Differentialgleichungen (PDF)

(Das Gleichungssystem für die unbekannten Ansatzkoeffizienten liegt bereits in Zeilenstufenform
vor. So kann man die Lösung direkt durch Rücksubstitution bestimmen)
y p x ⩵ 1 1 x
x x 3
25 10
Dgln.nb | 9
3. Allgemeine Lösung
yx ⩵ y h x y p x ⩵ C 1 3 x C 2 2 x 1 1 x
x x 3
25 10
• y '' 4 y ' 4 y ⩵ 1 x 2 x
1. homogene Dgl.
charakteristische Polynom: ΧΛ ⩵ Λ 2 Λ 4 ⩵ 0 Λ 1 ⩵ 2 Λ 2 ⩵ 2
y h x ⩵ C 1 2 x C 2 x 2 x
2. inhomogene Dgl.
p 1 x ⩵ 1 x , Α ⩵ 2 ist zweifache Nullstelle von ΧΛ (Α ⩵ 2 hat Vielfachheit k ⩵ 2:
Ansatz: y p x ⩵ x 2 C 1 x C 0 2 x
y p ' x ⩵ 2 2 x x C 0 2 2 x x 2 C 0 3 2 x x 2 C 1 2 2 x x 3 C 1
y p '' x ⩵ 2 2 x C 0 8 2 x x C 0 4 2 x x 2 C 0 6 2 x x C 1 12 2 x x 2 C 1 4 2 x x 3 C 1
Einsetzen in die Dgl. liefert
2 2 x C 0 6 2 x x C 1 2 x 2 x x
Koeffizientenvergleich
Koeffizient von 2 x : 2 C 0 ⩵ 1 C 0 ⩵ 1 2
Koeffizient von x 2 x : 6 C 1 ⩵ 1 C 1 ⩵ 1 6
(Das Gleichungssystem für die unbekannten Ansatzkoeffizienten liegt bereits in Zeilenstufenform
vor. So kann man die Lösung direkt durch Rücksubstitution bestimmen)
y p x ⩵ 1 2 1 6 x x 2 2 x
3. Allgemeine Lösung
yx ⩵ y h x y p x ⩵ C 1 2 x C 2 x 2 x 1 2 1 6 x x 2 2 x
• y '' 4 y ' 13 y ⩵ cos3 x
1. homogene Dgl.
charakteristische Polynom: ΧΛ ⩵ Λ 2 4 Λ 13 y ⩵ 0 Λ 1 ⩵ 2 3 Λ 2 ⩵ 2 3
y h x ⩵ C 1 2 x cos3 x C 2 2 x sin3 x
2. inhomogene Dgl.
Β ⩵ 3 und Β ⩵ 3 ist kein Paar konjugiert komplexer Nullstellen von ΧΛ
(Paar Β ⩵ 3 und Β ⩵ 3 hat Vielfachheit k ⩵ 0:
Ansatz: y p x ⩵ A cos3 x B sin3 x
y p ' x ⩵
3 B cos3 x 3 A sin3 x
y p '' x ⩵ 9 A cos3 x 9 B sin3 x
Einsetzen in die Dgl. liefert
4 A cos3 x 12 B cos3 x 12 A sin3 x 4 B sin3 x cos3 x
Koeffizientenvergleich
Koeffizient von cos3 x: 4 A 12 B ⩵ 1
Koeffizient von sin(3 x): 12 A 4 B ⩵ 0
B ⩵ 3 40
A ⩵ 1 40
y p x ⩵ 1 cos3 x 3 sin3 x
40 40
3. Allgemeine Lösung
yx ⩵ y h x y p x ⩵ C 1 2 x cos3 x C 2 2 x sin3 x 1 cos3 x 3 sin3 x
40 40