SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...
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4.1 Strahlensätze 4. (a) Eine Kreisscheibe mit 8cm Durchmesser bedeckt genau den Vollmond, wenn sie 8m84cm7mm vom Auge entfernt ist. Zur gleichen Zeit wird die Entfernung Erde-Mond mit einem Radarstrahl zu 384400km bestimmt. Berechne den Durchmesser des Mondes! (b) Bei einer totalen Sonnenfinsternis bedeckt der Mond genau die Sonne, die zu dieser Zeit 149600000km von der Erde entfernt ist. Welchen Durchmesser hat die Sonne, wenn die Entfernung Erde-Mond zum Zeitpunkt der Sonnenfinsternis 373600km beträgt? Lösung: (a) 3476km (b) 1392000km Strahlenoptik 1. Das Objektiv einer Lochkamera ist nur eine kleine, kreisförmige Öffnung mit dem Durchmesser d. Ein leuchtender Punkt (z.B. A) im Abstand a von der KameraerzeugtaufdemFilmeinen ” unscharfen Punkt“, d. h. einen Kreis mit dem Durchmesser x. A G B ✻ . . ✛ a . d ✙ ✲✛ b ✛. . . . . . . Film g ✻ ❄❄. x . ✲ ✻ Lösung: (a) x = d· (a) Berechne x aus a, b und d! (b) Wie groß darf d höchstens sein, damit x für a = 1m und b = 5cm kleiner als 0,1mm ist? (c) Wie berechnet sich die Bildgröße g aus der Gegenstandsgröße G? (d) Wie weit muß die Kamera mindestens voneinem 40mhohen Kirchturm entfernt sein, damit die Bildgröße des Turmes mit der Brennweite“ b = 80mm die ” Filmgröße 36mm nicht überschreitet? (d) a > 88 8 9 m ( 1+ b a ) (b) d < 0,0952mm (c) g = G· b a 2. Bekanntlich läßtsich mit Hilfeeiner Sammellinse voneinem leuchtenden Gegenstand, dersichineinerEntfernungvorderLinsebefindet,welchegrößeralsderenBrennweite ist, ein auf einem Schirm auffangbares Bild erzeugen. (a) Erstelle zunächst eine saubere Zeichnung, welche die Entstehung des Bildes mit Hilfe des Lichstrahlenmodells verdeutlicht! Verwende dazu den Mittelpunktstrahl, den zur optischen Achse parallelen Strahl und den Brennpunktstrahl! Ferner sind folgende Bezeichnungen in der Zeichnung zu verwenden: 114
4.1 Strahlensätze G: Gegenstandsgröße, B: Bildgröße g: Gegenstandsweite, b: Bildweite (jeweils zum Linsenmittelpunkt gemessen) f: Linsenbrennweite (b) Zeige mit Hilfe des Strahlensatzes die Gültigkeit der Beziehung G B = g b ! Lösung: (c) Zeige ebenfalls mit Hilfe des Strahlensatzes (V-Figur verwenden!) die Gültigkeit 1 der sogenannten Linsengleichung f = 1 g + 1 b ! Sonstiges 1. Ein Maibaum wirft im ebenen Gelände bei einem bestimmten Sonnenstand einen Schat- . ten von 9,0m. Hans (Körpergröße 1,76m) stellt sich so auf, daß seine Schattengrenze mit der des Maibaumsübereinstimmt. Eristdann8,5mvom h Maibaum entfernt. Wie hoch ist der Maibaum? . Lösung: h = 31,68m ❤ . . . 1,76m . . . ←−−−− 8,5m −−−−→ ←−−−−−−− 9,0m −−−−−−−→ 2. Eine 6m hohe Mauer wirft einen 7,2m langen Schatten. Wie groß ist ein Mann, der sich gerade noch ganz im Schatten befindet, wenn er 5,1m vor der Mauer steht? (Skizze!) Lösung: 1,75m 3. Ein Wanderer erblickt zwei Bergspitzen S und T. Er hält sich einen Bleistift so vor ein Auge (das andere Auge ist geschlossen), daß der Bleistift parallel zu ST liegt und die Bleistiftspitze A mit der Bergspitze S und das Bleistiftende B mit der Bergspitze T jeweils in einer Blickrichtung liegt. Lösung: 50km Wie weit ist der Wanderer vom Berg S entfernt, wenn die Entfernung der Bergspitzen ST = 25km, die Länge des Bleistifts AB = 20cm und die Entfernung der Bleistiftspitze A vom Auge 40cm beträgt. (Überlegungsskizze mit Entfernungsangaben!) 115
- Seite 63 und 64: 2.1 Ergebnis, Ergebnisraum, Ereigni
- Seite 65 und 66: 2.2 Laplacewahrscheinlichkeiten (b)
- Seite 67 und 68: 2.2 Laplacewahrscheinlichkeiten E 2
- Seite 69 und 70: 2.2 Laplacewahrscheinlichkeiten Lö
- Seite 71 und 72: 2.2 Laplacewahrscheinlichkeiten (b)
- Seite 73 und 74: 2.3 Abgrenzung des Begriffs ’Lapl
- Seite 75 und 76: 3.2 Bruchterme Lösung: 51y 4 −20
- Seite 77 und 78: 3.2 Bruchterme Lösung: 1 3(4y−3x
- Seite 79 und 80: 3.2 Bruchterme Lösung: 6b+5a 2(6b
- Seite 81 und 82: 3.3 Bruchgleichungen Lösung: (a) 5
- Seite 83 und 84: 3.3 Bruchgleichungen Lösung: 20 Mi
- Seite 85 und 86: 3.4 Potenzen mit ganzzahligen Expon
- Seite 87 und 88: 4.1 Strahlensätze Sonstige Konstru
- Seite 89 und 90: 4.1 Strahlensätze Lösung: 5. In e
- Seite 91 und 92: 4.1 Strahlensätze Lösung: h 2 = 2
- Seite 93 und 94: 4.1 Strahlensätze Lösung: e l = s
- Seite 95 und 96: 4.1 Strahlensätze Die obigen Bilde
- Seite 97 und 98: 4.1 Strahlensätze 97
- Seite 99 und 100: 4.1 Strahlensätze Quelle: Schroede
- Seite 101 und 102: 4.1 Strahlensätze Lösung: (a) 18m
- Seite 103 und 104: 4.1 Strahlensätze Lösung: (a) x =
- Seite 105 und 106: 4.1 Strahlensätze 25. In der folge
- Seite 107 und 108: 4.1 Strahlensätze 29. In der neben
- Seite 109 und 110: 4.1 Strahlensätze (b) Alle Angaben
- Seite 111 und 112: 4.1 Strahlensätze Lösung: 2. In e
- Seite 113: 4.1 Strahlensätze (a) Erstelle zun
- Seite 117 und 118: 4.2 Ähnlichkeit von Dreiecken (a)
- Seite 119 und 120: 4.2 Ähnlichkeit von Dreiecken Lös
- Seite 121 und 122: 4.2 Ähnlichkeit von Dreiecken Lös
- Seite 123 und 124: 4.2 Ähnlichkeit von Dreiecken 8. I
- Seite 125 und 126: 4.2 Ähnlichkeit von Dreiecken Lös
- Seite 127 und 128: 4.2 Ähnlichkeit von Dreiecken (b)
- Seite 129 und 130: 5.1 Ungleichungen Lösung: L =]−2
- Seite 131 und 132: 5.1 Ungleichungen 11. Gib die Defin
- Seite 133 und 134: 5.1 Ungleichungen Lösung: ]−3,5;
- Seite 135 und 136: 5.3 Vierecke 5.3 Vierecke 5.3.1 Pun
- Seite 137 und 138: 5.3.4 Beweise 1. Betrachte folgende
- Seite 139 und 140: 5.3 Vierecke Lösung: Lösung: 10.
- Seite 141 und 142: 5.3 Vierecke Lösung: Lösung: 18.
- Seite 143 und 144: 5.4 Kreise und Geraden Lösung: Er
- Seite 145 und 146: 5.4 Kreise und Geraden k K ........
- Seite 147 und 148: 5.4 Kreise und Geraden Lösung: 15.
- Seite 149 und 150: 5.4 Kreise und Geraden Lösung: 12.
- Seite 151 und 152: 5.4 Kreise und Geraden 19. In neben
- Seite 153 und 154: 5.4 Kreise und Geraden Wegen der ve
- Seite 155 und 156: 5.5 Flächenmessung Lösung: AC ′
4.1 Strahlensätze<br />
G: Gegenstandsgröße, B: Bildgröße<br />
g: Gegenstandsweite, b: Bildweite (jeweils zum Linsen<strong>mit</strong>telpunkt gemessen)<br />
f: Linsenbrennweite<br />
(b) Zeige <strong>mit</strong> Hilfe des Strahlensatzes die Gültigkeit der Beziehung G B = g b !<br />
Lösung:<br />
(c) Zeige ebenfalls <strong>mit</strong> Hilfe des Strahlensatzes (V-Figur verwenden!) die Gültigkeit<br />
1<br />
der sogenannten Linsengleichung<br />
f = 1 g + 1 b !<br />
Sonstiges<br />
1. Ein Maibaum wirft im ebenen Gelände bei<br />
einem bestimmten Sonnenstand einen Schat-<br />
.<br />
ten von 9,0m.<br />
Hans (Körpergröße 1,76m) stellt sich so auf,<br />
daß seine Schattengrenze <strong>mit</strong> der des Maibaumsübereinstimmt.<br />
Eristdann8,5mvom<br />
h<br />
Maibaum entfernt. Wie hoch ist der Maibaum?<br />
.<br />
Lösung: h = 31,68m<br />
❤<br />
. . .<br />
1,76m<br />
. .<br />
.<br />
←−−−− 8,5m −−−−→<br />
←−−−−−−− 9,0m −−−−−−−→<br />
2. Eine 6m hohe Mauer wirft einen 7,2m langen Schatten. Wie groß ist ein Mann, der<br />
sich gerade noch ganz im Schatten befindet, wenn er 5,1m vor der Mauer steht?<br />
(Skizze!)<br />
Lösung: 1,75m<br />
3. Ein Wanderer erblickt zwei Bergspitzen S und T.<br />
Er hält sich einen Bleistift so vor ein Auge (das andere Auge ist geschlossen), daß<br />
der Bleistift parallel zu ST liegt und die Bleistiftspitze A <strong>mit</strong> der Bergspitze S und<br />
das Bleistiftende B <strong>mit</strong> der Bergspitze T jeweils in einer Blickrichtung liegt.<br />
Lösung: 50km<br />
Wie weit ist der Wanderer vom Berg S entfernt, wenn die Entfernung der Bergspitzen<br />
ST = 25km, die Länge des Bleistifts AB = 20cm und die Entfernung der Bleistiftspitze<br />
A vom Auge 40cm beträgt.<br />
(Überlegungsskizze <strong>mit</strong> Entfernungsangaben!)<br />
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