SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

5.3 Vierecke
Lösung:
Lösung:
10. Beweise mit Hilfe eines Kongruenzbeweises:
Trägt man auf einer Diagonalen eines Parallelogramms von den Endpunkten aus
gleich lange Strecken nach innen ab und verbindet die beiden entstandenen Punkte
mit den Endpunkten der anderen Diagonale, so entsteht wieder ein Parallelogramm.
Lösung:
11. Zeichne zu folgendem Satz eine Planfigur, gib Voraussetzung und Behauptung an
und begründe den Satz durch einen Kongruenzbeweis:
Die Lote von beiden Enden einer Diagonale eines Parallelogramms auf die zweite
Diagonale sind gleich lang.
12. Wir betrachten den Satz: Wenn ein Viereck zu einer seiner Diagonalen symmetrisch
ist, dann halbiert diese die andere Diagonale.
(a) Gib den Kehrsatz an.
(b) Welcher der beiden Sätze ist falsch? Begründe deine Antwort.
Lösung: Der Kehrsatz ist falsch, weil die Diagonalen in diesem Fall nicht notwendigerweise orthogonal
sind.
13. Beweise folgenden Satz:
Wenn man bei einem Quadrat alle vier Seiten im gleichen Umlaufsinn um Strecken
gleicher Länge verlängert, so entsteht ein neues Quadrat.
(Gliedere sauber in Voraussetzung, Planfigur, Behauptung und Beweis.)
Lösung: Man zeigt: Die vier rechtwinkligen Dreiecke sind kongruent, also ist das neuentstandene
Viereck eine Raute. Die Innenwinkel der Raute sind so groß wie die Summe der beiden von
90 0 verschiedenen Winkel der Dreiecke, also sind sie rechte Winkel.
14. Beweise: Wenn ein Viereck keinen überstumpfen Innenwinkel besitzt, ist die Summe
der Längen seiner Diagonalen kleiner als der Umfang des Vierecks.
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