Differentialgleichungen (PDF)

B ⩵ 3 40
A ⩵ 1 40
10 | Mathematik 2 für Fb B SS2012
y p x ⩵ 1 cos3 x 3 sin3 x
40 40
3. Allgemeine Lösung
yx ⩵ y h x y p x ⩵ C 1 2 x cos3 x C 2 2 x sin3 x 1 cos3 x 3 sin3 x
40 40
• y '' 4 y ' 13 y ⩵ x cos3 x
1. homogene Dgl.
charakteristische Polynom: ΧΛ ⩵ Λ 2 4 Λ 13 y ⩵ 0 Λ 1 ⩵ 2 3 Λ 2 ⩵ 2 3
y h x ⩵ C 1 2 x cos3 x C 2 2 x sin3 x
2. inhomogene Dgl.
Β ⩵ 3 und Β ⩵ 3 ist kein Paar konjugiert komplexer Nullstellen von ΧΛ
(Paar Β ⩵ 3 und Β ⩵ 3 hat Vielfachheit k ⩵ 0:
Ansatz: y p x ⩵ C 1 C 2 x A cos3 x B sin3 x ⩵
y p x ⩵
A C 1
D 1
cos3 x B C 1
D 2
sin3 x A C 2
D 3
x cos3 x B C 2
D 1 cos3 x D 2 sin3 x D 3 x cos3 x D 4 x sin3 x
D 4
x Sin3 x
y p ' x ⩵ 3 D 1 sin3 x 3 D 2 cos3 x D 3 cos3 x 3 D 3 x sin3 x 3 D 4 x cos3 x D 4 sin3 x
y p '' x :⩵
9 D 1 cos3 x 9 D 2 sin3 x 9 x D 3 cos3 x 6 D 3 sin3 x 6 D 4 cos3 x 9 x D 4 sin3 x
Einsetzen in die Dgl. liefert
4 D 1 cos3 x 12 D 1 sin3 x 12 D 2 cos3 x 4 D 2 sin3 x
4 D 3 cos3 x 4 x D 3 cos3 x 6 D 3 sin3 x 12 x D 3 sin3 x
6 D 4 cos3 x 12 x D 4 cos3 x 4 D 4 sin3 x 4 x D 4 sin3 x ⩵ x cos3 x
Koeffizientenvergleich
Koeffizient von cos3 x: 4 D 1 12 D 2 4 D 3 6 D 4 ⩵ 0
Koeffizient von sin(3 x): 12 D 1 4 D 2 6 D 3 4 D 4 ⩵ 0
Koeffizient von x cos3 x: D 3 + 3 D 4 ⩵ 1
Koeffizient von x sin3 x: 3 D 3 D 4 ⩵ 0
3. Allgemeine Lösung
yx ⩵ y h x y p x ⩵
D 1 ⩵ 1
400
D 2 ⩵ 9
200
D 3 ⩵ 1
40
D 4 ⩵ 3
40
y p x ⩵ 1 cos3 x 1 9
x cos3 x sin3 x 3 x sin3 x
400 40 200 40
C 1 2 x cos3 x C 2 2 x sin3 x 1 cos3 x 1 9
x cos3 x sin3 x 3 x sin3 x
400 40 200 40
• y '' 4 y ' 13 y ⩵ 2 x sin3 x
1. homogene Dgl.
charakteristische Polynom: ΧΛ ⩵ Λ 2 4 Λ 13 y ⩵ 0 Λ 1 ⩵ 2 3 Λ 2 ⩵ 2 3
y h x ⩵ C 1 2 x cos3 x C 2 2 x sin3 x
2. inhomogene Dgl.
Α+ Β ⩵ 2 2 und Β ⩵ 2 2 ist ein einfaches Paar konjugiert komplexer Nullstellen von
ΧΛ
h_da Fb MN Dolejsky
(Paar Α Β ⩵ 2 3 und Α ⩵ 2 3 hat Vielfachheit k ⩵ 1:
Ansatz: y p x ⩵ xA 2 x cos3 x B 2 x sin3 x
y p ' x ⩵
A 2 x cos3 x 2 A 2 x x cos3 x
3 B 2 x x cos3 x B 2 x sin3 x 3 A 2 x x sin3 x 2 B 2 x x sin3 x
y p '' x ⩵ 4 A 2 x cos3 x 6 B 2 x cos3 x 5 A 2 x x cos3 x 12 B 2 x x cos3 x
6 A 2 x sin3 x 4 B 2 x sin3 x 12 A 2 x x sin3 x 5 B 2 x x sin3 x