Lernzettel 3 - guennet.de
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MATH<br />
Mathelernzettel Nr.3<br />
1. Herleitung und Beweis:<br />
Produktregel <strong>de</strong>r Differentialrechnung:<br />
f ∗ g ′ x = f x ∗ g ′ x + f ′ x ∗ g(x)<br />
Um nun zu integrieren, folgt:<br />
f x ∗ g x = f x ∗ g′ x dx +<br />
f ′ x ∗ g x dx | − f ′ x ∗ g x dx<br />
f x ∗ g′ x dx = f x ∗ g x − f ′ x ∗ g x dx<br />
Wenn gilt: f x = u und g x = v:<br />
u ∗ dv = uv − v ∗ du<br />
• Tipps für Partielle Integration<br />
Versuch, vom Integran<strong>de</strong>n du als schwierigsten Teil zu wählen, sodass v eine<br />
einfach abzuleiten<strong>de</strong> Funktion ist.<br />
2. Beispiele:<br />
Fin<strong>de</strong> das Integral von<br />
xe x dx.<br />
- Produkt<br />
- Anwen<strong>de</strong>n <strong>de</strong>r Substitutionsregel nicht möglich, da neue Variable<br />
eingeführt wer<strong>de</strong>n müsste (x)<br />
- Partielles Integrieren<br />
- Um integrieren zu können, muss in die Form u ∗ dv eingeteilt<br />
wer<strong>de</strong>n:<br />
a. Auswählen von v und du. Prinzipiell sind folgen<strong>de</strong> Varianten zu <strong>de</strong>nken:<br />
x e x dx o<strong>de</strong>r e x x dx o<strong>de</strong>r 1 xe x dx o<strong>de</strong>r xe x dx<br />
u dv u dv u dv u dv<br />
Es lässt sich nun feststellen, dass Variante 1 am besten ist, weil e x sehr einfach zu<br />
integrieren ist und x sehr einfach zu abzuleiten ist. Man wählt also:<br />
u = x du = 1 dx<br />
dv = e x dx v = e x dx = e x<br />
© Stefan Pielsticker und Hendrik-Jörn Günther<br />
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