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2.2 Laplacewahrscheinlichkeiten (b) ja (c) nein (d) nein 2.2 Laplacewahrscheinlichkeiten 1. Von 10000 Touristen, die Transsylvanien besuchen, stecken sich im Mittel acht mit dem Draculvirus an, die Ansteckungsrate ist also a = 8 · 10 −4 . Herr Helsing unterzieht sich nach seinem Transsyslvanien-Urlaub einem medizinischen Test. Dieser Test erkennt 98% der Infizierten und weist somit f 1 = 2% der Infizierten fälschlicherweise als gesund aus. Andererseits werden f 2 = 3% der nichtangesteckten Untersuchten fälschlicherweise als infiziert eingestuft. Herrn Helsings Test fällt positiv aus, d.h. er zeigt an, dass er infiziert ist. (a) Schätze zuerst, in welchem Bereich die Wahrscheinlichkeit p liegt, dass Herr Helsing tatsächlich vom Draculvirus befallen ist: kleiner als 10%, zwischen 10% und 90%, größer als 90% (b) Berechne jetzt die Wahrscheinlichkeit p, dass Herr Helsing tatsächlich vom Draculvirus befallen ist. Fülle zunächst folgende Vierfeldertafel aus, die von einer Million getesteter Transsylvanien-Urlauber ausgeht: absol. Häuf. Gesunde Kranke positiv getestet negativ getestet n = 1000000 Stelle den ganzen Sachverhalt auch in einem Baumdiagramm dar. (c) In einer anderen Urblaubssaison ist die Ansteckungsrate a zunächst unbekannt. Es werden n = 2000 Transsylvanienurlauber gestestet und davon erweisen sich z = 155 Personen als positiv. Berechne zunächst a und dann wieder die Wahrscheinlichkeit p, dass ein als positiv Getesteter tatsächlich erkrankt ist. Stelle p als Funktion von a dar und zeichne den Grafen dieser Funktion. Welche Definitionsmenge ist für a sinnvoll? Lösung: (a) Die meisten Schätzungen liegen bei p > 90%. 64
2.2 Laplacewahrscheinlichkeiten (b) Zahl der Erkrankten: a·n = 800 2%·800 = 16 3%·999200 = 29976 absol. Häuf. Gesunde Kranke positiv 29976 784 30760 negativ 969224 16 969240 999200 800 1000000 Von den insgesamt 30760 positiv Getesteten sind nur 784 tatsächlich krank =⇒ 1000000 p = 784 30760 = 2,55% k 800 999200 g + − + − 784 16 29976 969224 (c) Mit a = 0,0008, f 1 = 2% und f 2 = 3% gilt absol. Häuf. Gesunde Kranke positiv 0,03(1−a)n 0,98an (0,03+0,95a)n negativ 0,97(1−a)n 0,02an (0,97−0,95a)n (1−a)n an n a = Von den insgesamt (0,03 + 0,95a)n positiv Getesteten sind nur 0,98an tatsächlich krank =⇒ p(a) = 0,98an (0,03+0,95a)n = 98a 3+95a p(0,05) = 63,2% z = (0,03+0,95a)n z n −0,03 = 0,0475 = 0,05 = 5% 0,95 0,95 p 1 0,5 0,2 0 0 0,2 0,5 1 a 2. Ein illegaler Wettanbieter wirbt auf einem Jahrmarkt mit folgendem Plakat: 65
- Seite 13 und 14: 1.2 Funktion und Term dem zweiten B
- Seite 15 und 16: 1.2 Funktion und Term (e) (f) Aufgr
- Seite 17 und 18: 1.2 Funktion und Term (a) Kreuze di
- Seite 19 und 20: 1.2 Funktion und Term Lösung: (c)
- Seite 21 und 22: 1.2 Funktion und Term so hoch steht
- Seite 23 und 24: 1.2 Funktion und Term Beurteile die
- Seite 25 und 26: 1.3 lineare Funktionen Lösung: Var
- Seite 27 und 28: 1.3 lineare Funktionen y f h 5 g 5
- Seite 29 und 30: 1.3 lineare Funktionen (c) Die Gera
- Seite 31 und 32: 1.3 lineare Funktionen Lösung: (b)
- Seite 33 und 34: 1.3 lineare Funktionen Lösung: . .
- Seite 35 und 36: 1.3 lineare Funktionen . ✻y 4 n 3
- Seite 37 und 38: 1.3 lineare Funktionen (c) 2. Die P
- Seite 39 und 40: 1.3 lineare Funktionen (c) Berechne
- Seite 41 und 42: 1.3 lineare Funktionen Die Fläche
- Seite 43 und 44: 1.4 lineare Gleichungssysteme (b) x
- Seite 45 und 46: 1.4 lineare Gleichungssysteme 8. Du
- Seite 47 und 48: 1.4 lineare Gleichungssysteme (I) 8
- Seite 49 und 50: 1.4 lineare Gleichungssysteme Lösu
- Seite 51 und 52: 1.4 lineare Gleichungssysteme Varia
- Seite 53 und 54: 1.4 lineare Gleichungssysteme (a) n
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- Seite 61 und 62: 2 Stochastik 2.1 Ergebnis, Ergebnis
- Seite 63: 2.1 Ergebnis, Ergebnisraum, Ereigni
- Seite 67 und 68: 2.2 Laplacewahrscheinlichkeiten E 2
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- Seite 71 und 72: 2.2 Laplacewahrscheinlichkeiten (b)
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- Seite 75 und 76: 3.2 Bruchterme Lösung: 51y 4 −20
- Seite 77 und 78: 3.2 Bruchterme Lösung: 1 3(4y−3x
- Seite 79 und 80: 3.2 Bruchterme Lösung: 6b+5a 2(6b
- Seite 81 und 82: 3.3 Bruchgleichungen Lösung: (a) 5
- Seite 83 und 84: 3.3 Bruchgleichungen Lösung: 20 Mi
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- Seite 87 und 88: 4.1 Strahlensätze Sonstige Konstru
- Seite 89 und 90: 4.1 Strahlensätze Lösung: 5. In e
- Seite 91 und 92: 4.1 Strahlensätze Lösung: h 2 = 2
- Seite 93 und 94: 4.1 Strahlensätze Lösung: e l = s
- Seite 95 und 96: 4.1 Strahlensätze Die obigen Bilde
- Seite 97 und 98: 4.1 Strahlensätze 97
- Seite 99 und 100: 4.1 Strahlensätze Quelle: Schroede
- Seite 101 und 102: 4.1 Strahlensätze Lösung: (a) 18m
- Seite 103 und 104: 4.1 Strahlensätze Lösung: (a) x =
- Seite 105 und 106: 4.1 Strahlensätze 25. In der folge
- Seite 107 und 108: 4.1 Strahlensätze 29. In der neben
- Seite 109 und 110: 4.1 Strahlensätze (b) Alle Angaben
- Seite 111 und 112: 4.1 Strahlensätze Lösung: 2. In e
- Seite 113 und 114: 4.1 Strahlensätze (a) Erstelle zun
2.2 Laplacewahrscheinlichkeiten<br />
(b) ja<br />
(c) nein<br />
(d) nein<br />
2.2 Laplacewahrscheinlichkeiten<br />
1. Von 10000 Touristen, die Transsylvanien besuchen, stecken sich im Mittel acht <strong>mit</strong><br />
dem Draculvirus an, die Ansteckungsrate ist <strong>als</strong>o a = 8 · 10 −4 . Herr Helsing unterzieht<br />
sich nach seinem Transsyslvanien-Urlaub einem medizinischen Test. Dieser Test<br />
erkennt 98% der Infizierten und weist so<strong>mit</strong> f 1 = 2% der Infizierten fälschlicherweise<br />
<strong>als</strong> gesund aus. Andererseits werden f 2 = 3% der nichtangesteckten Untersuchten<br />
fälschlicherweise <strong>als</strong> infiziert eingestuft. Herrn Helsings Test fällt positiv aus, d.h. er<br />
zeigt an, dass er infiziert ist.<br />
(a) Schätze zuerst, in welchem Bereich die Wahrscheinlichkeit p liegt, dass Herr<br />
Helsing tatsächlich vom Draculvirus befallen ist:<br />
kleiner <strong>als</strong> 10%, zwischen 10% und 90%, größer <strong>als</strong> 90%<br />
(b) Berechne jetzt die Wahrscheinlichkeit p, dass Herr Helsing tatsächlich vom Draculvirus<br />
befallen ist. Fülle zunächst folgende Vierfeldertafel aus, die von einer<br />
Million getesteter Transsylvanien-Urlauber ausgeht:<br />
absol. Häuf. Gesunde Kranke<br />
positiv getestet<br />
negativ getestet<br />
n = 1000000<br />
Stelle den ganzen Sachverhalt auch in einem Baumdiagramm dar.<br />
(c) In einer anderen Urblaubssaison ist die Ansteckungsrate a zunächst unbekannt.<br />
Es werden n = 2000 Transsylvanienurlauber gestestet und davon erweisen sich<br />
z = 155 Personen <strong>als</strong> positiv. Berechne zunächst a und dann wieder die Wahrscheinlichkeit<br />
p, dass ein <strong>als</strong> positiv Getesteter tatsächlich erkrankt ist.<br />
Stelle p <strong>als</strong> Funktion von a dar und zeichne den Grafen dieser Funktion. Welche<br />
Definitionsmenge ist für a sinnvoll?<br />
Lösung: (a) Die meisten Schätzungen liegen bei p > 90%.<br />
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