SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

4.2 Ähnlichkeit von Dreiecken
5. Das Quadrat ABCD hat die Seitenlänge a. Die
Gerade BF schneidet die Gerade DC im Punkt E
(Skizze).
E
D
.
.
C
(a) Begründe ∆ABF ∼ ∆EBC.
(b) BerechnedieStreckenlängeCE inAbhängigkeit
von a wenn a = 1,5AF
Lösung: (a) Die Dreiecke stimmen in den Winkeln überein (rechte Winkel, Z-Winkel).
(b) CE = 3 2 a
F
A
a
B
6. ImgleichseitigenDreieckABC mitderSeitenlänge
b wird vom Höhenfußpunkt F aus das Lot auf die
Seite [AC] gefällt (s. Skizze).
(a) Gib alle ähnlichen Dreiecke an, die in nebenstehender
Figur auftreten (mit kurzer Begründung)!
(b) Berechne allgemein, jeweils ausgedrückt
durch die Seitenlänge b, die Streckenlängen
AP, CP und h = CF!
.
P
.
.
.
A
C
h
F
.
b
B
Lösung: (a): △AFC ∼ △FBC ∼ △AFP ∼ △PFC;
(Übereinstimmung in allen Winkeln)
(b): AP = b 4 , CP = 3 4 b, h = b 2√
3
7. In einem Rechteck ABCD werden von zwei gegenüberliegenden
Ecken die Lote auf eine Diagonale
gefällt. Berechne die Längen x = EF und
y = BF, wenn für die Seitenlängen a = 24 und
b = 7 gilt.
D
.
E
F
.
.
C
b
A
a
B
Lösung: x = 527
25
und y =
168
25
122