Differentialgleichungen (PDF)

6 | Mathematik 2 für Fb B SS2012
Lösungsschema für die Dgl. a 2 y '' x a 1 y ' x a 0 yx ⩵ 0 bzw. y '' x a 1 y ' x a 0 yx ⩵ 0
1. Charakteristische Gleichung ΧΛ ⩵ a 2 Λ 2 a 1 Λ a 0 (bzw. ΧΛ ⩵ Λ 2 a 1 Λ a 0 ) aufstellen und
Nullstellen bestimmen
Λ 1,2 ⩵ a 1
2 a 2
± 1 2
a 1
a 2
2 4 a 0
a 2
(bzw. Λ 1,2 ⩵ a 1
2 ± 1 2
2. Die beiden linear unabhängigen y 1 x und y 2 x Lösungsbasis ergeben sich zu
y 1 x y 2 x
Λ 1 , Λ 2 ∈ Λ 1 ≠ Λ 2 Λ 1
Λ 2
Λ 1 , Λ 2 ∈ Λ 1 ⩵ Λ 2 Λ 1
x Λ 1
Λ 1 ⩵ Α Β Λ 2 ⩵ Α Β Α x cosΒ x Α x sinΒ x
3. Die vollständige allgemeine Lösung ist dann
y x ⩵ C 1 y 1 x C 2 y 2 x
C 1 , C 2 ∈
a 1 2 4 a 0 )
Sind noch die Anfangsbdingungen yx 0 ⩵ y 0 und y ' x ⩵ v 0 gegeben, so kann man noch die
Konstanten C 1 und C 2 bestimmen.
Beispiele
h_da Fb MN Dolejsky
• y '' y ' 6 y ⩵ 0 charakteristische Polynom: Λ 2 Λ 6 ⩵ 0 Λ 1 ⩵ 3 Λ 2 ⩵ 2
yx ⩵ C 1 3 x C 2 2 x
• y '' 4 y ' 4 y ⩵ 0 charakteristische Polynom: Λ 2 4 Λ 4 ⩵ 0 Λ 1 ⩵ 2
yx ⩵ C 1 2 x C 2 x 2 x
Λ 2 ⩵ 2
• y '' 4 y ' 13 y ⩵ 0 charakteristische Polynom: Λ 2 4 Λ 13 ⩵ 0 Λ 1 ⩵ 2 3
yx ⩵ C 1 2 x cos 3 x C 2 2 x sin 3 x
• y '' 4 y ⩵ 0 charakteristische Polynom: Λ 2 4 ⩵ 0 Λ 1 ⩵ 2
yx ⩵ C 1 cos 2 x C 2 sin 2 x
2. Inhomogene Dgl.
Λ 2 ⩵ 2
Zur Bestimmung einer partikulären Lösung y p x der inhomogenen Dgl.
Λ 2 ⩵ 2 3
a 2 y '' x a 1 y ' x a 0 yx ⩵ bx bzw. y '' x a 1 y ' x a 0 yx ⩵ bx
kann man wieder die Methode der Variaton der Konstanten verwenden. Man setzt also den, mit den
beiden Basislösungen y 1 x und y 2 x der homogenen Dgl. gebildeten Ansatz
y p x ⩵ v 1 x y 1 x v 2 x y 2 x
und dessen erste und zweite Ableitung in die Dgl. ein. Dies führt zu einem linearen Gleichungssystem
für die Ableitungen v 1 ' x und v 2 ' x. Nach Auflösen dieses Gleichungssytems nach
v 1 ' x und v 2 ' x gewinnt man die unbekannten Ansatzfunktionen v 1 x und v 2 x durch Integration.
Dies wollen wir hier nicht tun, sondern nur solche “günstigen” rechten Seiten zulassen, für die ein
direkter Ansatz, der sich am Typ der rechten Seite bx orientiert, zum Ziel führt ( Ansatz vom Typ
der rechten Seite. Übrigens für Interessierte: Durch Lösen der Dgl., bei denen bx “vom günstigen
Typ” ist, mit der Methode der Variation der Konstanten, kann man sich überzeugen, warum man mit
den Ansatzfunktionen der folgenden Tabelle Erfolg haben muss).
Im Folgenden bezeichnet p m x bzw. P m x jeweils ein Polynom m-ter Ordnung mit konsatnten
Koeffizienten.
p m x ⩵ c m x m c m1 x m1 ... c 1 x 1 c 0 P m x ⩵ C m x m C m1 x m1 ... C 1 x 1 C 0
Im charakteristischen Polynom ΧΛ ⩵ a 2 Λ 2 a 1 Λ a 0 bzw. ΧΛ ⩵ Λ 2 a 1 Λ a 0 der Dgl. kann
• eine reelle Zahl Α als Nullstelle in Χ(Λ) mit der Vielfachheit k ⩵ 0, 1, 2 auftreten (k ⩵ 0 bedeutet
dabei, dass Α keine Nullstelle von ΧΛ ist)
• ein Paar Α Β, Α Β konjugiert komplexer Nullstellen mit der Vielfachheit k ⩵ 0, 1auftreten (k ⩵ 0
bedeutet dabei, dass Α Β bzw. Α Β keine Nullstelle von ΧΛ ist)