Lernzettel Nr. 4 - guennet.de

MATH
Lernzettel Nr. 4
- Ableitungsregeln
1. Kettenregel
Die Kettenregel wird benötigt, um geschachtelte Funktionen abzuleiten.
Dabei gilt:
Bsp.:
f x = e sin ⁡(x 4 )
f x = u v x
f ′ x = u ′ v x ∗ v ′ (x)
f ′ x = e sin ⁡(x 4) ∗ cos x 4 ∗ 4x 3
2. Produktregel
Die Produktregel wird benötigt, um Produkte abzuleiten.
Dabei gilt:
f x = u(x) ∗ v(x)
f ′ x = u ′ (x) ∗ v(x) + u(x) ∗ v ′ (x)
Bsp.:
f x = e x 4 3
∗ 3x 2
€€€€
f ′ x = 4x 3 e x 4 3
∗ 3x 2
+ e x 4 ∗
1
3 ∗ 6x
3 9x 4
3. Quotientenregel
Die Quotientenregel wird benötigt, um einen Quotienten abzuleiten.
Dabei gilt:
f x = u(x)
v(x)
f ′ x = u′ x ∗ v x − u x ∗ v ′ (x)
v(x) 2
Bsp.:
f ′ x =
f ′ x =
f x =
x
x 2 + 2
x 2 + 2 − x ∗ 1 2 x2 + 2 − 1 2 ∗ 2x
x 2 + 2
x 2 + 2
x 2 + 2 − x2 x 2 + 2 − 1 2
x 2 + 2
f ′ x = x2 + 2
(x 2 + 2) 2 3
−
x 2
(x 2 + 2) 2 3
Ableiten von speziellen Funktionen (teilweise mit Parameter)
a) f t x = 7x 2 + tx
f t
′
x = 14x + t
b) f t x = e tx 2
x = e tx 2 ∗ 2tx
c) f x = ln 4x 2
f t
′
f ′ x = 1
4x 2 ∗ 8x = 2 x
© Stefan Pielsticker und Hendrik-Jörn Günther
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d) f x = sin x 2
f ′ x = cos x 2 ∗ 2x
e) f x = cos x 3
f ′ x = − sin x 3 ∗ 3x 2
f) f t x = 5tx 5 = 5tx 5 1 2
′
1
f t x =
2 5tx ∗ 5 25tx4
Lernzettel Nr. 4
- Berechnung des Parameters anhand von gegebenen Information
a) Gegeben ist die Funktion f t x = 2x 2 + tx + 4. Wie muss t gewählt werden, damit die
Funktion an der Stelle x = 2 eine Extremstelle hat?
Ableitung bilden:
x = 4x + t
An der Stelle x = 2 muss diese den Wert null besitzen, da sie sonst keine Extremstelle
′
ist. f t 2 = 0
0 = 8 + t
t = −8
Wenn der Parameter tauf -8 gesetzt wird, hat die Funktion an der Stelle 2 ein Minimum.
b) Gegeben sind zwei Funktionen f t x = 7x 2 + 2tx + 2 und g x = 3x + 2. Wie muss t
gewählt werden, damit sich die Funktionen auf der y-Achse orthogonal schneiden?
Steigung der Geraden an der Stelle x = 0 bestimmen
g ′ 0 = 3
Steigung der Orthogonalen am Schnittpunkt, also der y-Achse, bestimmen:
′
f t 0 = − 1
g ′ 0 = − 1 3
Ableitung der Funktion f bilden:
′
f t x = 14x + 2t
′
f t 0 = 2t
Gleichsetzen und nach t umformen:
f t
′
2t = − 1 3
t = − 1 6
Wenn t = − 1 gewählt wird, schneiden sich die beiden Graphen orthogonal auf der y-
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Achse.
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- Vollständige Kurvendiskussion
Lernzettel Nr. 4
Führen Sie eine vollständige Kurvendiskussion für die Funktion f x = sin⁡(t + x) durch.
1. Skizze des Graphen:
2. Definitionsbereich: D = {x ∈ R}, da sowohl sinus und t+x keine Definitionslücke haben.
3. Wertemenge: W = y ∈ R; −1 ≤ y ≤ 1
4. Nullpunkte:
f x = 0
sin x + t = 0|dies ist der Fall, wenn x + t = n ∗ π, n ∈ Z
x + t = n ∗ π
x = n ∗ π − t
Einsetzen in Ursprungsgleichung:
f n ∗ π − t = sin⁡(t + n ∗ π − t)
= sin n ∗ π = 0
Die Nullpunkte liegen bei n ∗ π − t 0 , n ∈ Z
5. Y-Achsenabschnitt:
f 0 = sin t + 0
y = sin t
Bei (0/sin t) schneidet der Graph die y-Achse.
6. Symmetrieüberprüfung:
a. Überprüfung auf Achsensymmetrie:
f x = f −x
sin t + x = sin t − x |sin −1
t + x = t − x Falsche Aussage keine Achsensymmetrie
b. Überprüfung auf Punktsymmetrie:
f −x = −f x
sin t − x = − sin t + x |sin −1
t − x = −t − x | ∗ (−1)
−t + x = t + x; Nur wahre Aussage, wenn t=0. Also punktsymmetrisch, wenn t=0.
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Lernzettel Nr. 4
7. Extrema
Notwendige Bedingung, dafür dass es Extremstellen gibt: f ′ x = 0.
f x = sin t + x
f ′ x = cos t + x
0 = cos (t + x), dieses ist der Fall bei π + n ∗ π ; n ∈ Z
2
π
+ n ∗ π = t + x
2
x = π + n ∗ π − t
2
Es müsste Extrema bei π + n ∗ π − t geben. Die Überprüfung erfolgt durch die
2
Hinreichende Bedingung: f ′′ x ≠ 0, f ′ x = 0
f ′′ x = − sin t + x
f ′′ π 2 + n ∗ π − t = − sin t + π + n ∗ π − t
2
= −sin⁡( π + n ∗ π) ≠ 0 Extrema liegen vor.
2
Es gibt unendlich viele Hochpunkte bei π − t + 2n ∗ π, n ∈ Z. Es muss +2n gerechnet
2
werden, da der Hochpunkt jeweils nur bei einer vollen, ganzen Periode auftritt.
Es gibt unendlich viele Tiefpunkte bei – π − t + 2n ∗ π, n ∈ Z. Es muss +2n gerechnet
2
werden, weil der Tiefpunkt jeweils nur bei einer vollen, halben Periode auftritt.
8. Monotonieverhalten:
Bedingung: f ′ x > 0 für streng monoton fallend auf einem Intervall
f ′ x = cos t + x
0 < cos t + x
Dieses ist der Fall auf [n ∗ π n = 0,3,6, … ]
2
Bedingung: f ′ x < 0für streng monoton fallend auf einem Intervall
f ′ x = cos t + x
0 > cos t + x
Dieses ist der Fall auf [n ∗ π 2
n = 1,5,7, … ]
9. Wendestellen
Notwendige Bedingung: f ′′ x = 0
0 = −sin⁡(x + t), dieses die der Fall, wenn n ∗ π, n ∈ Z
n ∗ π = x + t
x = n ∗ π − t
Es müsste Wendestellen bei x = n ∗ π − t geben. Die Überprüfung erfolgt durch die
Hinreichende Bedingung: f ′′′ x ≠ 0, f ′′ x = 0
f ′′′ x = − cos t + x
f ′′′ n ∗ π − t = − cos(t + n ∗ π − t)
= −cos⁡(n ∗ π) ≠ 0; Wendestellen liegen vor.
Wendepunkte berechnen durch Einsetzten des x-Wertes in Ausgangsgleichung:
f n ∗ π − t = sin t + n ∗ π − t
= sin n ∗ π = 0
Die Wendepunkte bestehen bei n ∗ π − t, 0 , n ∈ Z.
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Lernzettel Nr. 4
10. Randverhalten
Da der Graph von sinus periodisch, also regelmäßig wiederkehrend verläuft, ist eine nähere
Betrachtung unmöglich.
- Modellierungsproblem:
Eine neue Autobahn soll zwei bestehende Autobahn verbinden. Die alten Autobahnen
werden durch die Graphen f x = x 3 und g x = 2x 2 + 2beschrieben. Die neue Autobahn
soll von x=0 der Autobahn, die durch g x beschrieben wird, beginnen und letztendlich bei
x=2 in die alte Autobahn, die von f(x)beschrieben wird, münden- Dies soll dabei
krümmungsfrei geschehen.
1. Zunächst einmal bedeutet krümmungsfrei, dass die neue und alte Funktion dieselben
Werte der ersten und zweiten Ableitung (und natürlich den Funktionswert) besitzen.
Dazu bestimmt man zunächst die Werte der Funktion und Ableitungen an den
entsprechenden Stellen:
Dabei muss f(x) an der Stelle x=2 evaluiert werden und g x an der Stelle x=0:
f(x)
g(x)
Funktion x 3 2x 2 + 2
Funktionswert f 2 = 8 g 0 = 2
1. Ableitung f ′ x = 3x 2 g ′ x = 4x
1. Ableitungswert f ′ 2 = 12 g ′ 0 = 0
2. Ableitung f ′′ x = 6x g ′′ x = 4
2. Ableitungswert f ′′ 2 = 12 g ′′ 0 = 4
Da man nun 6 Werte erhält, kann man eine Funktion 5.Grades erhalten. Diese muss nun
in der ersten und zweiten Ableitung zusätzlich mit den obrigen Funktionen
übereinstimmen. Die neue Funktion wird allgemein lauten:
x = ax 5 + bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f
′ x = 5ax 4 + 4bx 3 + 3cx 2 + 2dx + e
′′ x = 20ax 3 + 12bx 2 + 6cx + 2d
Man erhält somit ein Gleichungssystem mit 6 unbekannten:
I 8 = 32a + 16b + 8c + 4d + 2e + f Für f(2)=h(2)
II 2 = f Für g(0)=h(0)
III 12 = 80a + 32b + 12c + 4d + e Für f‘(2)=h‘(2)
IV 0 = e Für g‘(0)=h‘(2)
V 12 = 160a + 48b + 12c + 2d Für f‘‘(0)=h‘‘(0)
VI 4 = 2d Für g‘‘(0)=h‘‘(0)
Dieses Gleichungssystem werden mit dem Taschenrechner wie folgt eingegeben:
EQUA_SIML_F5_einzelne Gleichungen nach obigen Format eingeben_F1_Ergebnisse aufnehmen
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Als Lösung erhält man:
Lernzettel Nr. 4
Der Graph schaut dann folgendermaßen aus:
Der grüne Graph stellt die neue Funktion dar,
der krümmungsfrei aus g(x) [blau] in f(x) [rot]
verläuft.
x = 0,625x 5 + 3,375x 4 − 4,5x 3 + 2x 2 + 2
- Extremwertaufgaben
Wie müssen Radius und Höhe eine Dose mit 500ml Inhalt gewählt werden wenn der Verbrauch an
verwendetem Blech minimal sein soll.
Hauptbedingung: A = 2πr(r + )
Nebenbedingung: V = πr 2
Nebenbedingung in Hauptbedingung einsetzen:
=
V
πr 2
A = 2πr r + V
πr 2
Werte einsetzen:
A = 2πr r + 500
πr 2
Diese Funktion kann nun beispielsweise mit dem GTR gezeichnet werden. Dabei wird die
Variable, also hier das r durch ein x ersetzt. Nun bestimmt man in unserm Fall das
Minimum der Funktion. Dies ist der Radius, bei dem die Fläche minimal ist. Bei
Extremwertaufgaben könne je nach gewählten Einheiten der Bezugsgrößen sehr große
Zahlen auftreten, was zur Folge hat, das unter Umständen ein sehr großes ViewWindow
zur Betrachtung des Graphen benötigt wird. (Taschenrechnerschreibweise:
GRAPH_2πr r + 500
πr 2 _EXE_SHIFT_F3_0_EXE_10_EXE_1_EXE_0_EXE_1000_
EXE_1_EXE_F6_F5_F3)
In unserem Fall erhält man
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Als Höhe gilt somit:
Lernzettel Nr. 4
min =
r min = 4,30 …
500
π 4,30 … 2 = 8,60 …
- Im Folgenden wiederholen wir nochmal die Integrationsregeln vom Lernzettel Nr. 3:
Wir gehen davon aus, dass allgemeine Integrationsregeln bekannt sind und wir gehen auf
spezielle Verknüpfungen ein.
1. Integration durch Substitution:
Beispiel:
5
−2
3x + 5 2 dx
Die rechts errechneten Werte werden nun
eingesetzt:
20
u 2 ∗ 1 3 du
−1
= 1 3
20
u 2 du
−1
f x = u v x
f ′ x = u ′ v x ∗ v ′ (x)
20
= 1 3 [u3 3 ] −1
= 1 8000
3 3 + 1 3
= 889
udu LEP REP
u=3x+5 u(-2)=-1 u(5)=20
du
dx = 3
dx = 1 3 du
2. Partielle Integration:
x 2 ∗ e x dx
Wie man erkennt, handelt es sich hierbei um eine Multiplikation von zwei Funktionen. Da
aber keine Funktion die Ableitung der anderen Funktion darstellt, muss partiell integriert
werden:
u ∗ v − v du
Durch Einsetzen erhält man:
= x 2 ∗ e x − e x ∗ 2x dx
Man stellt fest, dass dieses Integral wieder nicht aufgelöst werden kann, da die eine
Funktion keine Ableitung der anderen darstellt. Es muss erneut partiell integriert
werden:
= x 2 ∗ e x − (2x ∗ e x − e x ∗ 2 dx)
= x 2 ∗ e x − (2x ∗ e x − 2 e x dx
= x 2 ∗ e x − 2x ∗ e x + 2e x
e x (x 2 − 2x + 2)
u = x 2
du
dx = 2x
du = 2x dx
u = 2x
du
dx = 2
du = 2 dx
dv = e x
v = e x
dv = e x
v = e x
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Lernzettel Nr. 4
- Berechnung von Flächen zwischen Kurven
Gegeben sind zwei Funktionen f x = 3x 3 − x 2 − 10x und g x = −x 2 + 2x
Zunächst bestimmt man die Schnittpunkte der beiden Funktionen. Mit dem GTR erhält
man, dass diese bei x = −2; 0; 2 liegen. Die Fläche berechnet sich nun dadurch, dass
man jeweils das Integral der oberen Funktion von dem der unteren Funktion abzieht.
Da im Intervall von -2 bis 0 die x 3 -Funktion über der x 2 -Funktion liegt, gilt:
0
−2
0
A 1 = (3x 3 − x 2 − 10x − ( − x 2 + 2x)) dx )
= (3x 3 − 12x) dx
−2
= 3 4 x4 − 6x 2
0
−2
= 12
Im zweiten Intervall ist es umgekehrt, sodass gilt:
2
0
2
0
A 2 = ( − x 2 + 2x − (3x 3 − x 2 − 10x)) dx
= (−3x 3 + 12x) dx
= − 3 4 x4 + 6x 2 0
2
= 12
A Ges = A 1 + A 2 = 12 + 12 = 24
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