Differentialgleichungen (PDF)

inhomogen Dgl., so bilden wir mit dieser und der partikulären Lösung y p x die Differenzfunktion
dx ⩵ yx y p x und setzen diese in die linke Seite der Dgl. ein:
d ' x ax dx ⩵ yx y p x' ax yx y p x ⩵
2 | Mathematik 2 für Fb B SS2012
y ' x y p ' x ax yx y p x ⩵ y ' x a x y x y p ' x a x y p x ⩵
Die Differenzfunktion dx ⩵ yx y p x ist also Lösung der homogenen Dgl. Es gilt also für eine
beliebige Lösung yx der inhomogenen Dgl. yx y p x ⩵ y h x bzw. yx ⩵ y h x y p x.
Allgemeine Lösung der inhomogenen Dgl. y ' x ax yx ⩵ bx
Man erhält alle Lösungen der Dgl. y ' x ax yx ⩵ bx indem man zu einer partikulären
Lösung y p x dieser Dgl. die allgemeine Lösung y h x der homogenen Dgl.
y h ' x ax y h x ⩵ 0 addiert:
bx
yx ⩵ y h x y p x ⩵ yx ⩵ y p x C ∫ ax x
bx
0
Die allgemeine Lösung der Dgl. y ' x ax yx ⩵ bx gewinnt man also in den folgenden drei
Schritten:
1. Man bestimmt die Lösung y h x der homogenen Dgl.: y h x ⩵ C ∫ ax x
2. Man bestimmt y p x ⩵ vx y h1 x ⩵ vx ∫ ax x .
Die Funktion vx gewinnt man dabei durch Integration von
v ' x ⩵ bx ⩵ bx ⩵ bx y h1 x ∫ ax x (ohne Integrationskonstante)
∫ ax x
3. yx ⩵ y h x y p x
Begründung zu 2.:
Zur Bestimmung einer partikülären Lösung macht man den Ansatz y p x ⩵ vx y h1 x. (Da bei
diesem Ansatz in der allgemeinen Lösung der homogenen Lösung y h x ⩵ C y h1 x die Konstante C
durch die Funktion vx ersetzt wird, wird diese Vorgehnsweise auch "Variation der Konstanten"
genannt)
Einsetzen von y p ' x ⩵ v ' x y h1 x vx y h1 ' x und y p x ⩵ vx y h1 x in die inhomogene Dgl. liefert:
v ' x y h1 x vx y h1 ' x ax vx y h1 x ⩵ v ' x y h1 x vx y h1 ' x a x y h1 x ⩵ bx
also v ' x y h1 x ⩵ bx bzw. v ' x ⩵ bx
y h1 x
Beispiel
Gegeben ist die Differentialgleichung y ' x 2 x yx ⩵ 4 x x2
a) Gesucht ist die allgemeine Lösung der Dgl.
b) Gesucht ist die Lösung der Dgl., die die Anfangsbedingung : y0 ⩵ 3 erfüllt.
⩵0
a)
1. Lösung der homogenen Dgl. y ' x 2 x yx ⩵ 0: y h x ⩵ C ∫ 2 x x ⩵ C x2
2. y p x ⩵ vx y h1 x ⩵ vx x2
v ' x ⩵ bx
y h1 x ⩵ 4 x x2
x2
vx ⩵ 4 x 2 x2 x
⩵ 4 x x2 x 2 ⩵ 4 x 2 x2
⩵
Subst. u⩵2 x 2
du⩵4 x dx
∫ u u ⩵ u ⩵ 2 x2
y p x ⩵ 2 x2 x2 ⩵ x2
3. yx ⩵ y h x y p x ⩵ C x2 x2
(Dabei schreibt man stellvertretend für die Menge C x2 x2
C ∈ nur den Repräsentanten
h_da Fb MN Dolejsky
C x2 x2 hin).
b)
y0 ⩵ 3:
Einsetzen der Anfangsbedingung in die allgemeine Lösung:
C 02 02 ⩵ C 1 ⩵ 3 C ⩵ 2 also yx ⩵ 2 x2 x2