ln<br />
2r 2 2r 2 ¡ ln<br />
d<br />
⎛<br />
⎞<br />
D=2<br />
) P h = 1 ∫<br />
< UI £ 1<br />
( ) 2r dr<br />
2 ⎜ 2r 2 D<br />
ln<br />
⎝ d=2<br />
d ⎟<br />
} {{ }<br />
⎠<br />
=1<br />
D<br />
d<br />
)<br />
(4)<br />
Gl. (4) ist damit auch in Übereinstimmung mit Gl. (1). Mit dieser Abschätzung lässt sich erkennen,<br />
dass sich die Leistungsübertragung entlang der Leitung sowohl mit Strom und Spannung als auch mit<br />
elektromagnetischen Feldern beschreiben lässt. Da die Integration über den Querschnitt der Leitung<br />
oensichtlich die gesamte Leistung berücksichtigt, kann man Folgendes feststellen:<br />
ˆ Die geführte Leistung bendet sich ausschlieÿlich im Dielektrikum zwischen Innen- und Auÿenleiter<br />
dies gilt zumindest für eine Skin-Eindringtiefe z 0 d; D<br />
ˆ Innen- und Auÿenleiter übernehmen nur die Führung der elektromagnetischen Welle. Sie tragen<br />
nicht zum Energietransport bei!<br />
ˆ Ohne diese Wellenführung lässt sich die Energie oenbar auch im freien Raum übertragen.<br />
<strong>TU</strong> <strong>Berlin</strong> Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Hochfrequenztechnik I Ebene Wellen Polarisation EB/ 2<br />
2 Maxwell'sche Gleichungen<br />
Da wir gesehen haben, dass die Leistungsübertragung in einer Leitung mit Hilfe elektromagnetischer<br />
Wellen beschreibbar ist, wollen wir im Folgenden die Eigenschaften solcher Wellen ausgehend von den<br />
Maxwell'schen Gleichungen analysieren.<br />
Durchutungsgesetz: Die Wirbel des magnetischen Feldes ~H werden bestimmt durch die elektrische<br />
Stromdichte ~J einschlieÿlich des Verschiebungsstroms @ D ~ . Dieser Zusammenhang wird durch<br />
@t<br />
das Durchutungsgesetz beschrieben:<br />
∮ ∫∫ ( )<br />
~H d~s = ~J + @ D ~ d ~A; (5)<br />
@t<br />
A<br />
A<br />
wobei ~D die dielektrische Verschiebung darstellt. Wenn in Gl. (5) die Fläche A innitesimal klein<br />
wird, lässt sich dieser integrale Zusammenhang auch als Dierentialgleichung ausdrücken (siehe<br />
Abb. 1):<br />
rot ~H = r ¢ ~H = ~J @ ~D<br />
+ (6)<br />
@t<br />
Hierbei bezeichnet r den Nabla-Operator:<br />
⎛ ⎞<br />
@<br />
@x<br />
@<br />
r = ⎜ ⎟<br />
⎝ @y<br />
@<br />
@z<br />
⎠ : (7)<br />
Abb. 1: Durchutungsgesetz.<br />
Induktionsgesetz: Die Wirbel des elektrischen Feldes ~E werden bestimmt durch die Änderung der magnetischen<br />
Flussdichte ~B. Dieser Zusammenhang wird durch das Induktionsgesetz beschrieben<br />
(siehe Abb. 2):<br />
∮<br />
∫∫ ( )<br />
@ B<br />
~E d~s =<br />
~ d ~A (8)<br />
@t<br />
A<br />
Ähnlich wie oben, lässt sich auch dieser integrale Zusammenhang als Dierentialgleichung ausdrücken:<br />
@ ~B<br />
rot ~E = r ¢ ~E =<br />
(9)<br />
@t<br />
A<br />
<strong>TU</strong> <strong>Berlin</strong> Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Hochfrequenztechnik I Ebene Wellen Polarisation EB/ 3<br />
Abb. 2: Induktionsgesetz.<br />
Feldprobleme der Hochfrequenztechnik lassen sich bereits mit den beiden Maxwell'schen Gleichungen<br />
(5) und (9) (Durchutungs- und Induktionsgesetz) vollständig beschreiben.<br />
Insgesamt gibt es aber vier Maxwell'sche Gleichungen, so dass noch hinzukommen:<br />
Magnetische Flusslinien sind grundsätzlich geschlossen (siehe Abb. 3):<br />
∮<br />
~B d ~F = 0; (10)<br />
F<br />
wobei F die Oberäche eines geschlossenen Volumens beschreibt. Als Dierentialgleichung stellt<br />
sich der Zusammenhang folgendermaÿen dar:<br />
div ~B = r ¡ ~B = 0 (11)<br />
Abb. 3: Magnetische Feldlinien sind immer geschlossen.<br />
Die Linien der dielektrischen Verschiebung beginnen und enden auf Ladungen (siehe Abb. 4):<br />
∮<br />
~D d ~F = Q (12)<br />
F<br />
wobei Q die elektrische Ladung innerhalb des durch F eingeschlossenen Volumens beschreibt.<br />
Als Dierentialgleichung lässt sich der Zusammenhang folgendermaÿen ausdrücken:<br />
div ~D = r ¡ ~D = ; (13)<br />
<strong>TU</strong> <strong>Berlin</strong> Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Hochfrequenztechnik I Ebene Wellen Polarisation EB/ 4<br />
mit der Raumladungsdichte .<br />
Abb. 4: Linien der dielektrischen Verschiebung.<br />
Bei hochfrequenten Problemen (zeitveränderlichen ~D(t) bzw. ~B(t)) folgen Gl. (11) und (13) automatisch<br />
aus Gl. (5) und (9).<br />
Die Maxwell'schen Gleichungen lassen sich deutlich vereinfachen, wenn man die Feldgröÿen im Frequenzbereich<br />
als Zeigergröÿen darstellt. Nimmt man z.B. für die magnetische Feldstärke ein harmonisches<br />
Signal der Kreisfrequenz ! an, kann man das Signal folgendermaÿen in Zeigerdarstellung<br />
schreiben:<br />
( )<br />
~H(t) = < H ~ exp(j!t)<br />
Wie man leicht sieht, ist die Ableitung nach der Zeit in Zeigerdarstellung durch eine einfache Multiplikation<br />
mit j! beschreibbar, wodurch sich die Maxwell'schen Gleichungen vereinfachen:<br />
rot ~H = r ¢ ~H = j!~D + ~J (14)<br />
rot ~E = r ¢ ~E = j!~B (15)<br />
Für ! 6= 0 folgt aus Gl. (14) und (15) unmittelbar auch Gl. (11) und (13), so dass die Maxwell'schen<br />
Gleichungen Gl. (14) und (15) die Basis für die folgende Betrachtung darstellen.<br />
2.1 Materialgleichungen<br />
Im letzten Abschnitt wurden die Feldgröÿen behandelt, als ob sie voneinander unabhängig wären. In<br />
realen Materialien sind jedoch ~H und ~B sowie ~E und ~D meist miteinander in folgender Weise verknüpft:<br />
~D = " 0 " r<br />
~E (16)<br />
~B = 0 r<br />
~H (17)<br />
Hierbei beschreiben " 0 und 0 die Dielektrizitätskonstante und die Permeabilitätskonstante im freien<br />
Raum, die jeweils Naturkonstanten darstellen. " r und r sind dagegen die relative Dielektrizitätskonstante<br />
bzw. die relative Permeabililitätskonstante, die somit Materialeigenschaften beschreiben. Für<br />
Vakuum gilt z.B. " r = r = 1, während das häug für Dielektrika verwendete Polethylen ein " r = 2; 28<br />
und r 1 aufweist.<br />
<strong>TU</strong> <strong>Berlin</strong> Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Hochfrequenztechnik I Ebene Wellen Polarisation EB/ 5<br />
2.2 Stromdichte<br />
Die Stromdichte ~J kann man in die drei Komponenten Leitungsstromdichte ~J L , Konvektionsstromdichte<br />
~J K und eingeprägte Stromdichte ~J E aufteilen:<br />
Die drei Gröÿen haben die folgende Bedeutung:<br />
~J = ~J L + ~J K + ~J E (18)<br />
ˆ ~J L = ¡ ~E ist die Leitungsstromdichte mit der spezischen Leitfähigkeit des Materials .<br />
ˆ ~J K = ¡ ~v berücksichtigt die Bewegung freier Ladungsträger durch äuÿere Kräfte (z.B. im<br />
Plasma), wobei ~v die Geschwindigkeit beschreibt, mit der sich die Raumladungsdichte bewegt.<br />
ˆ ~J E beschreibt die von auÿen erzwungene Stromdichte, wie sie z.B. bei Antennen vorkommt.<br />
Setzen wir nun Gleichung (18) in die Maxwell'sche Gleichung Gl. (15) ein, so folgt:<br />
Die ersten beiden Terme lassen sich zusammenfassen zu:<br />
mit der komplexen Dielektrizitätskonstanten " = " 0 " r j ! .<br />
r ¢ ~H = j!" 0 " r<br />
~E + ~E + ~J K + ~J E (19)<br />
r ¢ ~H = j!" ¡ ~E + ~J K + ~J E (20)<br />
In ähnlicher Weise kann man auch die andere Maxwell'sche Gleichung mit einer komplexen Materialkonstante<br />
beschreiben:<br />
r ¢ ~E = j! ~H (21)<br />
mit der komplexen Permeabilitätskonstanten = 0 ¡ r<br />
, wobei der Imaginärteil von die magnetischen<br />
Verluste berücksichtigt.<br />
3 Ebene Wellen<br />
Die Gleichungen (20) und (21) beschreiben elektromagenetische Wellen in allgemeiner Weise. Im Folgenden<br />
wollen wir uns jedoch auf die meist zutreende Annahme beschränken, dass keine eingeprägten<br />
Ströme und keine Konvektionsströme vorliegen: ~J E = ~J K = 0.<br />
In diesem Fall vereinfachen sich Gl. (20) und (21) zu:<br />
r ¢ ~H = j!" ~E (22)<br />
r ¢ ~E = j!~H (23)<br />
Die einfachsten Lösungen für die Gl. (22) und (23) erhält man für homogenes, also ortsunabhängiges<br />
", . Setzt man beide Gleichungen ineinander ein, ergibt sich:<br />
r ¢ r ¢ ~E + ! 2 " ~E = 0 (24)<br />
<strong>TU</strong> <strong>Berlin</strong> Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Hochfrequenztechnik I Ebene Wellen Polarisation EB/ 6<br />
Mit der folgenden Identität aus der Vektoranalysis<br />
r ¢ r ¢ ~E =<br />
( )<br />
r r ¡ ~E<br />
} {{ }<br />
=0 wegen r¡ ~ E=0<br />
¡~E<br />
ergibt sich die Wellengleichung für die elektrische Feldstärke:<br />
¡~E + ! 2 "~E = 0 (25)<br />
Hierbei beschreibt ¡ den Laplace-Operator, der deniert ist als ¡ ^= @2<br />
@x 2 + @2<br />
@y 2 + @2<br />
für jede kartesische<br />
@z 2<br />
Komponente von ~E.<br />
Analog kann man die Wellengleichung auch für die magnetische Feldstärke herleiten<br />
¡~H + ! 2 "~H = 0 (26)<br />
Ein einfaches Beispiel für eine Lösung von Gl. (25) ist die ebene Welle:<br />
(<br />
~E = ~E 0 ¡ exp<br />
)<br />
j~k ¡ ~r = ~E 0 ¡ ( exp j(k x x + k y y + k z z ) ) (27)<br />
Hierbei beschreibt ~r den Ortsvektor<br />
⎛ ⎞<br />
x<br />
~r = ⎜y<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
z<br />
(28)<br />
und ~k den Wellenvektor<br />
⎛ ⎞<br />
k x<br />
~k = ⎜k ⎝ y ⎟<br />
⎠ ; (29)<br />
k z<br />
in dessen Richtung sich die ebene Welle in Gleichung (27) ausbreitet.<br />
Gl. (27) löst Gl. (25) mit:<br />
( ) 2<br />
~ k = k 2 x + k 2 y + k 2 z = !2 " (30)<br />
Obige Gl. (27) beschreibt eine ebene Welle, da Flächen mit konstanter Phase ' = ~k ¡ ~r Ebenen<br />
darstellen. Diese Phasenächen stehen senkrecht auf ~k und damit senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.<br />
Weiterhin führt Gl. (27) in Gl. (23) eingesetzt auf:<br />
~H =<br />
~k ¢ ~E<br />
(<br />
! = ~H 0 ¡ exp<br />
j~k ¡ ~r<br />
)<br />
mit ~H 0 =<br />
~k ¢ ~E 0<br />
!<br />
(31)<br />
Analog folgt aus Gl. (22):<br />
~E =<br />
~k ¢ ~H<br />
Aus den Gleichungen (31) und (32) folgt, dass ~E, ~H und ~k bei ebenen Wellen jeweils senkrecht<br />
aufeinander stehen.<br />
!"<br />
(32)<br />
<strong>TU</strong> <strong>Berlin</strong> Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Hochfrequenztechnik I Ebene Wellen Polarisation EB/ 7<br />
4 Polarisation<br />
Wir wollen im Folgenden eine sich in z-Richtung ausbreitende ebene Welle betrachten und deren Eigenschaften<br />
genauer analysieren. Bei Ausbreitung in z-Richtung besitzt der Wellenvektor ~k ausschlieÿlich<br />
eine z-Komponente, so dass man schreiben kann:<br />
j~k = ~e z<br />
mit ~e z Einheitsvektor in z-Richtung<br />
Mit dieser Schreibweise ergibt sich für die in z-Richtung ausbreitende ebene Welle:<br />
~E = ~E 0 ¡ exp( z ) mit =<br />
√<br />
! 2 "<br />
Man erkennt, dass dann, wenn das Argument der Exponentialfunktion rein imaginär wird, sich eine<br />
ungedämpfte Wellenausbreitung ergibt. Das Argument der Exponentialfunktion wird rein imaginär,<br />
wenn und " positiv und reell sind.<br />
Da der Wellenvektor ~k in z-Richtung zeigt, liegen ~E und ~H in der xy-Ebene und stehen dort senkrecht<br />
aufeinander. Dieser Sachverhalt lässt sich folgendermaÿen beschreiben:<br />
⎛ ⎞<br />
~E = ⎝ a x<br />
⎠ E 0 exp( z ) (33)<br />
a y<br />
⎛<br />
~H = ⎝<br />
a y<br />
a x<br />
⎞<br />
⎠ H 0 exp( z ) mit H 0 = E 0<br />
Z F<br />
(34)<br />
√<br />
Hierbei steht Z F = =" für den Feldwellenwiderstand, der das Verhältnis zwischen elektrischer und<br />
magnetischer Feldstärke beschreibt. Im freien Raum ist der Feldwellenwiderstand rein reell:<br />
∣ √<br />
∣∣∣Freiraum 0<br />
Z F = Z F 0 = = 120 (35)<br />
" 0<br />
Anmerkung: Streng genommen gilt der Zahlenwert in Gl. (35) nur, wenn für die Lichtgeschwindigkeit<br />
c 0 = 3 ¡ 10 8 m zugrunde gelegt wird. Exakt gilt Z s F 0 = p 0<br />
0<br />
=<br />
" 0<br />
0 ¡ c 0 mit 0 = 4 ¡ 10 7 Vs<br />
Am<br />
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c 0 = 299792458<br />
⎛ ⎞<br />
m . s<br />
Der Jones-Vektor ⎝ a x<br />
⎠ ist ein Einheitsvektor der Länge 1 ) j a x j 2 + j a y j 2 = 1.<br />
a y<br />
Er beschreibt den Polarisationszustand der Welle.<br />
und der<br />
4.1 Polarisationszustände im Zeitbereich<br />
Im Folgenden wollen wir einige spezielle Polarisationszustände und ihren zeitlichen Verlauf betrachten.<br />
Dabei wollen wir aus Vereinfachungsgründen von der Annahme ausgehen, dass eine ungedämpfte<br />
Wellenausbreitung mit = j mit rein reell vorliegt. Dann ergibt sich folgender zeitlicher Verlauf:<br />
⎛<br />
~E(z; t) = E 0<br />
⎝ < ( a x exp( jz ) ⎞<br />
) exp(j!t)<br />
(<br />
) ⎠ (36)<br />
< a y exp( jz ) exp(j!t)<br />
<strong>TU</strong> <strong>Berlin</strong> Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Hochfrequenztechnik I Ebene Wellen Polarisation EB/ 8<br />
Wenn wir in Gl. (36) a x und a y<br />
nach Betrag und Phase schreiben:<br />
ergibt sich:<br />
a x = ja x j exp(j' x ) (37)<br />
a y = ja y j exp(j' y ); (38)<br />
⎛<br />
⎞<br />
~E(z; t) = E 0<br />
⎝ ja xj cos[!t z + ' x ]<br />
⎠ : (39)<br />
ja y j cos[!t z + ' y ]<br />
Der elektrische Feldvektor in Gl. (36) bzw. Gl. (39) bewegt sich in Abhängigkeit von (!t z ) auf<br />
einer Ellipse, weshalb man im Allgemeinen auch von einem elliptischen Polarisationszustand spricht.<br />
Spezialfälle stellen die lineare bzw. die zirkulare Polarisation dar, die in Folgenden detaillierter betrachtet<br />
werden sollen.<br />
4.2 Lineare Polarisation<br />
Für ' x = ' y bewegt sich der Feldvektor ~E(z; t) in Gl. (39) auf einer Linie, so dass man dann von<br />
linearer Polarisation spricht. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit lässt sich dann ' x = ' y = 0 und<br />
ja x j = cos ' sowie ja y j = sin ' setzen, so dass dann aus Gl. (39) folgt:<br />
⎛ ⎞<br />
~E(z; t) = E 0<br />
⎝ cos '<br />
sin '<br />
⎠ cos(!t z ) (40)<br />
Der elektrische Feldvektor liegt in der xy-Ebene auf einer Geraden (siehe Abb. 5) im Winkel ' zur<br />
x-Achse.<br />
Abb. 5: Elektrischer Feldvektor bei linearer Polarisation.<br />
4.3 Zirkulare Polarisation<br />
Bei zirkularer Polarisation beschreibt der Vektor der elektrischen Feldstärke einen Kreis. Dabei weisen<br />
die x- und y-Komponenten des Jones-Vektors jeweils die gleiche Länge von ja x j = ja y j = 1= p 2 auf<br />
und sind um =2 zueinander phasenverschoben, d. h. beispielsweise:<br />
a x = 1<br />
p<br />
2<br />
und a ¦j<br />
y = p<br />
2<br />
(41)<br />
<strong>TU</strong> <strong>Berlin</strong> Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Hochfrequenztechnik I Ebene Wellen Polarisation EB/ 9<br />
Mit Gl. (36) und (39) kann man dann den zeitlichen Verlauf folgendermaÿen beschreiben:<br />
~E(z; t) = E 0<br />
1<br />
p<br />
2<br />
⎛<br />
⎞<br />
cos(!t z )<br />
⎝<br />
§ sin(!t z )<br />
⎠ (42)<br />
Das Vorzeichen der y-Komponente bzw. die Phasenverschiebung von =2 oder +=2 bestimmt, ob<br />
es sich um rechtszirkulare oder linkszirkulare Polarisation handelt:<br />
rechtszirkular:<br />
In Ausbreitungsrichtung gesehen dreht sich ~E bei konstantem Ort z in Uhrzeigerrichtung. Dieser<br />
Polarisationszustand entspricht Gl. (42) mit positivem Vorzeichen (+) bzw. negativem Vorzeichen<br />
in Gl. (41).<br />
linkszirkular:<br />
In Ausbreitungsrichtung gesehen dreht sich ~E bei konstantem Ort z entgegengesetzt zum Uhrzeiger.<br />
Dieser Polarisationszustand entspricht Gl. (42) mit negativem Vorzeichen ( ) bzw. positivem<br />
Vorzeichen in Gl. (41).<br />
Abb. 6 zeigt beispielhaft den Verlauf des elektrischen Feldvektors bei linkszirkularer Polarisation.<br />
Abb. 6: Elektrischer Feldvektor bei linkszirkularer Polarisation.<br />
4.4 Poincaré-Kugel<br />
Alle möglichen Polarisationszustände lassen sich sehr elegant auf der sog. Poincaré-Kugel (Poincaré<br />
französischer Mathematiker) darstellen, wie Abb. 7 zeigt. Die Pole repräsentieren dabei die linksbzw.<br />
rechtszirkulare Polarisation, während sich die linearen Polarisationszustände auf dem Äquator<br />
benden. Ansonsten handelt es sich um elliptische Polarisationszustände.<br />
Alternativ zum Jones-Vektor in Gl. (33) wird der Polarisationszustand häug auch durch die Stokes-<br />
Parameter beschrieben. Wenn man wie in Abb. 8 die Poincaré-Kugel mit einem kartesischen Koordinatensystem<br />
versieht, ergeben sich die Stokes-Parameter S 1 , S 2 , S 3 als die jeweiligen Achsenabschnitte<br />
<strong>TU</strong> <strong>Berlin</strong> Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Hochfrequenztechnik I Ebene Wellen Polarisation EB/ 10<br />
eines Polarisationszustands P auf der Poincaré-Kugel Zusätzlich zu S 1 , S 2 , S 3 gibt es noch einen vierten<br />
Stokes-Parameter S 0 , der die Intensität der Welle beschreibt. Wenn man S 0 = 1 setzt (Normierung),<br />
ergibt sich folgender Zusammenhang zwischen den Stokes-Parametern und dem Jones-Vektor:<br />
S 1 = ja x j 2 ja y j 2 (43)<br />
S 2 = 2ja x jja y j cos(' y ' x ) (44)<br />
S 3 = 2ja x jja y j sin(' y ' x ) (45)<br />
Breitengrad<br />
beschreibt<br />
Achsenverhältnis<br />
Linkszirkular<br />
Obere Hemisphäre<br />
links-elliptisch<br />
Äquator:<br />
lin.Pol.<br />
45° Lineare<br />
Polarisation<br />
Rechtszirkular<br />
Längengrad<br />
beschreibt den<br />
Verkippungswinkel<br />
Abb. 7: Beispiele für Polarisationszustände auf der Poincaré-Kugel.<br />
4.5 Lineare Doppelbrechung<br />
Eine zirkulare Polarisation lässt sich beispielsweise aus linearer Polarisation gewinnen, indem man zwischen<br />
der x- und y-Feldkomponente eine Phasenverschiebung von einführt. Das erreicht man nach<br />
2<br />
Durchgang durch ein doppelbrechendes Medium. Wir betrachten ein Material mit linearer Doppelbrechung<br />
und x; y als Hauptachsen d.h. die x- und y-Polarisation haben unterschiedliche Phasenkonstanten<br />
x und y mit<br />
y = x + ¡: (46)<br />
Aus Gl. (33) folgt dann sinngemäÿ:<br />
⎛<br />
~E(z ) = E 0<br />
⎝ a x (z = 0) ¡ exp( j xz )<br />
a y (z = 0) ¡ exp( j y z )<br />
⎞ ⎛<br />
⎞<br />
⎠ = E0 ⎝ a x (z = 0)<br />
a y (z = 0) ¡ exp( j¡z )<br />
⎠ exp( jx z ) (47)<br />
<strong>TU</strong> <strong>Berlin</strong> Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Hochfrequenztechnik I Ebene Wellen Polarisation EB/ 11<br />
S 3<br />
S 2<br />
L<br />
P<br />
-45°<br />
V<br />
H<br />
+45°<br />
S 1<br />
R<br />
Abb. 8: Stokes-Parameter auf der Poincaré-Kugel.<br />
Gehen wir nun bei z = 0 von einer linearen Doppelbrechung mit ' = 45 aus, erhalten wir für den<br />
Jones-Vektor vor dem doppelbrechenden Material (z = 0, vgl. Gl. (40)):<br />
a x (z = 0) = a y (z = 0) = 1<br />
p2 :<br />
Nach der Ausbreitung durch das doppelbrechende Material erhalten wir an der Stelle z:<br />
a x (z ) = p<br />
1<br />
2 ; a y (z ) = p2 1<br />
exp( j¡z )<br />
1. Bei einer Phasenverschiebung um =2 erhalten wir rechtszirkulare Polarisation:<br />
¡ ¡ z = 2<br />
(entspricht 4 -Platte in der Optik) ) a y = j<br />
p<br />
2<br />
2. Bei einer Phasenverschiebung um spiegelt sich der Polarisationszustand an der x-Achse, da<br />
die y-Komponente nun das umgekehrte Vorzeichen aufweist:<br />
¡ ¡ z = (entspricht 2 -Platte in der Optik) ) a y = 1<br />
p<br />
2<br />
3. Bei einer Phasenverschiebung um 3=2 (entspricht =2) erhalten wir linkszirkulare Polarisation:<br />
¡ ¡ z 3 = ) a y = p<br />
j<br />
2<br />
2<br />
4. Bei einer Phasenverschiebung um 2 erhalten wir wieder den ursprünglichen Polarisationszustand:<br />
¡ ¡ z = 2 ) a y = p<br />
1<br />
2<br />
<strong>TU</strong> <strong>Berlin</strong> Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Hochfrequenztechnik I Ebene Wellen Polarisation EB/ 12<br />
Diese Transformation des Polarisationszustands lässt sich mit Hilfe der Poicaré-Kugel einfach veranschaulichen,<br />
indem man zunächst die beiden Eigenzustände des doppelbrechenden Mediums auf der<br />
Poincaré-Kugel markiert (für das obige Beispiel wäre das die x- bzw. y-Polarisation oder in Abb. 8<br />
die Punkte H und V ). Diese beiden Eigen-Polarisationszustände denieren eine Drehachse, um die der<br />
Eingangspolarisationszustand (im obigen Beispiel lineare Polarisation mit ' = 45 ) um den Winkel<br />
¡ ¡ z auf der Poincaré-Kugel gedreht wird.<br />
<strong>TU</strong> <strong>Berlin</strong> Prof. Dr.-Ing. K. Petermann