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26 5 8 Die Raumverteilung der Elektronenladung bei Atomzustanden 5 8 Die Raumverteilung der Elektronenladung bei Atomzustanden 27
Teilchen pro Kubikzentimeter gesetzt werden1. Das jedoch das y2
die Bedeutung einer Wahrscheinlichkeit, der wahrscheinlichen
Dichteverteilung der Masseteilchen hat, ersieht man am besten,
wenn man den Ubergang von vielen zu einem einzigen Teilchen
macht. Seine
an einer bestimmten Stelle ist offenbar
die Wahrscheinlichkeit das Teilchen am betreffenden Ort anzutreffen,
da wir nicht exakt voraussagen konnen, wo das Teilchen
sich befinden wird. Dies folgt zwangslaufig aus dem, was im vorigen
Paragraphen uber die Unbestimmtheit des einzelnen Elementarvorganges
und uber die Unmoglichkeit einer exakten Voraussage
der Ortskoordinaten gesagt wurde.
Dies vorausgeschickt, mussen wir nun zur Besprechung der
Raumverteilung der Elektronenladung bei den verschiedenen
Atomzustanden ubergehen. Sie besitzt die groste Bedeutung fur
die Bindung der Atome im einzelnen Molekul.
Die Differentialgleichung des H-Atomzustandes, welche nur
eine Funktion des Abstandes r ist, erhalt man aus G1. (26) durch
Streichung aller Glieder, die von O und p abhangen. Indem man
e2
den Wert der potentiellen Energie - - - einsetzt, erhalt die Glei-
chung die Form :
Die einfachste Losung dieser Differentialgleichung ist
= e-ar. (35b)
Die hierin vorkommende Konstante a last sich durch Bildung des
ersten und zweiten Differentialquotienten der G1. (35b) und Einsetzen
in die G1. (35a) ermitteln. Sie ergibt sich zu
Zugleich findet man fur die Energie den Ausdruck :
Im allgemeinen Fall von komplexen Funktionen ist die Wahrscheinlichkeit,
das Teilchen in einem bestimmten Volumenelement dv anzutreffen.
gegeben durch v*ydu, worin y* die konjugiert komplexe Funktion bedeutet.
wobei ein Parameter n erscheint, welcher nur die Werte I, 2, 3,
4. . . . annehmen darf, wenn dem y annehmbare Losungen zukommen
sollen. Dieses Resultat ist identisch mit dem Ergebnis der
alteren Bohrschen Atomtheorie mit dem Unterschied, das die
Hauptquantenzahl n sich von selbst rechnerisch ergeben hat. Sie
bestimmt hauptsachlich den Energieinhalt des Zustandes. Je
groser n, um so groser
ist die Energie des be- i i m l
treffenden Atomzustan- 48
des, und um so geringer
die Bindung des Elektrons
an den Kern, da 5 Q
sein Abstand von ihm
zunimmt.
Um die Raumverteilung
der Elektronenladung
als Funkt'ion des
Kernabstandes zu bestimmen,
mus man den
Wert des Ausdruckes
rinA
y2dv fur jedes Raum- Abb. 6. Elektronendiohteve~teilung bei den 1s-,
volumen ermitteln. Alle
2s- und 3s-zustanden
Losungen von y, die nur
vom Kernabstand r und nicht von den Winkeln O und p, abhangen,
sind notwendigerweise kugelsymmetrisch. Die Wahrscheinlichkeit,
das Elektron in einem Volumenelement, das ini Abstand r vom
Kern entfernt liegt, anzutreffen, ist in Polarkoordinaten durch y2
4n r2 dr gegeben. Abb. 6 gibt das Resultat einer solchen Berechnung
in graphischer Darstellung. Man entnimmt aus den Kurven ohne
weiteres, das fur den Grundzustand n = 1 die Wahrscheinlichkeit,
dasElektron anzutreffen, maximal ist bei einem Abstand r = 0,529A,
der fast identisch ist mit dem Atomradius des Bohrschen Modells.
Gegenuber diesem Modell, hat jedoch die quantenmechanische Darstellung
den Vorteil, das sie das H-Atom im Grundzustand, wegen
der kugelsymmetrischen Ladungsverteilung der Elektronenwolke,
als eine Kugel erscheinen last, wahrend die Elektronenbahn im
ursprunglichen Bohrschen Modell das H-Atom zu einem flachen
Scheibchen machte. Dies aber muste paramagnetisch sein, was der
Erfahrung widerspricht.