Grundlagen der Spektrumanalyse.pdf - Ing. H. Heuermann
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<strong>Grundlagen</strong> <strong>der</strong> <strong>Spektrumanalyse</strong><br />
Signale<br />
Periodische Signale<br />
Das Theorem von Fourier besagt, daß jedes beliebige im Zeitbereich periodische<br />
Signal aus einer Summe von sinus- und cosinusförmigen Signalen<br />
unterschiedlicher Frequenz und Amplitude gebildet werden kann. Eine solche<br />
Summe wird als Fourier-Reihe bezeichnet. Es gilt:<br />
x(t)<br />
0<br />
n = 1<br />
n = 3<br />
n = 5 n = 7<br />
Harmonische<br />
x(t)<br />
0<br />
Summe <strong>der</strong> Harmonischen<br />
A 0<br />
x(t) = +Σ A n · sin(n · ω 0 · t) +Σ B n · cos(n · ω 0 · t) (Gl. 2-4)<br />
2<br />
∞<br />
n=1<br />
∞<br />
n=1<br />
Die Fourier-Koeffizienten A 0 , A n und B n sind abhängig von <strong>der</strong> Kurvenform<br />
des Signals x(t) und können wie folgt berechnet werden:<br />
2<br />
A 0 = ∫ x(t)dt (Gl. 2-5)<br />
T 0<br />
T 0<br />
0<br />
2<br />
A n = ∫ x(t) · sin(n · ω 0 · t) dt (Gl. 2-6)<br />
T 0<br />
T 0<br />
0<br />
2<br />
B n = ∫ x(t) · cos(n · ω 0 · t) dt (Gl. 2-7)<br />
T 0<br />
T 0<br />
0<br />
t<br />
a) b)<br />
Bild 2-3 Annäherung eines Rechtecksignals durch die Summe verschiedener<br />
sinusförmiger Schwingungen.<br />
Im Fall eines sinus- bzw. cosinusförmigen Signals läßt sich für Gl. 2-2 eine<br />
geschlossene Lösung angeben, so daß man für die komplexe Spektrumdarstellung<br />
folgende Zusammenhänge erhält:<br />
1<br />
F {sin(2 · π · ƒ 0 · t)} = · δ(ƒ – ƒ 0 ) = – j · δ(ƒ– ƒ 0 ) (Gl. 2-8)<br />
j<br />
bzw.<br />
t<br />
mit<br />
A 0<br />
2<br />
x(t)<br />
n<br />
T 0<br />
ω 0<br />
Gleichanteil<br />
Signal im Zeitbereich<br />
Ordnung <strong>der</strong> harmonischen Schwingung<br />
Periodendauer<br />
Kreisfrequenz<br />
In Bild 2-3b ist ein durch eine Fourier-Reihe angenähertes Rechtecksignal<br />
dargestellt. Die einzelnen Summanden sind in Bild 2-3a abgebildet. Die Annäherung<br />
an ein ideales Rechtecksignal wird um so besser, je größer die<br />
Anzahl solcher Einzelkomponenten wird.<br />
F {cos(2 · π · ƒ 0 · t)} = δ(ƒ – ƒ 0 ) (Gl. 2-9)<br />
mit δ(ƒ – ƒ 0 ) Dirac-Funktion, mit δ(ƒ– ƒ 0 ) = 1 wenn f–f 0 = 0, also f=f 0<br />
δ(ƒ – ƒ 0 ) = 0 sonst<br />
Man erkennt, daß das Spektrum sowohl des Sinus- als auch des Cosinussignals<br />
aus einem einzigen Dirac-Stoß bei f 0 besteht (siehe auch Bild 2-5a).<br />
Die Beträge <strong>der</strong> Fourier-Transformierten von Sinus- und Cosinussignal<br />
sind identisch, d.h. bei gleicher Frequenz f 0 weisen beide Signale ein identisches<br />
Betragsspektrum auf.<br />
Zur Berechnung des Spektrums eines periodischen Signals, dessen<br />
Zeitverlauf durch eine Fourier-Reihe gemäß Gl. 2-4 beschrieben wird, muß<br />
je<strong>der</strong> Summand <strong>der</strong> Reihe transformiert werden. Jedes dieser Elemente<br />
führt zu einem Dirac-Impuls, also einer diskreten Komponente im Frequenzbereich.<br />
Periodische Signale weisen daher immer diskrete Spektren<br />
auf, man spricht auch von Linienspektren. Für das in Bild 2-3 dargestellte<br />
angenäherte Rechtecksignal ergibt sich entsprechend das in Bild 2-4 dargestellte<br />
Spektrum.<br />
12<br />
13