Differentialgleichungen (PDF)
Differentialgleichungen (PDF) Differentialgleichungen (PDF)
8 | Mathematik 2 für Fb B SS2012 • y '' y ' 6 y ⩵ x 2 2 x 1. homogene Dgl. charakteristische Polynom: ΧΛ ⩵ Λ 2 Λ 6 ⩵ 0 Λ 1 ⩵ 3 Λ 2 ⩵ 2 y h x ⩵ C 1 3 x C 2 2 x 2. inhomogene Dgl. p 2 x ⩵ x 2 , Α ⩵ 2 ist keine Nullstelle von ΧΛ (Α ⩵ 2 hat Vielfachheit k ⩵ 0: Ansatz: y p x ⩵ C 2 x 2 C 1 x C 0 2 x y p ' x ⩵ 2 x C 1 2 x C 2 2 2 x C 0 x C 1 x 2 C 2 y p '' x ⩵ 2 2 x C 2 4 2 x C 1 2 x C 2 4 2 x C 0 x C 1 x 2 C 2 Einsetzen in die Dgl. liefert 4 2 x C 0 3 2 x C 1 4 2 x x C 1 2 2 x C 2 6 2 x x C 2 4 2 x x 2 C 2 ⩵ x 2 2 x Koeffizientenvergleich Koeffizient von 2 x : 4 C 0 3 C 1 2 C 2 ⩵ 0 C 0 ⩵ 13 32 Koeffizient von x 2 x : 4 C 1 6 C 2 ⩵ 0 ↖ C 1 ⩵ 3 8 Koeffizient von x 2 2 x : 4 C 2 ⩵ 1 ↖ C 2 ⩵ 1 4 (Das Gleichungssystem für die unbekannten Ansatzkoeffizienten liegt bereits in Zeilenstufenform vor. So kann man die Lösung direkt durch Rücksubstitution bestimmen) y p x ⩵ 13 32 3 8 x 1 4 x2 2 x 3. Allgemeine Lösung yx ⩵ y h x y p x ⩵ C 1 3 x C 2 2 x 13 32 3 8 x 1 4 x2 2 x • y '' y ' 6 y ⩵ x 3 x 1. homogene Dgl. charakteristische Polynom: ΧΛ ⩵ Λ 2 Λ 6 ⩵ 0 Λ 1 ⩵ 3 Λ 2 ⩵ 2 y h x ⩵ C 1 3 x C 2 2 x 2. inhomogene Dgl. p 1 x ⩵ x , Α ⩵ 3 ist einfache Nullstelle von ΧΛ (Α ⩵ 3 hat Vielfachheit k ⩵ 1: Ansatz: y p x ⩵ x 1 C 1 x C 0 3 x y p ' x ⩵ 3 x C 0 3 3 x x C 0 2 3 x x C 1 3 3 x x 2 C 1 y p '' x ⩵ 6 3 x C 0 9 3 x x C 0 2 3 x C 1 12 3 x x C 1 9 3 x x 2 C 1 Einsetzen in die Dgl. liefert 5 3 x C 0 2 3 x C 1 10 3 x x C 1 3 x x Koeffizientenvergleich Koeffizient von 3 x : 5 C 0 2 C 1 ⩵ 0 C 0 ⩵ 1 25 Koeffizient von x 2 x : 10 C 1 ⩵ 1 ↖ C 1 ⩵ 1 10 (Das Gleichungssystem für die unbekannten Ansatzkoeffizienten liegt bereits in Zeilenstufenform vor. So kann man die Lösung direkt durch Rücksubstitution bestimmen) y p x ⩵ 1 1 x x x 3 25 10 3. Allgemeine Lösung yx ⩵ y h x y p x ⩵ C 1 3 x C 2 2 x 1 1 x x x 3 25 10 h_da Fb MN Dolejsky
(Das Gleichungssystem für die unbekannten Ansatzkoeffizienten liegt bereits in Zeilenstufenform vor. So kann man die Lösung direkt durch Rücksubstitution bestimmen) y p x ⩵ 1 1 x x x 3 25 10 Dgln.nb | 9 3. Allgemeine Lösung yx ⩵ y h x y p x ⩵ C 1 3 x C 2 2 x 1 1 x x x 3 25 10 • y '' 4 y ' 4 y ⩵ 1 x 2 x 1. homogene Dgl. charakteristische Polynom: ΧΛ ⩵ Λ 2 Λ 4 ⩵ 0 Λ 1 ⩵ 2 Λ 2 ⩵ 2 y h x ⩵ C 1 2 x C 2 x 2 x 2. inhomogene Dgl. p 1 x ⩵ 1 x , Α ⩵ 2 ist zweifache Nullstelle von ΧΛ (Α ⩵ 2 hat Vielfachheit k ⩵ 2: Ansatz: y p x ⩵ x 2 C 1 x C 0 2 x y p ' x ⩵ 2 2 x x C 0 2 2 x x 2 C 0 3 2 x x 2 C 1 2 2 x x 3 C 1 y p '' x ⩵ 2 2 x C 0 8 2 x x C 0 4 2 x x 2 C 0 6 2 x x C 1 12 2 x x 2 C 1 4 2 x x 3 C 1 Einsetzen in die Dgl. liefert 2 2 x C 0 6 2 x x C 1 2 x 2 x x Koeffizientenvergleich Koeffizient von 2 x : 2 C 0 ⩵ 1 C 0 ⩵ 1 2 Koeffizient von x 2 x : 6 C 1 ⩵ 1 C 1 ⩵ 1 6 (Das Gleichungssystem für die unbekannten Ansatzkoeffizienten liegt bereits in Zeilenstufenform vor. So kann man die Lösung direkt durch Rücksubstitution bestimmen) y p x ⩵ 1 2 1 6 x x 2 2 x 3. Allgemeine Lösung yx ⩵ y h x y p x ⩵ C 1 2 x C 2 x 2 x 1 2 1 6 x x 2 2 x • y '' 4 y ' 13 y ⩵ cos3 x 1. homogene Dgl. charakteristische Polynom: ΧΛ ⩵ Λ 2 4 Λ 13 y ⩵ 0 Λ 1 ⩵ 2 3 Λ 2 ⩵ 2 3 y h x ⩵ C 1 2 x cos3 x C 2 2 x sin3 x 2. inhomogene Dgl. Β ⩵ 3 und Β ⩵ 3 ist kein Paar konjugiert komplexer Nullstellen von ΧΛ (Paar Β ⩵ 3 und Β ⩵ 3 hat Vielfachheit k ⩵ 0: Ansatz: y p x ⩵ A cos3 x B sin3 x y p ' x ⩵ 3 B cos3 x 3 A sin3 x y p '' x ⩵ 9 A cos3 x 9 B sin3 x Einsetzen in die Dgl. liefert 4 A cos3 x 12 B cos3 x 12 A sin3 x 4 B sin3 x cos3 x Koeffizientenvergleich Koeffizient von cos3 x: 4 A 12 B ⩵ 1 Koeffizient von sin(3 x): 12 A 4 B ⩵ 0 B ⩵ 3 40 A ⩵ 1 40 y p x ⩵ 1 cos3 x 3 sin3 x 40 40 3. Allgemeine Lösung yx ⩵ y h x y p x ⩵ C 1 2 x cos3 x C 2 2 x sin3 x 1 cos3 x 3 sin3 x 40 40
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- Seite 11 und 12: y h x ⩵ C 1 2 x cos3 x C 2 2 x
8 | Mathematik 2 für Fb B SS2012<br />
• y '' y ' 6 y ⩵ x 2 2 x<br />
1. homogene Dgl.<br />
charakteristische Polynom: ΧΛ ⩵ Λ 2 Λ 6 ⩵ 0 Λ 1 ⩵ 3 Λ 2 ⩵ 2<br />
y h x ⩵ C 1 3 x C 2 2 x<br />
2. inhomogene Dgl.<br />
p 2 x ⩵ x 2 , Α ⩵ 2 ist keine Nullstelle von ΧΛ (Α ⩵ 2 hat Vielfachheit k ⩵ 0:<br />
Ansatz: y p x ⩵ C 2 x 2 C 1 x C 0 2 x<br />
y p ' x ⩵ 2 x C 1 2 x C 2 2 2 x C 0 x C 1 x 2 C 2 <br />
y p '' x ⩵ 2 2 x C 2 4 2 x C 1 2 x C 2 4 2 x C 0 x C 1 x 2 C 2 <br />
Einsetzen in die Dgl. liefert<br />
4 2 x C 0 3 2 x C 1 4 2 x x C 1 2 2 x C 2 6 2 x x C 2 4 2 x x 2 C 2 ⩵ x 2 2 x<br />
Koeffizientenvergleich<br />
Koeffizient von 2 x : 4 C 0 3 C 1 2 C 2 ⩵ 0 C 0 ⩵ 13<br />
32<br />
Koeffizient von x 2 x : 4 C 1 6 C 2 ⩵ 0 ↖ C 1 ⩵ 3 8<br />
Koeffizient von x 2 2 x : 4 C 2 ⩵ 1 ↖ C 2 ⩵ 1 4<br />
(Das Gleichungssystem für die unbekannten Ansatzkoeffizienten liegt bereits in Zeilenstufenform<br />
vor. So kann man die Lösung direkt durch Rücksubstitution bestimmen)<br />
y p x ⩵ 13<br />
32 3 8 x 1 4 x2 2 x<br />
3. Allgemeine Lösung<br />
yx ⩵ y h x y p x ⩵ C 1 3 x C 2 2 x 13<br />
32 3 8 x 1 4 x2 2 x<br />
• y '' y ' 6 y ⩵ x 3 x<br />
1. homogene Dgl.<br />
charakteristische Polynom: ΧΛ ⩵ Λ 2 Λ 6 ⩵ 0 Λ 1 ⩵ 3 Λ 2 ⩵ 2<br />
y h x ⩵ C 1 3 x C 2 2 x<br />
2. inhomogene Dgl.<br />
p 1 x ⩵ x , Α ⩵ 3 ist einfache Nullstelle von ΧΛ (Α ⩵ 3 hat Vielfachheit k ⩵ 1:<br />
Ansatz: y p x ⩵ x 1 C 1 x C 0 3 x<br />
y p ' x ⩵ 3 x C 0 3 3 x x C 0 2 3 x x C 1 3 3 x x 2 C 1<br />
y p '' x ⩵ 6 3 x C 0 9 3 x x C 0 2 3 x C 1 12 3 x x C 1 9 3 x x 2 C 1<br />
Einsetzen in die Dgl. liefert<br />
5 3 x C 0 2 3 x C 1 10 3 x x C 1 3 x x<br />
Koeffizientenvergleich<br />
Koeffizient von 3 x : 5 C 0 2 C 1 ⩵ 0 C 0 ⩵ 1 25<br />
Koeffizient von x 2 x : 10 C 1 ⩵ 1 ↖ C 1 ⩵ 1 10<br />
(Das Gleichungssystem für die unbekannten Ansatzkoeffizienten liegt bereits in Zeilenstufenform<br />
vor. So kann man die Lösung direkt durch Rücksubstitution bestimmen)<br />
y p x ⩵ 1 1 x<br />
x x 3<br />
25 10<br />
3. Allgemeine Lösung<br />
yx ⩵ y h x y p x ⩵ C 1 3 x C 2 2 x 1 1 x<br />
x x 3<br />
25 10<br />
h_da Fb MN Dolejsky
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