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20 •˜ 6 Die wellenmasige Darstellung mechanischer Vorgange 3 7 Die Unscharferelation von Heisenberg 2 1 Durch die 3 Quantenzahlen n, I, und ma ist der Zustand eines Elektrons im Atomverband noch nicht eindeutig festgelegt. Denn es kann sich um ein Elektron handeln, das sich links- oder rechtssinnig um die eigene Achse dreht. Diese Eigendrehung des Elektrons hat man einfuhren mussen, um die Feinstruktur der Atomspektra zu erklaren (UHLENBECK U. GOUTSMIT~. Der durch den h Elektronenspin verursachte Drehimpuls ist durch l/ s (s + I) - 2 n gegeben, worin s nur die Werte + 1/2 und -1/2 annehmen kann. Die Koppelung dieses Spindrehimpulses mit dem Bahndrehimpuls fuhrt zu einer erneuten Aufspaltung der Energiezustande und damit zu der genannten Feinstruktur der Spektren. Der Zustand des Elektrons ist durch diese 4 Quantenzahlen nunmehr eindeutig definiert. Um uber die Art der Raumverteilung der y-Funktion klar zu werden, mus man sich vorher mit der physikalischen Interpretation von y befassen. Man kann dem y selbst keine anschauliche Bedeutung abgewinnen. Aber man interpretiert das y2dv als die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen-Elektron im Volumenelement dv anzutreffen2. Indem man sich aber dieser Deutung anschliest, gibt man die gegenseitige streng kausale Abhangigkeit der Variabeln eines Systems im atomaren Bereich auf. An Stelle von definitiven Feststellungen uber die Grose dieser Variabeln in atomaren Mikrobereichen treten nunmehr Wahrscheinlichkeitsaussagen. Wie es dazu kommen muste, zeigt die Betrachtung der Heisenbergschen Ungenauigkeitsrelation. Obwohl diese Deutung der Quantentheorie, die auch Kopenhagener Interpretation genannt wird (BOHR, KRAMERS, HEISEN- BERG, SLATER), von den Physikern weitgehend angewandt wird, ist sie bei weitem nicht von allen anerkannt. Eine Gruppe von Forschern (EINSTEIN, VON LAUE, SCHR~DINGER) kann sich mit den ausersten Konsequenzen dieser Anschauung, die einen Bruch mit der klassischen Vorstellung des Objektiv-Realen bedeuten wurde, nicht befreunden. Denn im atomaren Bereiche losen sich nach dieser Deutung die Konturen einer objektiv-realen Welt auf, und an Stelle des Faktischen tritt das Potentielle, das Mogliche ein. Der Wunsch der letztgenannten Forscher, die Prinzipien des Physica 6, 266 (1925). - Nature 117, 264 (1926). M. BORN, Z. Phys. 37, 863; 38,803 (1926). makroskopisch Beobachtbaren auch auf atomare Bereiche zu extrapolieren, scheint bis heute wenigstens nicht in physikalisch einwandfreier Weise durchfuhrbar zu sein1. fj 7 Die Unscharferelation von Heisenberg Die in der ursprunglichen Quantentheorie unternommenen Versuche, die Gesetze der makroskopischen Mechanik, wie sie uns aus der taglichen Erfahrung bekannt sind, auf das atomare Geschehen zu ubertragen, beruhen auf der stillschweigenden Voraussetzung, das die Vorgange im Makrokosmos mit absoluter Genauigkeit bestimmbar sind, d. h. das wir uns einem Zustande der Korper, der an sich absolut definiert ist, beliebig annahern konnen, wenn nur die Feinheit unserer apparativen Hilfsmittel dies gestattet. Man war sich zwar daruber im klaren, das apparative Unvollkommenheit diesem Bestreben ein Ende setzten, man glaubte aber, das die Vorgange ,,an sich" beliebig genau bestimmbar sind, weil ihr Zustand scharf definiert ware, unabhangig davon, ob wir ihn zu bestimmen versuchen oder nicht. Eine genaue Uberlegung zeigt jedoch, das diese Annahme auserhalb der Moglichkeit einer experimentellen Nachprufung liegt. Die gedankliche Verfolgung eines Versuches, den Zustand eines Systemes bis in atomare Bereiche hinunter exakt zu bestimmen, hat W. HEISENBERG (1927) durchgefuhrt und ist hierbei zu dem uberraschenden Ergebnis gekommen, das es nicht moglich ist, zwei zueinander gehorende sog. konjugierte Variabeln, die einen Zustand charakterisieren, mit beliebiger Genauigkeit zu bestimmen. Wenn es gelingt, die eine Variabel exakt zu bestimmen, so geschieht dies nur auf Kosten der Scharfe in der Bestimmung der zweiten konjugierten Variabel. Die funktionelle, unvermeidliche Verknupfung beider ist derart, das das Produkt aus dem Fehler, den man bei der Bestimmung der einen Variabel begeht, A q, und dem Fehler der zweiten Ap, groser oder hochstens gleich dem Wirkungsquantum h ist, d. h. Aq-Apr h. (32) Der Grund fur diese auf den ersten Blick befremdende Feststellung liegt darin, das wir keine Messung ausfuhren konnen, ohne den zu vermessenden Gegenstand selbst durch die Anlegung des Masstabes Vergl. die Darstellung von W. HEISENBERG, Phys. Blatter 7,289 (1956).
22 5 7 Die Unscharferelation von Heisenberg 8 7 Die Unscharferelation von Heisenberg 23 in seinem ursprunglichen Zustand zu storen. Wollte man beispielsweise den Abstand zweier Korper voneinander bestimmen, so muste man einen Masstab anlegen und sie beruhren, d. h. sie anstosen, was ihre Lage verandern wird. Fur makroskopische Gegenstande ist die dadurch verursachte Verruckung ohne Belang. Fur Atome jedoch sind die Veranderungen von der Grose atomarer Dimensionen, d. h. sehr erheblich und beeinflussen und verschleiern alle Auskunfte, die wir uber den Zustand des Systems erhalten. Man mus gleich zu Beginn im Klaren daruber sein, das dies nichts zu tun hat mit der technischen Unvollkommenheit unserer Apparate. Selbst mit den auserst idealisiert gedachten Hilfsmitteln bleiben die erwahnten Veranderungen des zu messenden Systems bestehen. Dies in einer Reihe scharfsinniger Gedankenexperimente gezeigt zu haben, ist das Verdienst von W. HEISE~BER~. Es sei versucht, im Bohrschen Atommodell gleichzeitig Lage und Geschwindigkeit des Elektrons zu bestimmen, mit der Absicht, eine scharf gezeichnete Elektronenbahn zu konstruieren. Um den Ort des Elektrons zu einer bestimmten Zeit festzustellen, gibt es kein anderes Mittel als ein Photon zu schicken, das am Elektron reflektiert wird und zuruckkommend dessen Standort anzeigt. Wiederholt man dieses Gedankenexperiment zu verschiedenen aufeinander folgenden Zeiten, so konnte man aus der Gesamtheit aller so erhaltenen Lagen die Elektronenbahn zusammensetzen. Um jedoch das Elektron zu sehen, mus man ein Mikroskop benutzen, dessen Auflosungsvermogen, d. h. seine Fahigkeit zwischen 2 benachbarten Punkten zu unterscheiden, sehr gros ist. Bekanntlich ist das Auflosungsvermogen des Mikroskops gegeben und eingeschrankt durch die Beziehung I Ax = n sin a ' worin A die Wellenlange des benutzten Photons, n der Berechnungsindex des Mediums und a der Aperturwinkel des Mikroskops sind. Will man Ax moglichst klein machen, d. h. die jeweilige Lage des Elektrons moglichst scharf bestimmen, so mus man ein sehr kurzwelliges Licht, etwa einen y-rcltrahl, verwenden. Die Wahl eines kurzwelligen Lichtes kann jedoch nicht weit getrieben werden, ohne die Geschwindigkeit des beobachteten Elektrons zu beeintrachtigen. Denn das Licht ist nicht nur Welle, sondern auch Korpuskel, der ein Impuls h V /C zukommt. Dieser Impuls wird bei der Streuung des Photons am Elektron auf letzteres teilweise ubertragen (Compton-Effekt). Die Impulsanderung betragt COS 9) , worin 6 den Streuwinkel bedeutet. Ap ist aber zugleich der unvermeidliche Fehler in der Impulsbestimmung des Elektrons. Das Produkt der Fehler in der gleichzeitigen Bestimmung der beiden konjugierten Variabeln, d. h. der Lage und der Geschwindigkeit (nach BOHR heisen sie komplementare Grosen) ware somit h V ~x-Ap=(i-c0~8).-- -h. sin a Folglich konnen wir die eine Grose nicht exakt bestimmen, ohne gleichzeitig die komplementare Grose unscharf zu sehen. Mogen wir die Versuche anstellen wie wir wollen, immer bildet das Wirkungsquantum h durch seine Verknupfung mit den zu bestimmenden Koordinaten eine naturliche untere Grenze, unterhalb welcher jede Aussage ihren bestimmten Charakter verliert. Die Frage nach Wirkungen, die kleiner sind als h, wird fur uns sinnlos, da solche Zustande ununterscheidbar waren. Es zeigt sich, das es unmoglich ist, die Unscharferelation zu umgehen, da wir mit Masstaben materieller Art - und wir kennen keine anderen im physikalischen Experiment - an die zu messenden Objekte herangehen. Je empfindlicher die apparativen Hilfsmittel werden, um so mehr rucken die durch den Eingriff der Mesinstrumente hervorgerufenen Veranderungen in den Bereich der Nachweisbarkeit. Ein sehr instruktives Beispiel dafur bilden die Sattigungserscheinungen bei der magnetischen Kernresonanz. Wie in $ 22 dargelegt wird, ist die Absorption elektromagnetischer Strahlung durch Kernresonanz durch die Unterschiede in den Belegungszahlen der einzelnen Energieniveaus mit verursacht. Durch den Absorptionsvorgang jedoch werden diese Unterschiede, zumal sie sehr gering sind, ausgeglichen, so das die Absorptionsintensitat bei starker Einstrahlung bis auf Null herabgedruckt werden kann. Diese Selbstausloschung durch Sattigung war lange Jahre hindurch die Ursache fur die Miserfolge, die Existenz der Kornresonanz in festen Stoffen nachzuweisen. n
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22 5 7 Die Unscharferelation von Heisenberg 8 7 Die Unscharferelation von Heisenberg 23<br />
in seinem ursprunglichen Zustand zu storen. Wollte man beispielsweise<br />
den Abstand zweier Korper voneinander bestimmen, so<br />
muste man einen Masstab anlegen und sie beruhren, d. h. sie anstosen,<br />
was ihre Lage verandern wird. Fur makroskopische Gegenstande<br />
ist die dadurch verursachte Verruckung ohne Belang. Fur<br />
Atome jedoch sind die Veranderungen von der Grose atomarer<br />
Dimensionen, d. h. sehr erheblich und beeinflussen und verschleiern<br />
alle Auskunfte, die wir uber den Zustand des Systems erhalten.<br />
Man mus gleich zu Beginn im Klaren daruber sein, das dies<br />
nichts zu tun hat mit der technischen Unvollkommenheit unserer<br />
Apparate. Selbst mit den auserst idealisiert gedachten Hilfsmitteln<br />
bleiben die erwahnten Veranderungen des zu messenden Systems<br />
bestehen. Dies in einer Reihe scharfsinniger Gedankenexperimente<br />
gezeigt zu haben, ist das Verdienst von W. HEISE~BER~.<br />
Es sei versucht, im Bohrschen Atommodell gleichzeitig Lage<br />
und Geschwindigkeit des Elektrons zu bestimmen, mit der Absicht,<br />
eine scharf gezeichnete Elektronenbahn zu konstruieren. Um den<br />
Ort des Elektrons zu einer bestimmten Zeit festzustellen, gibt es<br />
kein anderes Mittel als ein Photon zu schicken, das am Elektron<br />
reflektiert wird und zuruckkommend dessen Standort anzeigt.<br />
Wiederholt man dieses Gedankenexperiment zu verschiedenen aufeinander<br />
folgenden Zeiten, so konnte man aus der Gesamtheit aller<br />
so erhaltenen Lagen die Elektronenbahn zusammensetzen. Um<br />
jedoch das Elektron zu sehen, mus man ein Mikroskop benutzen,<br />
dessen Auflosungsvermogen, d. h. seine Fahigkeit zwischen 2 benachbarten<br />
Punkten zu unterscheiden, sehr gros ist. Bekanntlich<br />
ist das Auflosungsvermogen des Mikroskops gegeben und eingeschrankt<br />
durch die Beziehung<br />
I<br />
Ax = n sin a '<br />
worin A die Wellenlange des benutzten Photons, n der Berechnungsindex<br />
des Mediums und a der Aperturwinkel des Mikroskops<br />
sind. Will man Ax moglichst klein machen, d. h. die jeweilige Lage<br />
des Elektrons moglichst scharf bestimmen, so mus man ein sehr<br />
kurzwelliges Licht, etwa einen y-rcltrahl, verwenden. Die Wahl<br />
eines kurzwelligen Lichtes kann jedoch nicht weit getrieben werden,<br />
ohne die Geschwindigkeit des beobachteten Elektrons zu<br />
beeintrachtigen. Denn das Licht ist nicht nur Welle, sondern auch<br />
Korpuskel, der ein Impuls h V /C zukommt. Dieser Impuls wird bei<br />
der Streuung des Photons am Elektron auf letzteres teilweise ubertragen<br />
(Compton-Effekt). Die Impulsanderung betragt<br />
COS 9) ,<br />
worin 6 den Streuwinkel bedeutet. Ap ist aber zugleich der unvermeidliche<br />
Fehler in der Impulsbestimmung des Elektrons. Das<br />
Produkt der Fehler in der gleichzeitigen Bestimmung der beiden<br />
konjugierten Variabeln, d. h. der Lage und der Geschwindigkeit<br />
(nach BOHR heisen sie komplementare Grosen) ware somit<br />
h V<br />
~x-Ap=(i-c0~8).-- -h.<br />
sin a<br />
Folglich konnen wir die eine Grose nicht exakt bestimmen, ohne<br />
gleichzeitig die komplementare Grose unscharf zu sehen. Mogen<br />
wir die Versuche anstellen wie wir wollen, immer bildet das Wirkungsquantum<br />
h durch seine Verknupfung mit den zu bestimmenden<br />
Koordinaten eine naturliche untere Grenze, unterhalb welcher<br />
jede Aussage ihren bestimmten Charakter verliert. Die Frage nach<br />
Wirkungen, die kleiner sind als h, wird fur uns sinnlos, da solche<br />
Zustande ununterscheidbar waren. Es zeigt sich, das es unmoglich<br />
ist, die Unscharferelation zu umgehen, da wir mit Masstaben materieller<br />
Art - und wir kennen keine anderen im physikalischen<br />
Experiment - an die zu messenden Objekte herangehen.<br />
Je empfindlicher die apparativen Hilfsmittel werden, um so<br />
mehr rucken die durch den Eingriff der Mesinstrumente hervorgerufenen<br />
Veranderungen in den Bereich der Nachweisbarkeit. Ein<br />
sehr instruktives Beispiel dafur bilden die Sattigungserscheinungen<br />
bei der magnetischen Kernresonanz. Wie in $ 22 dargelegt wird, ist<br />
die Absorption elektromagnetischer Strahlung durch Kernresonanz<br />
durch die Unterschiede in den Belegungszahlen der einzelnen<br />
Energieniveaus mit verursacht. Durch den Absorptionsvorgang<br />
jedoch werden diese Unterschiede, zumal sie sehr gering sind, ausgeglichen,<br />
so das die Absorptionsintensitat bei starker Einstrahlung<br />
bis auf Null herabgedruckt werden kann. Diese Selbstausloschung<br />
durch Sattigung war lange Jahre hindurch die Ursache fur die Miserfolge,<br />
die Existenz der Kornresonanz in festen Stoffen nachzuweisen.<br />
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