SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...
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5.3 Vierecke Lösung: Man bezeichne wie üblich die Seiten mit a = AB, b = BC, c = CD, d = DA, und die Diagonalen mit e = AC bzw. f = BD. Dann gilt nach der Dreiecksungleichung: Summation ergibt: e ≦ a+b e ≦ d+c f ≦ a+d f ≦ b+c 2(e+f) ≦ 2(a+b+c+d) Lösung: 15. ” Wenn ein Viereck drei rechte Winkel hat, dann ist es ein Quadrat.“ (a) Prüfe, ob die Voraussetzung dieses Satzes eine notwendige oder hinreichende Bedingung für die Behauptung ist. (b) Formuliere den Kehrsatz. (c) Sind der Satz bzw. der Kehrsatz richtige Sätze? 16. Gib dafür, daß ein Viereck ein Parallelogramm ist, (a) eine notwendige Bedingung an, die nicht hinreichend ist, (b) eine hinreichende Bedingung an, die nicht notwendig ist, (c) eine Bedingung an, die notwendig und hinreichend ist. Lösung: (a) z.B. zwei Seiten sind parallel “ ” (b) z.B. alle Seiten gleich lang “ ” (c) z.B. je zwei Gegenseiten gleich lang “ ” 17. Richtig oder falsch? – Untersuche folgende Sätze auf ihre Richtigkeit! Zeichne bei falschenSätzeneinGegenbeispielundbegründerichtigeSätzekurz(keinvollständiger Beweis nötig)! (a) In einem Drachenviereck stehen die Diagonalen aufeinander senkrecht. (b) In einem Drachenviereck halbieren sich die Diagonalen gegenseitig. (c) Ein mittensymmetrisches Viereck hat zwei gleich lange Seiten. (d) Ist einViereck zugleich einDrachenviereck undeinTrapez, so isteseinQuadrat. (e) In einem gleichschenkligen Trapez halbieren sich die Diagonalen (f) Ist ein gleichschenkliges Trapez punktsymmetrisch, so ist es ein Rechteck. 140
5.3 Vierecke Lösung: Lösung: 18. Satz: Ein Viereck mit zwei gleich langen Gegenseiten ist ein Parallelogramm. (a) Gib den Kehrsatz zu dem gegebenen Satz an! (b) Beurteile die Gültigkeit des Satzes und des Kehrsatzes! Zeichne bei einem falschen Satz oder Kehrsatz ein Gegenbeispiel! Lösung: 19. Satz: Ein Viereck mit zwei gleich langen Gegenseiten, in dem eine Diagonale die andere halbiert und auf ihr senkrecht steht, ist sicher ein Parallelogramm. (a) Gib anhand einer Beweisfigur Voraussetzung und Behauptung des Satzes in Kurzform an! (b) Begründe den Satz mit Hilfe eines Kongruenzbeweises! 5.3.5 Vektoren 1. Gegeben sind die Punkte A(−2|4) und B(4|1). (a) Zeichne die Ortsvektoren −→ OA und −→ OB . (b) Konstruiere den Ortsvektor −→ OC mit −→ OC = −→ BA . Lösung: C(−6|3) (c) Berechne die Koordinaten von C. 2. Zeichne ein beliebiges Fünfeck ABCDE. Die Vektoren −→ a, −→ b , −→ c und −→ d sind festgelegt durch −→ a = −→ AB, −→ b = −→ BC, −→ −−→ −→ −−→ c = CD und d = DE. Gib einen Repräsentanten der folgenden Vektoren mit Hilfe von zweien der Punkte A, B, C, D und E an: (a) −→ a + −→ b (b) − −→ b − −→ c (c) −→ a + −→ b + −→ c + −→ d (d) − −→ b −( −→ a + −→ c ) −→ Lösung: AC, −−→ DB, −→ −→ AE, DA 141
- Seite 89 und 90: 4.1 Strahlensätze Lösung: 5. In e
- Seite 91 und 92: 4.1 Strahlensätze Lösung: h 2 = 2
- Seite 93 und 94: 4.1 Strahlensätze Lösung: e l = s
- Seite 95 und 96: 4.1 Strahlensätze Die obigen Bilde
- Seite 97 und 98: 4.1 Strahlensätze 97
- Seite 99 und 100: 4.1 Strahlensätze Quelle: Schroede
- Seite 101 und 102: 4.1 Strahlensätze Lösung: (a) 18m
- Seite 103 und 104: 4.1 Strahlensätze Lösung: (a) x =
- Seite 105 und 106: 4.1 Strahlensätze 25. In der folge
- Seite 107 und 108: 4.1 Strahlensätze 29. In der neben
- Seite 109 und 110: 4.1 Strahlensätze (b) Alle Angaben
- Seite 111 und 112: 4.1 Strahlensätze Lösung: 2. In e
- Seite 113 und 114: 4.1 Strahlensätze (a) Erstelle zun
- Seite 115 und 116: 4.1 Strahlensätze G: Gegenstandsgr
- Seite 117 und 118: 4.2 Ähnlichkeit von Dreiecken (a)
- Seite 119 und 120: 4.2 Ähnlichkeit von Dreiecken Lös
- Seite 121 und 122: 4.2 Ähnlichkeit von Dreiecken Lös
- Seite 123 und 124: 4.2 Ähnlichkeit von Dreiecken 8. I
- Seite 125 und 126: 4.2 Ähnlichkeit von Dreiecken Lös
- Seite 127 und 128: 4.2 Ähnlichkeit von Dreiecken (b)
- Seite 129 und 130: 5.1 Ungleichungen Lösung: L =]−2
- Seite 131 und 132: 5.1 Ungleichungen 11. Gib die Defin
- Seite 133 und 134: 5.1 Ungleichungen Lösung: ]−3,5;
- Seite 135 und 136: 5.3 Vierecke 5.3 Vierecke 5.3.1 Pun
- Seite 137 und 138: 5.3.4 Beweise 1. Betrachte folgende
- Seite 139: 5.3 Vierecke Lösung: Lösung: 10.
- Seite 143 und 144: 5.4 Kreise und Geraden Lösung: Er
- Seite 145 und 146: 5.4 Kreise und Geraden k K ........
- Seite 147 und 148: 5.4 Kreise und Geraden Lösung: 15.
- Seite 149 und 150: 5.4 Kreise und Geraden Lösung: 12.
- Seite 151 und 152: 5.4 Kreise und Geraden 19. In neben
- Seite 153 und 154: 5.4 Kreise und Geraden Wegen der ve
- Seite 155 und 156: 5.5 Flächenmessung Lösung: AC ′
5.3 Vierecke<br />
Lösung:<br />
Lösung:<br />
18. Satz: Ein Viereck <strong>mit</strong> zwei gleich langen Gegenseiten ist ein Parallelogramm.<br />
(a) Gib den Kehrsatz zu dem gegebenen Satz an!<br />
(b) Beurteile die Gültigkeit des Satzes und des Kehrsatzes!<br />
Zeichne bei einem f<strong>als</strong>chen Satz oder Kehrsatz ein Gegenbeispiel!<br />
Lösung:<br />
19. Satz: Ein Viereck <strong>mit</strong> zwei gleich langen Gegenseiten, in dem eine Diagonale die<br />
andere halbiert und auf ihr senkrecht steht, ist sicher ein Parallelogramm.<br />
(a) Gib anhand einer Beweisfigur Voraussetzung und Behauptung des Satzes in<br />
Kurzform an!<br />
(b) Begründe den Satz <strong>mit</strong> Hilfe eines Kongruenzbeweises!<br />
5.3.5 Vektoren<br />
1. Gegeben sind die Punkte A(−2|4) und B(4|1).<br />
(a) Zeichne die Ortsvektoren −→ OA und −→ OB .<br />
(b) Konstruiere den Ortsvektor −→ OC <strong>mit</strong> −→ OC = −→ BA .<br />
Lösung: C(−6|3)<br />
(c) Berechne die Koordinaten von C.<br />
2. Zeichne ein beliebiges Fünfeck ABCDE. Die Vektoren −→ a, −→ b , −→ c und −→ d sind festgelegt<br />
durch −→ a = −→ AB, −→ b = −→ BC,<br />
−→ −−→ −→ −−→ c = CD und d = DE.<br />
Gib einen Repräsentanten der folgenden Vektoren <strong>mit</strong> Hilfe von zweien der Punkte<br />
A, B, C, D und E an:<br />
(a) −→ a + −→ b<br />
(b) − −→ b − −→ c<br />
(c) −→ a + −→ b + −→ c + −→ d<br />
(d) − −→ b −( −→ a + −→ c )<br />
−→<br />
Lösung: AC, −−→ DB, −→ −→<br />
AE, DA<br />
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