Differentialgleichungen (PDF)

Resonanz vor: Α ⩵ 2 ⩵ Λ was gleichbedeutend mit der Tatsache ist, dass die -Funktion in der
homogene Lösung y h x ⩵ C 2 x gleich der -Funktion in der rechten Seite bx ⩵ x 2 1 2 x .
Hier muss man also mit dem Resonanz-Ansatz arbeiten, den man aus dem Nicht-Resonanzansatz
durch Multiplikation mit dem Faktor x erhält.
Ansatz: y p x ⩵ x B 2 x 2 B 1 x B 0 2 x ⩵ B 2 x 3 B 1 x 2 B 0 x 2 x
Dgln.nb | 5
Bestimmen Sie durch Einsetzen diese Ansatzes in die Dgl. die Lösung y p x, und überzeugen Sie
sich, wie mühsam dies im Vergleich zur obigen Lösung mit der direkten Integration von v ' x ist.
Lineare Differentialgleichung 2. Ordnung
Bei der Suche nach der “allgemeinen Lösung” einer Lineare Differentialgleichungen 2.Ordnung
a 2 x y '' x a 1 x y ' x a 0 x yx ⩵ bx
geht man nach dem Schema vor, das beim Lösen einer Linearen Dgl. 1. Ordnung zum Erfolg führt:
Wegen der Linearität der Dgl. ist auch hier die allgemeine Lösung yx die Summe aus der allgemeinen
Lösung der homogenen Dgl. und einer partikulären (speziellen) Lösung der inhomogene
Dgl.:
yx ⩵ y h x y p x
Dabei ist y h x die allgemeine Lösung der homogene Dgl. a 2 x y h '' x a 1 x y h ' x a 0 x y h x ⩵ 0
und y p x eine partikuläre Lösung der inhomogenen Dgl.
a 2 x y p '' x a 1 x y p ' x a 0 x y p x ⩵ bx
Wir beschränken uns auf den Spezialfall, bei dem die Koeffizienten der Dgl. konstant sind, also
a 2 , a 1 , a 0 ∈ gilt. Auch für die rechte Seite lassen wir nur solche Funktionen zu, die vom günstigen
Typ, d.h. für die wir mit geschickten Ansätzen eine partikuläre Lösung bestimmen können.
1. Homogene Dgl.:
a 2 y '' x a 1 y ' x a 0 yx ⩵ 0 (bzw. y '' x a 1 y ' x a 0 yx ⩵ 0 )
Der Ansatz yx ⩵ A Λ x führt mit y ' x ⩵ A Λ Λ x und y '' x ⩵ A Λ 2 Λ x durch Einsetzen in die Dgl.
zu
a 2 Λ 2 a 1 Λ a 0 A Λ x ⩵ 0
A
Λ x ≠0
a2 Λ 2 a 1 Λ a 0 ⩵ 0 ( bzw. Λ 2 a 1 Λ a 0 ⩵ 0 )
also zur Bestimmung der Nullstellen des sogenannten charakteristischen Polynoms
ΧΛ ⩵ a 2 Λ 2 a 1 Λ a 0 (bzw. ΧΛ ⩵ Λ 2 a 1 Λ a 0 )
1. Fall: ΧΛ besitzt die beiden voneinander verschiedenen reellen Nullstellen Λ 1 und Λ 2
Dann ist sowohl C 1 Λ 1 x als auch C 2 Λ 2 x nach Ansatz Lösung der homogenen Dgl.
Anschaulich ist klar, dass C 1 Λ 1 x und C 2 Λ 2 x linear unabhängig sind, d.h. keine der beiden Funktionen
geht durch Multiplikation mit einer reellen Zahl aus der anderen hervor.
y h x ⩵ C 1 Λ 1 x C 2 Λ 2 x ist die allgemeine Lösung der homogenen Dgl.
2. Fall: ΧΛ besitzt die doppelte reellen Nullstellen Λ ⩵ Λ 1 ⩵ Λ 2
Dann ist sowohl C 1 Λ x als auch C 2 x Λ x Lösung der homogenen Dgl. (Nachrechnen)
Anschaulich ist klar, dass C 1 Λ x und C 2 x Λ x linear unabhängig sind, d.h. keine der beiden Funktionen
geht durch Multiplikation mit einer reellen Zahl aus der anderen hervor.
y h x ⩵ C 1 Λx C 2 x Λ x ist die allgemeine Lösung der homogenen Dgl.
3. Fall: ΧΛ besitzt das Paar konjugiert komplexer Nullstellen Λ 1 ⩵ Α Β und Λ 2 ⩵ Α Β
Dann ist sowohl C 1 Α x sinΒ x als auch C 2 Α x cosΒ x Lösung der homogenen Dgl.
(Nachrechnen)
Anschaulich ist klar, dass C 1 Α x sinΒ x und C 2 Α x cosΒ x linear unabhängig sind, d.h. keine der
beiden Funktionen geht durch Multiplikation mit einer reellen Zahl aus der anderen hervor.
y h x ⩵ C 1 Α x sinΒ x C 2 Α x cosΒ x ist die allgemeine Lösung der homogenen Dgl.