SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...
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5.4 Kreise und Geraden 22. Gegeben ist ein beliebiges Sehnenviereck ABCD (vgl. Skizze). (a) Zeige: Die Dreiecke ATC und DBT sind ähnlich. (b) Beweise: AT ·BT = DT ·CT Lösung: (a) DieWinkel derbeidenDreieecke beiAundD sindnachdemUmfangswinkelsatzgleich, den Winkel bei T haben beide gemeinsam. (b) Wegen der Ähnlichkeit gilt AT DT = CT BT A D . C . . B T . . 5.4.3 Anwendungaufgaben mit Faßkreisbögen 1. Auf einem Kreis sind zwei Punkte A und B gegeben. Welches dem Kreis einbeschriebene Dreieck ABC hat den größten Flächeninhalt? Begründe. Lösung: Die beiden zu AB parallelen Kreistangenten berührenden Kreis in zwei Punkten C und C ′ . C ist der Punkt der von AB den größeren Abstand hat (zwei Lösungen, falls AB Zentrale ist). 2. Auf dem Dach eines Hauses soll ein Scheinwerfer L angebracht werden, der einen benachbarten Kirchturm voll ausleuchtet, der Öffnungswinkel des Lichtkegels beträgt 60 ◦ (siehe Abb.). P sei der Befestigungspunkt der Stange des Scheinwerfers auf dem Hausdach. Übertrage nebenstehende Zeichnung . mit den angegebenen Größen im Maßstab 1 : 500 auf dein Blatt und konstruiere P ! Lösung: L =Faßkreisbogen über [BS] ∩ Parallele zu DE PL = 5m BC = 10m . . ✻ . 60 ◦ L D ✻ P 25m E ✻ 10m ❄✛ ✲❄ 20m A 20m . S B . C 35m ❄. 3. Die Fotographen P 1 , P 2 und P 3 haben den Auftrag, die Sprengung der von A nach B führenden Brücke aufzunehmen. Jeder der drei Fotographen hat seine Kamera mit einem Zoomobjektiv ausgestattet, bei dem der Sehwinkel von 50 ◦ bis 110 ◦ stetig verändert werden kann. Die Aufnahme soll so gestaltet werden, daß die Punkte A und B gerade die Randpunkte des Bildes sind. ✻ 25m ❄ P 2 ist auf dieser Flußseite Brücke A . 50 ◦ B P 1 ist auf dieser Flußseite . P 3 ist mit einem Boot auf dem Fluß . . 152
5.4 Kreise und Geraden Wegen der verschieden starken Sprengladungen für die Brückenköpfe müssen die Sicherheitsabstände 20m von A und 15m von B eingehalten werden. Übertrage die (nicht maßstabsgetreue) Abbildung mit den richtigen Größen im Maßstab 1 : 500 aufdeinBlattundkonstruierediemöglichenStandortederdreiFotographen,dieganz zum Schluß noch verschiedenfarbig hervorgehoben werden sollen! Verwende dein Arbeitsblatt für die Zeichnung im Querformat! Lösung: AB ̂=6cm M 1 =Äußeres des Faßkreisbogenpaares über [AB] zum Winkel 110 ◦ M 2 =Inneres des Faßkreisbogenpaares über [AB] zum Winkel 40 ◦ M 3 =Äußeres des Kreises um A mit Radius 3cm M 4 =Äußeres des Kreises um B mit Radius 7cm Lösung = M 1 ∩M 2 ∩M 3 ∩M 4 ∩ jeweilige Flußseite 4. Vier Satelliten A, B, C und D bewegen sich auf derselben kreisförmigen Umlaufbahn um die Erde. Von D aus erscheint [AC] unter dem Winkel δ = 70 ◦ , [AB] unter ε = 30 ◦ . Unter welchem Winkel erscheint . . ε D . δ . (a) [AC] von B aus gesehen? (b) [AB] von C aus gesehen? . C (c) [BC] von A aus gesehen? (d) [BC] von D aus gesehen? A . . . B Lösung: (a) 110 ◦ ; (b) 30 ◦ ; (c) 40 ◦ ; (d) 40 ◦ 5. Die Entfernungen eines Schiffes S von drei Leuchttürmen A, B und C sollen bestimmt werden. Zur Positionsbestimmung wurden die Winkel
- Seite 101 und 102: 4.1 Strahlensätze Lösung: (a) 18m
- Seite 103 und 104: 4.1 Strahlensätze Lösung: (a) x =
- Seite 105 und 106: 4.1 Strahlensätze 25. In der folge
- Seite 107 und 108: 4.1 Strahlensätze 29. In der neben
- Seite 109 und 110: 4.1 Strahlensätze (b) Alle Angaben
- Seite 111 und 112: 4.1 Strahlensätze Lösung: 2. In e
- Seite 113 und 114: 4.1 Strahlensätze (a) Erstelle zun
- Seite 115 und 116: 4.1 Strahlensätze G: Gegenstandsgr
- Seite 117 und 118: 4.2 Ähnlichkeit von Dreiecken (a)
- Seite 119 und 120: 4.2 Ähnlichkeit von Dreiecken Lös
- Seite 121 und 122: 4.2 Ähnlichkeit von Dreiecken Lös
- Seite 123 und 124: 4.2 Ähnlichkeit von Dreiecken 8. I
- Seite 125 und 126: 4.2 Ähnlichkeit von Dreiecken Lös
- Seite 127 und 128: 4.2 Ähnlichkeit von Dreiecken (b)
- Seite 129 und 130: 5.1 Ungleichungen Lösung: L =]−2
- Seite 131 und 132: 5.1 Ungleichungen 11. Gib die Defin
- Seite 133 und 134: 5.1 Ungleichungen Lösung: ]−3,5;
- Seite 135 und 136: 5.3 Vierecke 5.3 Vierecke 5.3.1 Pun
- Seite 137 und 138: 5.3.4 Beweise 1. Betrachte folgende
- Seite 139 und 140: 5.3 Vierecke Lösung: Lösung: 10.
- Seite 141 und 142: 5.3 Vierecke Lösung: Lösung: 18.
- Seite 143 und 144: 5.4 Kreise und Geraden Lösung: Er
- Seite 145 und 146: 5.4 Kreise und Geraden k K ........
- Seite 147 und 148: 5.4 Kreise und Geraden Lösung: 15.
- Seite 149 und 150: 5.4 Kreise und Geraden Lösung: 12.
- Seite 151: 5.4 Kreise und Geraden 19. In neben
- Seite 155 und 156: 5.5 Flächenmessung Lösung: AC ′
5.4 Kreise und Geraden<br />
22. Gegeben ist ein beliebiges Sehnenviereck ABCD<br />
(vgl. Skizze).<br />
(a) Zeige: Die Dreiecke ATC und DBT sind<br />
ähnlich.<br />
(b) Beweise: AT ·BT = DT ·CT<br />
Lösung: (a) DieWinkel derbeidenDreieecke beiAundD sindnachdemUmfangswinkelsatzgleich,<br />
den Winkel bei T haben beide gemeinsam.<br />
(b) Wegen der Ähnlichkeit gilt AT<br />
DT = CT<br />
BT<br />
A<br />
D<br />
.<br />
C<br />
.<br />
.<br />
B<br />
T<br />
.<br />
.<br />
5.4.3 Anwendungaufgaben <strong>mit</strong> Faßkreisbögen<br />
1. Auf einem Kreis sind zwei Punkte A und B gegeben. Welches dem Kreis einbeschriebene<br />
Dreieck ABC hat den größten Flächeninhalt? Begründe.<br />
Lösung: Die beiden zu AB parallelen Kreistangenten berührenden Kreis in zwei Punkten C und C ′ .<br />
C ist der Punkt der von AB den größeren Abstand hat (zwei Lösungen, falls AB Zentrale<br />
ist).<br />
2. Auf dem Dach eines Hauses soll ein Scheinwerfer<br />
L angebracht werden, der einen benachbarten<br />
Kirchturm voll ausleuchtet, der<br />
Öffnungswinkel des Lichtkegels beträgt 60 ◦<br />
(siehe Abb.). P sei der Befestigungspunkt<br />
der Stange des Scheinwerfers auf dem Hausdach.<br />
Übertrage nebenstehende Zeichnung<br />
.<br />
<strong>mit</strong> den angegebenen Größen im Maßstab<br />
1 : 500 auf dein Blatt und konstruiere P !<br />
Lösung: L =Faßkreisbogen über [BS] ∩ Parallele zu DE<br />
PL = 5m<br />
BC = 10m<br />
. .<br />
✻<br />
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60 ◦<br />
L<br />
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D<br />
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P<br />
25m E ✻<br />
10m<br />
❄✛<br />
✲❄<br />
20m A 20m<br />
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S<br />
B<br />
.<br />
C<br />
35m<br />
❄.<br />
3. Die Fotographen P 1 , P 2 und P 3 haben den<br />
Auftrag, die Sprengung der von A nach B<br />
führenden Brücke aufzunehmen. Jeder der<br />
drei Fotographen hat seine Kamera <strong>mit</strong> einem<br />
Zoomobjektiv ausgestattet, bei dem der<br />
Sehwinkel von 50 ◦ bis 110 ◦ stetig verändert<br />
werden kann. Die Aufnahme soll so gestaltet<br />
werden, daß die Punkte A und B gerade die<br />
Randpunkte des Bildes sind.<br />
✻<br />
25m<br />
❄<br />
P 2 ist auf dieser Flußseite<br />
Brücke<br />
A<br />
.<br />
50 ◦<br />
B<br />
P 1 ist auf dieser Flußseite<br />
.<br />
P 3 ist <strong>mit</strong><br />
einem Boot<br />
auf dem Fluß<br />
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