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inhomogen Dgl., so bilden wir mit dieser und der partikulären Lösung y p x die Differenzfunktion dx ⩵ yx y p x und setzen diese in die linke Seite der Dgl. ein: d ' x ax dx ⩵ yx y p x' ax yx y p x ⩵ 2 | Mathematik 2 für Fb B SS2012 y ' x y p ' x ax yx y p x ⩵ y ' x a x y x y p ' x a x y p x ⩵ Die Differenzfunktion dx ⩵ yx y p x ist also Lösung der homogenen Dgl. Es gilt also für eine beliebige Lösung yx der inhomogenen Dgl. yx y p x ⩵ y h x bzw. yx ⩵ y h x y p x. Allgemeine Lösung der inhomogenen Dgl. y ' x ax yx ⩵ bx Man erhält alle Lösungen der Dgl. y ' x ax yx ⩵ bx indem man zu einer partikulären Lösung y p x dieser Dgl. die allgemeine Lösung y h x der homogenen Dgl. y h ' x ax y h x ⩵ 0 addiert: bx yx ⩵ y h x y p x ⩵ yx ⩵ y p x C ∫ ax x bx 0 Die allgemeine Lösung der Dgl. y ' x ax yx ⩵ bx gewinnt man also in den folgenden drei Schritten: 1. Man bestimmt die Lösung y h x der homogenen Dgl.: y h x ⩵ C ∫ ax x 2. Man bestimmt y p x ⩵ vx y h1 x ⩵ vx ∫ ax x . Die Funktion vx gewinnt man dabei durch Integration von v ' x ⩵ bx ⩵ bx ⩵ bx y h1 x ∫ ax x (ohne Integrationskonstante) ∫ ax x 3. yx ⩵ y h x y p x Begründung zu 2.: Zur Bestimmung einer partikülären Lösung macht man den Ansatz y p x ⩵ vx y h1 x. (Da bei diesem Ansatz in der allgemeinen Lösung der homogenen Lösung y h x ⩵ C y h1 x die Konstante C durch die Funktion vx ersetzt wird, wird diese Vorgehnsweise auch "Variation der Konstanten" genannt) Einsetzen von y p ' x ⩵ v ' x y h1 x vx y h1 ' x und y p x ⩵ vx y h1 x in die inhomogene Dgl. liefert: v ' x y h1 x vx y h1 ' x ax vx y h1 x ⩵ v ' x y h1 x vx y h1 ' x a x y h1 x ⩵ bx also v ' x y h1 x ⩵ bx bzw. v ' x ⩵ bx y h1 x Beispiel Gegeben ist die Differentialgleichung y ' x 2 x yx ⩵ 4 x x2 a) Gesucht ist die allgemeine Lösung der Dgl. b) Gesucht ist die Lösung der Dgl., die die Anfangsbedingung : y0 ⩵ 3 erfüllt. ⩵0 a) 1. Lösung der homogenen Dgl. y ' x 2 x yx ⩵ 0: y h x ⩵ C ∫ 2 x x ⩵ C x2 2. y p x ⩵ vx y h1 x ⩵ vx x2 v ' x ⩵ bx y h1 x ⩵ 4 x x2 x2 vx ⩵ 4 x 2 x2 x ⩵ 4 x x2 x 2 ⩵ 4 x 2 x2 ⩵ Subst. u⩵2 x 2 du⩵4 x dx ∫ u u ⩵ u ⩵ 2 x2 y p x ⩵ 2 x2 x2 ⩵ x2 3. yx ⩵ y h x y p x ⩵ C x2 x2 (Dabei schreibt man stellvertretend für die Menge C x2 x2 C ∈ nur den Repräsentanten h_da Fb MN Dolejsky C x2 x2 hin). b) y0 ⩵ 3: Einsetzen der Anfangsbedingung in die allgemeine Lösung: C 02 02 ⩵ C 1 ⩵ 3 C ⩵ 2 also yx ⩵ 2 x2 x2
y p x ⩵ 2 x2 x2 ⩵ x2 3. yx ⩵ y h x y p x ⩵ C x2 x2 (Dabei schreibt man stellvertretend für die Menge C x2 x2 Dgln.nb | 3 C ∈ nur den Repräsentanten C x2 x2 hin). b) y0 ⩵ 3: Einsetzen der Anfangsbedingung in die allgemeine Lösung: C 02 02 ⩵ C 1 ⩵ 3 C ⩵ 2 also yx ⩵ 2 x2 x2 yx 5 4 y h x⩵C x2 yx 5 4 3 y p x 3 2 2 1 1 yx⩵C x2 x2 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 x 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 x Beispiel Gegeben ist wieder die Differentialgleichung y ' x ax yx ⩵ bx. Allerdings ist der Koeffizient ax ⩵ Λ konstant, also eine reelle Zahl und bx vom “günstigen Typ”: bx ⩵ b m x m b m1 x m1 ... a 1 x a 0 Α x ist also das Produkt aus einem Polynom und einer Exponentialfunktion. Die Dgl. lautet somit y ' x Λ yx ⩵ b m x m b m1 x m1 ... a 1 x a 0 Α x 1. Lösung der homogenen Dgl. y ' x Λ yx ⩵ 0: y h x ⩵ C ∫ Λ x ⩵ C Λ x 2. y p x ⩵ vx y h1 x ⩵ vx Λ x v ' x ⩵ bx y h1 x ⩵ bx Λ x b m x m b m1 x m1 ... b 1 x b 0 ΛΑ x Fallunterscheidungen: Α ≠ Λ : vx ⩵ ∫ b m x m b m1 x m1 ... b 1 x b 0 ΛΑ x x B m x m B m1 x m1 ... B 1 x B 0 ΛΑ x y p x ⩵ B m x m B m1 x m1 ... B 2 x 2 B 1 x 1 B 0 Α x Herunterbrechen der Potenzen von x durch mehrfache Partielle Integrationen ⩵ Α ⩵ Λ (Resonanzfall): vx ⩵ ∫ b m x m b m1 x m1 ... b 1 x b 0 dx ⩵ B m1 x m1 B m x m ... B 2 x 2 B 1 x 1 mit B k ⩵ b k1 k k ⩵ 1, 2, ...., m 1 y p x ⩵B m x m B m1 x m1 ... B 2 x 2 B Α 1 x Λ x ⩵ x B m x m B m1 x m1 ... B 1 x B 0 Α x Man erkennt, dass in beiden Fällen ein Ansatz mit Typ der rechten Seite, also mit der Ansatzfunktion B m x m B m1 x m1 ... B 1 x B 0 Α x Erfolg hat. Allerdings muss man im Resonanzfall Α ⩵ Λ diesen Ansatz noch mit dem Faktor x multiplizieren. Der Vorteil dieser Ansatzmethode kommt allerdings nur beim ersten Fall zum Tragen. Während im zweiten Fall (Resonanzfall Α ⩵ Λ) bei der Bestimmung von vx nur ein Polynom zu integrieren ist, muss man im Nicht-Resonanzfall das Produkt aus einem Polynom und der Funktion ΛΑ x integrieren. In diesem Fall ist es ratsam, die meist äusserts zeitaufwändige Bestimmung von vx durch mehrfache partielle Integration zu vermeiden, und mit einem Ansatz
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