SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

4.2 Ähnlichkeit von Dreiecken
8. In einem Dreieck ABC ist a = 78mm; b = 111mm; c = 143mm.
Wie lang sind die Seiten eines ähnlichen Dreiecks A ′ B ′ C ′ , in dem die größte Seite um
138mm kleiner ist als die Summe der Längen der beiden anderen Seiten?
Lösung: Der Ansatz c ′ = k·c; b ′ = k·b; a ′ = k·a liefert k = 3,
also c ′ = 429mm; b ′ = 333mm; a ′ = 234mm.
9. In dem größerenvon zwei ähnlichen Dreiecken sind die Seiten 10cm, 14cm und 18cm
länger als die entsprechenden Seiten des kleineren Dreiecks. Die beiden entsprechenden
Höhen h a und h ′ a verhalten sich wie 5 : 3.
Berechne die Seitenlängen der beiden Dreiecke.
Lösung: a ′ = 21cm; b ′ = 27cm; c ′ = 15cm; a = 35cm; b = 45cm; c = 25cm
10. Die Flächeninhalte zweier ähnlicher Vierecke verhalten sich wie 64 : 25, ihre Umfänge
unterscheiden sich um 12cm. Berechne die Umfänge der beiden Vierecke.
Lösung: 20cm und 32cm
11. Im Dreieck ABC schneidet die Winkelhalbierende w γ die Seite [AB] im Punkt D. Es
sei AC = b = 4cm, BC = a = 8cm. Der Flächeninhalt A 1 des Teildreiecks ADC
beträgt A 1 = 5cm 2 . Berechne den Flächeninhalt A 2 des Teildreiecks BCD.
Lösung: A 2 = 10cm 2 .
12. Das Rechteck ABCD hat die Seitenlängen
AB = 6cm und BC = 7cm, ferner ist BE =
4cm. EFGH ist ein Rechteck.
D
F
C
(a) Begründe, daß die vier eingezeichneten
Teildreiecke ähnlich sind.
G
E
(b) Berechne dieLängenderAbschnitte, in
welche die Seiten [CD] und [DA] durch
die Punkte F und G zerlegt werden.
.
H
A
B
Lösung: (a) Sie stimmen jeweils in den Winkeln überein. (b) CF = 2cm (c) DG = 8 3 cm
13. Im Dreieck ABC gilt γ = 2α.
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