Grundlagen der Spektrumanalyse.pdf - Ing. H. Heuermann

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Grundlagen der Spektrumanalyse Signale Periodische Signale Das Theorem von Fourier besagt, daß jedes beliebige im Zeitbereich periodische Signal aus einer Summe von sinus- und cosinusförmigen Signalen unterschiedlicher Frequenz und Amplitude gebildet werden kann. Eine solche Summe wird als Fourier-Reihe bezeichnet. Es gilt: x(t) 0 n = 1 n = 3 n = 5 n = 7 Harmonische x(t) 0 Summe der Harmonischen A 0 x(t) = +Σ A n · sin(n · ω 0 · t) +Σ B n · cos(n · ω 0 · t) (Gl. 2-4) 2 ∞ n=1 ∞ n=1 Die Fourier-Koeffizienten A 0 , A n und B n sind abhängig von der Kurvenform des Signals x(t) und können wie folgt berechnet werden: 2 A 0 = ∫ x(t)dt (Gl. 2-5) T 0 T 0 0 2 A n = ∫ x(t) · sin(n · ω 0 · t) dt (Gl. 2-6) T 0 T 0 0 2 B n = ∫ x(t) · cos(n · ω 0 · t) dt (Gl. 2-7) T 0 T 0 0 t a) b) Bild 2-3 Annäherung eines Rechtecksignals durch die Summe verschiedener sinusförmiger Schwingungen. Im Fall eines sinus- bzw. cosinusförmigen Signals läßt sich für Gl. 2-2 eine geschlossene Lösung angeben, so daß man für die komplexe Spektrumdarstellung folgende Zusammenhänge erhält: 1 F {sin(2 · π · ƒ 0 · t)} = · δ(ƒ – ƒ 0 ) = – j · δ(ƒ– ƒ 0 ) (Gl. 2-8) j bzw. t mit A 0 2 x(t) n T 0 ω 0 Gleichanteil Signal im Zeitbereich Ordnung der harmonischen Schwingung Periodendauer Kreisfrequenz In Bild 2-3b ist ein durch eine Fourier-Reihe angenähertes Rechtecksignal dargestellt. Die einzelnen Summanden sind in Bild 2-3a abgebildet. Die Annäherung an ein ideales Rechtecksignal wird um so besser, je größer die Anzahl solcher Einzelkomponenten wird. F {cos(2 · π · ƒ 0 · t)} = δ(ƒ – ƒ 0 ) (Gl. 2-9) mit δ(ƒ – ƒ 0 ) Dirac-Funktion, mit δ(ƒ– ƒ 0 ) = 1 wenn f–f 0 = 0, also f=f 0 δ(ƒ – ƒ 0 ) = 0 sonst Man erkennt, daß das Spektrum sowohl des Sinus- als auch des Cosinussignals aus einem einzigen Dirac-Stoß bei f 0 besteht (siehe auch Bild 2-5a). Die Beträge der Fourier-Transformierten von Sinus- und Cosinussignal sind identisch, d.h. bei gleicher Frequenz f 0 weisen beide Signale ein identisches Betragsspektrum auf. Zur Berechnung des Spektrums eines periodischen Signals, dessen Zeitverlauf durch eine Fourier-Reihe gemäß Gl. 2-4 beschrieben wird, muß jeder Summand der Reihe transformiert werden. Jedes dieser Elemente führt zu einem Dirac-Impuls, also einer diskreten Komponente im Frequenzbereich. Periodische Signale weisen daher immer diskrete Spektren auf, man spricht auch von Linienspektren. Für das in Bild 2-3 dargestellte angenäherte Rechtecksignal ergibt sich entsprechend das in Bild 2-4 dargestellte Spektrum. 12 13
Grundlagen der Spektrumanalyse Signale |X(f)| --- Â A p |A| _ Hüllkurve si(x) = _____ sin(x) x sin (n · ----- τ T · π ) Â n·fp = Â p· · 2 · ____________ p ----- τ T p n · ----- τ · π T p T P τ 0 t –– 1 2 f τ –– 3 τ 1 –– τ ----- f 0 3f 0 5f 0 7f 0 f Periodisches Rechtecksignal c) T p 0 Zeitbereich Amplitudenmoduliertes Signal Frequenzbereich A A 0 0 Bild 2-4 Betragsspektrum des in Bild 2-3 dargestellten angenäherten Rechtecksignals Als weitere Beispiele hierzu sind in Bild 2-5 einige periodische Signale in Zeit- und Frequenzbereich dargestellt. a) b) Zeitbereich T 0 Zeitbereich |A| _ 0 Frequenzbereich t 1 f 0 = –– Sinussignal T 0 t 0 f T – f S f T f T + f S |A| _ Amplitudenmoduliertes Signal Frequenzbereich f f Bild 2-5 Periodische Signale im Zeit- und Frequenzbereich (Betragsspektren) Nicht-periodische Signale Signale mit nicht-periodischem Verlauf im Zeitbereich lassen sich nicht durch Fourier-Reihen beschreiben. Dementsprechend setzt sich das Frequenzspektrum solcher Signale nicht aus diskreten spektralen Komponenten definierter Amplitude zusammen. Nicht-periodische Signale weisen vielmehr ein kontinuierliches Frequenzspektrum mit frequenzabhängiger spektraler Dichte auf. Das Signal im Frequenzbereich wird durch Fourier- Transformation (Gl. 2-2) berechnet. Wie für das Sinus- und Cosinussignal läßt sich hierbei für viele Signale eine geschlossene Lösung von Gl. 2-2 finden. Tabellen mit solchen Transformationspaaren finden sich u.a. in [2-1]. Für Signale mit zufälligem Verlauf im Zeitbereich, z.B. Rauschen oder zufällige Bit-Folgen, existiert jedoch selten eine geschlossene Lösung. Das Spektrum kann dann einfacher durch numerische Lösung von Gl. 2-2 bestimmt werden. In Bild 2-6 sind einige nicht-periodische Signale im Zeit- und Frequenzbereich dargestellt. 14 15
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