Lernzettel 3 - guennet.de
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MATH Mathelernzettel Nr.3 1. Herleitung und Beweis: Produktregel der Differentialrechnung: f ∗ g ′ x = f x ∗ g ′ x + f ′ x ∗ g(x) Um nun zu integrieren, folgt: f x ∗ g x = f x ∗ g′ x dx + f ′ x ∗ g x dx | − f ′ x ∗ g x dx f x ∗ g′ x dx = f x ∗ g x − f ′ x ∗ g x dx Wenn gilt: f x = u und g x = v: u ∗ dv = uv − v ∗ du • Tipps für Partielle Integration Versuch, vom Integranden du als schwierigsten Teil zu wählen, sodass v eine einfach abzuleitende Funktion ist. 2. Beispiele: Finde das Integral von xe x dx. - Produkt - Anwenden der Substitutionsregel nicht möglich, da neue Variable eingeführt werden müsste (x) - Partielles Integrieren - Um integrieren zu können, muss in die Form u ∗ dv eingeteilt werden: a. Auswählen von v und du. Prinzipiell sind folgende Varianten zu denken: x e x dx oder e x x dx oder 1 xe x dx oder xe x dx u dv u dv u dv u dv Es lässt sich nun feststellen, dass Variante 1 am besten ist, weil e x sehr einfach zu integrieren ist und x sehr einfach zu abzuleiten ist. Man wählt also: u = x du = 1 dx dv = e x dx v = e x dx = e x © Stefan Pielsticker und Hendrik-Jörn Günther 6
Mathelernzettel Nr.3 MATH Diese errechneten Werte werden nun in die oben hergeleitete Formel eingesetzt: u ∗ dv = uv − v ∗ du xe x dx = x ∗ e x − e x 1 dx Nun muss man nur noch integrieren und erhält: x ∗ e x − e x + C. Zum Überprüfen dieses Integrals lässt sich nun die Ableitung bilden und man erhält: xe x , welches der Ausgangsfunktion entspricht. Unter Umständen kann es vorkommen, dass man innerhalb einer partiellen Integration ein weiteres Mal partiell integrieren muss 1. Finde das Integral von: x 3 e x dx Hier muss definitiv mit partieller Integration gelöst werden. x 3 e x dx u ∗ v − v du u = x 3 du = 3x 2 dx dv = e x dx v = e x x 3 ∗ e x − e x 3x 2 dx Da hier wieder beim Integrieren eine Variable eingefügt werden müsste (genauer: ein x 2 sollte man wieder partiell integrieren): e x 3x 2 dx u = 3x 2 du = 6x dx dv = e x dx v = e x 3x 2 ∗ e x − e x 6x dx Da hier beim Integrieren wieder eine Variable (genauer: x) eingefügt werden müsste, muss iweder paritell integriert werden (es geht aber ab hier auch mit Integration durch Substitution) e x 6x dx u = 6x du = 6 dx dv = e x dx v = e x 6x ∗ e x − e x 6 dx Somit folgt: x 3 e x dx = x 3 ∗ e x − 3x 2 ∗ e x − 6x ∗ e x − e x 6 dx © Stefan Pielsticker und Hendrik-Jörn Günther 7
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- Seite 3 und 4: MATH Bestimmung eines Integrals f x
- Seite 5: MATH Mathelernzettel Nr.3 Umkehrung
Mathelernzettel Nr.3<br />
MATH<br />
Diese errechneten Werte wer<strong>de</strong>n nun in die oben hergeleitete Formel eingesetzt:<br />
u ∗ dv = uv − v ∗ du<br />
xe x dx = x ∗ e x − e x 1 dx<br />
Nun muss man nur noch integrieren und erhält:<br />
x ∗ e x − e x + C.<br />
Zum Überprüfen dieses Integrals lässt sich nun die Ableitung bil<strong>de</strong>n und man erhält: xe x , welches<br />
<strong>de</strong>r Ausgangsfunktion entspricht.<br />
Unter Umstän<strong>de</strong>n kann es vorkommen, dass man innerhalb einer partiellen Integration ein weiteres<br />
Mal partiell integrieren muss<br />
1. Fin<strong>de</strong> das Integral von: x 3 e x dx<br />
Hier muss <strong>de</strong>finitiv mit partieller Integration gelöst wer<strong>de</strong>n.<br />
x 3 e x dx<br />
u ∗ v − v du<br />
u = x 3<br />
du = 3x 2 dx<br />
dv = e x dx<br />
v = e x<br />
x 3 ∗ e x − e x 3x 2 dx<br />
Da hier wie<strong>de</strong>r beim Integrieren eine Variable eingefügt wer<strong>de</strong>n müsste (genauer: ein x 2 sollte man<br />
wie<strong>de</strong>r partiell integrieren):<br />
e x 3x 2 dx<br />
u = 3x 2<br />
du = 6x dx<br />
dv = e x dx<br />
v = e x<br />
3x 2 ∗ e x − e x 6x dx<br />
Da hier beim Integrieren wie<strong>de</strong>r eine Variable (genauer: x) eingefügt wer<strong>de</strong>n müsste, muss iwe<strong>de</strong>r<br />
paritell integriert wer<strong>de</strong>n (es geht aber ab hier auch mit<br />
Integration durch Substitution)<br />
e x 6x dx<br />
u = 6x<br />
du = 6 dx<br />
dv = e x dx<br />
v = e x<br />
6x ∗ e x − e x 6 dx<br />
Somit folgt:<br />
x 3 e x dx = x 3 ∗ e x − 3x 2 ∗ e x − 6x ∗ e x − e x 6 dx<br />
© Stefan Pielsticker und Hendrik-Jörn Günther<br />
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