SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

5.4 Kreise und Geraden
22. Gegeben ist ein beliebiges Sehnenviereck ABCD
(vgl. Skizze).
(a) Zeige: Die Dreiecke ATC und DBT sind
ähnlich.
(b) Beweise: AT ·BT = DT ·CT
Lösung: (a) DieWinkel derbeidenDreieecke beiAundD sindnachdemUmfangswinkelsatzgleich,
den Winkel bei T haben beide gemeinsam.
(b) Wegen der Ähnlichkeit gilt AT
DT = CT
BT
A
D
.
C
.
.
B
T
.
.
5.4.3 Anwendungaufgaben mit Faßkreisbögen
1. Auf einem Kreis sind zwei Punkte A und B gegeben. Welches dem Kreis einbeschriebene
Dreieck ABC hat den größten Flächeninhalt? Begründe.
Lösung: Die beiden zu AB parallelen Kreistangenten berührenden Kreis in zwei Punkten C und C ′ .
C ist der Punkt der von AB den größeren Abstand hat (zwei Lösungen, falls AB Zentrale
ist).
2. Auf dem Dach eines Hauses soll ein Scheinwerfer
L angebracht werden, der einen benachbarten
Kirchturm voll ausleuchtet, der
Öffnungswinkel des Lichtkegels beträgt 60 ◦
(siehe Abb.). P sei der Befestigungspunkt
der Stange des Scheinwerfers auf dem Hausdach.
Übertrage nebenstehende Zeichnung
.
mit den angegebenen Größen im Maßstab
1 : 500 auf dein Blatt und konstruiere P !
Lösung: L =Faßkreisbogen über [BS] ∩ Parallele zu DE
PL = 5m
BC = 10m
. .
✻
.
60 ◦
L
D
✻
P
25m E ✻
10m
❄✛
✲❄
20m A 20m
.
S
B
.
C
35m
❄.
3. Die Fotographen P 1 , P 2 und P 3 haben den
Auftrag, die Sprengung der von A nach B
führenden Brücke aufzunehmen. Jeder der
drei Fotographen hat seine Kamera mit einem
Zoomobjektiv ausgestattet, bei dem der
Sehwinkel von 50 ◦ bis 110 ◦ stetig verändert
werden kann. Die Aufnahme soll so gestaltet
werden, daß die Punkte A und B gerade die
Randpunkte des Bildes sind.
✻
25m
❄
P 2 ist auf dieser Flußseite
Brücke
A
.
50 ◦
B
P 1 ist auf dieser Flußseite
.
P 3 ist mit
einem Boot
auf dem Fluß
.
.
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