SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...
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4.2 Ähnlichkeit von Dreiecken 5. Das Quadrat ABCD hat die Seitenlänge a. Die Gerade BF schneidet die Gerade DC im Punkt E (Skizze). E D . . C (a) Begründe ∆ABF ∼ ∆EBC. (b) BerechnedieStreckenlängeCE inAbhängigkeit von a wenn a = 1,5AF Lösung: (a) Die Dreiecke stimmen in den Winkeln überein (rechte Winkel, Z-Winkel). (b) CE = 3 2 a F A a B 6. ImgleichseitigenDreieckABC mitderSeitenlänge b wird vom Höhenfußpunkt F aus das Lot auf die Seite [AC] gefällt (s. Skizze). (a) Gib alle ähnlichen Dreiecke an, die in nebenstehender Figur auftreten (mit kurzer Begründung)! (b) Berechne allgemein, jeweils ausgedrückt durch die Seitenlänge b, die Streckenlängen AP, CP und h = CF! . P . . . A C h F . b B Lösung: (a): △AFC ∼ △FBC ∼ △AFP ∼ △PFC; (Übereinstimmung in allen Winkeln) (b): AP = b 4 , CP = 3 4 b, h = b 2√ 3 7. In einem Rechteck ABCD werden von zwei gegenüberliegenden Ecken die Lote auf eine Diagonale gefällt. Berechne die Längen x = EF und y = BF, wenn für die Seitenlängen a = 24 und b = 7 gilt. D . E F . . C b A a B Lösung: x = 527 25 und y = 168 25 122
4.2 Ähnlichkeit von Dreiecken 8. In einem Dreieck ABC ist a = 78mm; b = 111mm; c = 143mm. Wie lang sind die Seiten eines ähnlichen Dreiecks A ′ B ′ C ′ , in dem die größte Seite um 138mm kleiner ist als die Summe der Längen der beiden anderen Seiten? Lösung: Der Ansatz c ′ = k·c; b ′ = k·b; a ′ = k·a liefert k = 3, also c ′ = 429mm; b ′ = 333mm; a ′ = 234mm. 9. In dem größerenvon zwei ähnlichen Dreiecken sind die Seiten 10cm, 14cm und 18cm länger als die entsprechenden Seiten des kleineren Dreiecks. Die beiden entsprechenden Höhen h a und h ′ a verhalten sich wie 5 : 3. Berechne die Seitenlängen der beiden Dreiecke. Lösung: a ′ = 21cm; b ′ = 27cm; c ′ = 15cm; a = 35cm; b = 45cm; c = 25cm 10. Die Flächeninhalte zweier ähnlicher Vierecke verhalten sich wie 64 : 25, ihre Umfänge unterscheiden sich um 12cm. Berechne die Umfänge der beiden Vierecke. Lösung: 20cm und 32cm 11. Im Dreieck ABC schneidet die Winkelhalbierende w γ die Seite [AB] im Punkt D. Es sei AC = b = 4cm, BC = a = 8cm. Der Flächeninhalt A 1 des Teildreiecks ADC beträgt A 1 = 5cm 2 . Berechne den Flächeninhalt A 2 des Teildreiecks BCD. Lösung: A 2 = 10cm 2 . 12. Das Rechteck ABCD hat die Seitenlängen AB = 6cm und BC = 7cm, ferner ist BE = 4cm. EFGH ist ein Rechteck. D F C (a) Begründe, daß die vier eingezeichneten Teildreiecke ähnlich sind. G E (b) Berechne dieLängenderAbschnitte, in welche die Seiten [CD] und [DA] durch die Punkte F und G zerlegt werden. . H A B Lösung: (a) Sie stimmen jeweils in den Winkeln überein. (b) CF = 2cm (c) DG = 8 3 cm 13. Im Dreieck ABC gilt γ = 2α. 123
- Seite 71 und 72: 2.2 Laplacewahrscheinlichkeiten (b)
- Seite 73 und 74: 2.3 Abgrenzung des Begriffs ’Lapl
- Seite 75 und 76: 3.2 Bruchterme Lösung: 51y 4 −20
- Seite 77 und 78: 3.2 Bruchterme Lösung: 1 3(4y−3x
- Seite 79 und 80: 3.2 Bruchterme Lösung: 6b+5a 2(6b
- Seite 81 und 82: 3.3 Bruchgleichungen Lösung: (a) 5
- Seite 83 und 84: 3.3 Bruchgleichungen Lösung: 20 Mi
- Seite 85 und 86: 3.4 Potenzen mit ganzzahligen Expon
- Seite 87 und 88: 4.1 Strahlensätze Sonstige Konstru
- Seite 89 und 90: 4.1 Strahlensätze Lösung: 5. In e
- Seite 91 und 92: 4.1 Strahlensätze Lösung: h 2 = 2
- Seite 93 und 94: 4.1 Strahlensätze Lösung: e l = s
- Seite 95 und 96: 4.1 Strahlensätze Die obigen Bilde
- Seite 97 und 98: 4.1 Strahlensätze 97
- Seite 99 und 100: 4.1 Strahlensätze Quelle: Schroede
- Seite 101 und 102: 4.1 Strahlensätze Lösung: (a) 18m
- Seite 103 und 104: 4.1 Strahlensätze Lösung: (a) x =
- Seite 105 und 106: 4.1 Strahlensätze 25. In der folge
- Seite 107 und 108: 4.1 Strahlensätze 29. In der neben
- Seite 109 und 110: 4.1 Strahlensätze (b) Alle Angaben
- Seite 111 und 112: 4.1 Strahlensätze Lösung: 2. In e
- Seite 113 und 114: 4.1 Strahlensätze (a) Erstelle zun
- Seite 115 und 116: 4.1 Strahlensätze G: Gegenstandsgr
- Seite 117 und 118: 4.2 Ähnlichkeit von Dreiecken (a)
- Seite 119 und 120: 4.2 Ähnlichkeit von Dreiecken Lös
- Seite 121: 4.2 Ähnlichkeit von Dreiecken Lös
- Seite 125 und 126: 4.2 Ähnlichkeit von Dreiecken Lös
- Seite 127 und 128: 4.2 Ähnlichkeit von Dreiecken (b)
- Seite 129 und 130: 5.1 Ungleichungen Lösung: L =]−2
- Seite 131 und 132: 5.1 Ungleichungen 11. Gib die Defin
- Seite 133 und 134: 5.1 Ungleichungen Lösung: ]−3,5;
- Seite 135 und 136: 5.3 Vierecke 5.3 Vierecke 5.3.1 Pun
- Seite 137 und 138: 5.3.4 Beweise 1. Betrachte folgende
- Seite 139 und 140: 5.3 Vierecke Lösung: Lösung: 10.
- Seite 141 und 142: 5.3 Vierecke Lösung: Lösung: 18.
- Seite 143 und 144: 5.4 Kreise und Geraden Lösung: Er
- Seite 145 und 146: 5.4 Kreise und Geraden k K ........
- Seite 147 und 148: 5.4 Kreise und Geraden Lösung: 15.
- Seite 149 und 150: 5.4 Kreise und Geraden Lösung: 12.
- Seite 151 und 152: 5.4 Kreise und Geraden 19. In neben
- Seite 153 und 154: 5.4 Kreise und Geraden Wegen der ve
- Seite 155 und 156: 5.5 Flächenmessung Lösung: AC ′
4.2 Ähnlichkeit von Dreiecken<br />
8. In einem Dreieck ABC ist a = 78mm; b = 111mm; c = 143mm.<br />
Wie lang sind die Seiten eines ähnlichen Dreiecks A ′ B ′ C ′ , in dem die größte Seite um<br />
138mm kleiner ist <strong>als</strong> die Summe der Längen der beiden anderen Seiten?<br />
Lösung: Der Ansatz c ′ = k·c; b ′ = k·b; a ′ = k·a liefert k = 3,<br />
<strong>als</strong>o c ′ = 429mm; b ′ = 333mm; a ′ = 234mm.<br />
9. In dem größerenvon zwei ähnlichen Dreiecken sind die Seiten 10cm, 14cm und 18cm<br />
länger <strong>als</strong> die entsprechenden Seiten des kleineren Dreiecks. Die beiden entsprechenden<br />
Höhen h a und h ′ a verhalten sich wie 5 : 3.<br />
Berechne die Seitenlängen der beiden Dreiecke.<br />
Lösung: a ′ = 21cm; b ′ = 27cm; c ′ = 15cm; a = 35cm; b = 45cm; c = 25cm<br />
10. Die Flächeninhalte zweier ähnlicher Vierecke verhalten sich wie 64 : 25, ihre Umfänge<br />
unterscheiden sich um 12cm. Berechne die Umfänge der beiden Vierecke.<br />
Lösung: 20cm und 32cm<br />
11. Im Dreieck ABC schneidet die Winkelhalbierende w γ die Seite [AB] im Punkt D. Es<br />
sei AC = b = 4cm, BC = a = 8cm. Der Flächeninhalt A 1 des Teildreiecks ADC<br />
beträgt A 1 = 5cm 2 . Berechne den Flächeninhalt A 2 des Teildreiecks BCD.<br />
Lösung: A 2 = 10cm 2 .<br />
12. Das Rechteck ABCD hat die Seitenlängen<br />
AB = 6cm und BC = 7cm, ferner ist BE =<br />
4cm. EFGH ist ein Rechteck.<br />
D<br />
F<br />
C<br />
(a) Begründe, daß die vier eingezeichneten<br />
Teildreiecke ähnlich sind.<br />
G<br />
E<br />
(b) Berechne dieLängenderAbschnitte, in<br />
welche die Seiten [CD] und [DA] durch<br />
die Punkte F und G zerlegt werden.<br />
.<br />
H<br />
A<br />
B<br />
Lösung: (a) Sie stimmen jeweils in den Winkeln überein. (b) CF = 2cm (c) DG = 8 3 cm<br />
13. Im Dreieck ABC gilt γ = 2α.<br />
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