SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

2.2 Laplacewahrscheinlichkeiten
Sie werfen einen roten und einen blauen Würfel. Bei den Augensummen
2, 3, 4, 9, 10, 11 und 12 bekommen Sie Ihren Einsatz doppelt zurück,
bei den Augensummen 5, 6, 7 und 8 verlieren Sie Ihren Einsatz.
Da Sie bei 7 Augensummen gewinnen und nur bei 4
Augensummen verlieren, beträgt Ihre
Gewinnwahrscheinlichkeit 7 11 ≈ 64%.
(a) Schreibe einenmöglichst ”
feinen“ Ergebnisraum ΩfürdasZufallsexperiment hin
und berechne dann die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse S 2 : ”
Augensumme
ist 2“ bis S 12 : ”
Augensumme ist 12“.
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses G : ”
Spieler gewinnt“?
(c) Welcher mittlere Gewinn bzw. Verlust pro Spiel ist zu erwarten, wenn sich der
Spieler zu sehr vielen Spielen hinreißen läßt und der Einsatz pro Spiel mit E
bezeichnet wird? Berechne auch die Rendite R des Spiels, die folgendermaßen
definiert ist:
mittlerer Gewinn pro Spiel
R = .
E
(d) Wir betrachten jetzt ein beliebiges Spiel mit folgenden Regeln: Verliert der Spieler,
dann gehört der Einsatz E dem Spieleanbieter, gewinnt der Spieler, dann
erhält erseinen Einsatzzurück undzusätzlich dasg-fachedesEinsatzes. Beweise
für die Rendite:
R = P(G)(g +1)−1
(e) Informiere dich über die Spielregeln beim Roulette und berechne die Renditen
folgender Spiele:
i. Setzen auf rot (Gewinn: G = E)
ii. Setzen auf ein Dutzend (Gewinn: G = 2E)
iii. Setzen auf eine Zahl (Gewinn: G = 35E)
(f) Ein Spiel heißt fair, wenn die Rendite null ist. Welche Gewinne müssen in den
behandelten Spielen ausbezahlt werden, damit es sich um faire Spiele handelt?
Lösung: (a) Ω = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4), ...,(6,6)} mit |Ω| = 36.
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