Technik - USKA

Technik
Numerische Digitalfilter-Experimente mit Excel (2)
worin S(t) das gefilterte
Signal, s(t-i)
das ungefilterte
Signal, und f(i) die
aus m+1 Punkten
bestehende Filterfunktion
(der Filterkern)
sind. Ein
Filter mit engerem
Frequenz-Stoppband
oder -Passband
erfordert
mehr Datenpunkte
im Filterkern;
ebenso ein Filter
mit besserer
Stoppband-Unterdrückung.
Bessere Resultate erhält man, wenn
man diesen beschnittenen Filterkern
mit einem 13 Punkte weiten
Hamming-Window der Form:
0.54-0.46*COS(2*N*π/12) multipliziert;
N läuft dabei von 0 bis 12.
Figur 3b zeigt diesen neuen Filterkern,
zusammen mit der dazugehörigen
Zeitfunktion (Figur 3b1). Die
Welligkeit ist jetzt verschwunden,
und über die je 8 äussersten Punkte
beträgt die Filterdämpfung 30 dB.
Tabelle 1 illustriert die implizierten
numerischen Werte.
Das neue Filter erfordert noch blosse
drei Multiplikationen pro Datenpunkt:
Figure 2
breiter ist, je enger der herauszufilternde
Frequenzbereich ist. Dies
entspricht der bekannten Reziprozität
der Fourier-Transformation: Ausgedehnte
Merkmale im Zeitbereich
entsprechen feinen Strukturen im
Frequenzbereich, und umgekehrt.
Rechenaufwand
Der Rechenaufwand eines Digitalfilters
im Zeitbereich ergibt sich aus
der Anzahl zu multiplizierenden Datenwerte:
S(t) = ∑
s(t − i) ∗ f(i)
Der günstigste Fall,
d.h. der kürzeste
und am schnellsten
abfallende Filterkern
im Zeitbereich,
ergibt sich
für die Halbierung
des Frequenzbereiches.
Ein zusätzlicher
Bonus bei
diesem Filterkern
ist seine maximale
Anzahl an Nullstellen,
d.h. jeder
zweite Wert des
Filterkerns ist Null.
Dieser Filterkern
hat bloss 17 Elemente,
und nachdem
der Filterkern
gerade und sein
Zentralelement =1 ist, erfordert er
nur 8 Multiplikationen pro Datenpunkt,
auf eine Länge von total 32
Punkten.
Um den Rechenaufwand einzuschränken
möchten wir diesen Filterkern
aber noch weiter verkürzen. Figur 3a
zeigt einen auf 5 Elemente links und
rechts des Zentrums beschnittenen
Halbfrequenz-Tiefpass-Kern, sowie
die dazugehörige Zeitfunktion (Figur
3a1). Diese hat aber eine ausgeprägte
Welligkeit sowohl im Passband als
auch im Stoppband, was das Filter
ziemlich unbrauchbar macht.
S(t) = 0.0165605*(s(t)+s(t-10))
-0.11125884*(s(t-2)+s(t-8))
+0.59546548*(s(t-4)+s(t-6)) + s(t-5)
→ Nur jeder zweite Datenpunkt wird
berechnet (Dezimierung der Datenrate
für die halbierte Bandbreite).
→ Netto-Rechenaufwand für die Halbierung
der Bandbreite: 1.5 Multiplikationen
pro ursprünglichen Datenpunkt!
Filterkaskade
Das derart erhaltene Filter hat eine
gute Stoppband-Dämpfung im äussersten
Viertel des Frequenzbereiches,
und eine ausgezeichnete
Durchlass-Charakteristik im innersten
Viertel des Frequenzbereiches.
Die mittleren zwei Viertel der Filter-
Charakteristik enthalten eine Übergangszone,
die bei der Dezimierung
auf sich selbst zurückgefaltet wird,
und damit die äussere Hälfte des
aus der Dezimierung resultierenden
halben Frequenzbereiches kontaminiert.
Da jedoch die innere Hälfte des
dezimierten Frequenzbereiches
nicht kontaminiert ist, kann man
Frequenzbereich erneut nach dem
gleichen Schema halbieren, und
diese Methode im gleichen Sinne
weiter iterieren, bis der innere, gute
38 HBradio 6/2012