Lernzettel 3 - guennet.de

MATH
Berechnung der Ober- und Untersumme
f x = x 2 + 3 auf dem Intervall [0,2]
1. Zuerst muss ∆x berechnet werden.
b − a
∆x =
n
∆x = 2 − 0
n
Mathelernzettel Nr.3
∆x = 2 n
2. Bei dieser Funktion ist die Obersumme durch die
Verwendung der Rechten Intervallenden und die
Untersumme durch die Verwendung der Linken
Intervallenden berechnet werden.
Linkes Intervallende
Rechtes Intervallende
M i = a + (i − 1)∆x
m i = a + i∆x
= 0 + (i − 1) 2 n
= 0 + i 2 n
3. Berechnung der Obersumme S n 4. Berechnung der Untersumme
lim
n→∞
lim
n→∞
lim
n→∞
lim
n→∞
n
i=1
n
i=1
n
i=1
n
f m i ∆x
2i
n
8i 2
i=1
n
4i 2
n 2
2
n 3 + 6 n
8
lim
n 3 i2 +
n→∞
i=1
+ 3 2 n
+ 3 2 n
n
i=1
6
n
8 n n + 1 2n + 1
lim
n→∞ n 3 + 6
6
8 2n 3 + 3n 2 + n
lim
n→∞ n 3
+ 6
6
16n 3
lim
n→∞ 6n 3 + 24n2
6n 3 + 8n
6n 3 + 6
16
6 + 6
26
3
lim
n→∞
lim
n→∞
lim
n→∞
lim
n→∞
lim
n→∞
lim
n
i=1
n
i=1
n
i=1
n
i=1
n
i=1
n
8
f M i ∆x
n→∞ n 3 i2
i=1
(i − 1) 2 n
( 2i
n − 2 n
2
2
+ 3 2 n
+ 3 2 n
4i 2
n 2 − 8i
n 2 + 4 n 2 + 3 2 n
8i 2
n 3 − 16i
n 3 + 8 n 3 + 6 n
+ 16
n 3
n
i=1
n
i + 8 8
n 3 +
n 3
i=1
n
i=1
8 + 3n 2 + n
lim
n 3 (2n3 ) − 16 n 2 + n
6 n 3 + 8 2 n 2 + 6
n→∞
16n 3
lim
n→∞ 6n 3 + 24n2
6n 3 + 8n
6n 3 − 16n2
2n 3
16
6 + 6
26
3
6
n
− 16n
2n 3 + 8 n 2 + 6
Wichtige Formeln:
n
i=1
n
cn = c i =
i=1
n n + 1
6
n
i=1
i 2 =
n n + 1 2n + 1
6
n
i=1
i 3
= n2 n + 1 2
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© Stefan Pielsticker und Hendrik-Jörn Günther
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