Lernzettel 3 - guennet.de

MATH
Kurvendiskussion
Mathelernzettel Nr.3
Gegebene Funktion:
f x = x 3 − 3x 2 − 10x + 24
f ′ x = 3x 2 − 6x − 10
f ′′ x = 6x − 6
1. Y-Achsenabschnitt
Man setze für x = 0 ein und löse nach y auf.
y = 0 3 − 3 ∗ 0 2 − 10 ∗ 0 + 24
y = 24
Der Y-Achsenabscnitt ligt bei 24
2. Nullstellenberechnung
Man setze f x = 0 und löse nach x auf. GTR:
0 = x 3 − 3x 2 − 10x + 24
Lösen mit GTR oder Polynomdivision
x 1 = 4 ; x 2 = −3 ; x 3 = 2
3. Extremstellen
Um die Extremstellen zu bestimmen, muss die Funktion f(x) ableitbar sein. Nun setze man
f ′ x = 0 und löse widerum nach x auf.
0 = 3x 2 − 6x − 10
x 1 = −1,08 ; x 2 = 3,08
GRAPHFunktion eintippen DRAWG-SolvROOT
EQUASolverFunktion eintippen oder aus GRAPH ladenSOLV
Überprüfung mit dem Vorzeichenwechselkriterium
f ′ −2 > f ′ (−1,08) > f ′ −1 => Maximum
f ′ 3 < f ′ 3,08 < f ′ 4 => Minimum
4. Wendestellen
Um die Wendestellen zu bestimmen, muss die Funktion f(x) zweimal ableitbar sein. Nun
setze man f ′′ x = 0 und löse nach x auf.
0 = 6x − 6
x = 1
Die Wendestelle liegt an der Stelle 1
5. Grad der Funktion
Die Grad der Funktion lässt sich einfach bestimmen. Er lässt sich durch die höchste Potenz
der Funktion beschreiben.
6. Definitionsmenge
Die Definitionsmenge beschreibt die Menge an Zahlen, die für x eingesetzt werden dürfen.
In unserem Fall gilt: D f = R
7. Wertemenge
Die Wertemenge gibt an, welche Ergebnisse für y herauskommen dürfen.
In unserem Fall gilt: W f = R
8. Symmetrie
GTR:
GRAPHFunktion eintippen
DRAWG-SolvMAX oder MIN
© Stefan Pielsticker und Hendrik-Jörn Günther
1

MATH
Mathelernzettel Nr.3
Es gibt zwei Arten von Symmetrie, die untersucht werden müssen, Achsen und
Punktsymmetrie. Um zu testen, ob ein Graph eine Symmetrie hat, setzt wendet man
folgendes an:
f 1 = f −1 => Acsensymmetrie an der x − Acse
f 1 = −f −1 => Punktsymmetrie am Koordinatenursprung
Ableitungsregeln
1. Kettenregel
Die Kettenregel wird benötigt, um geschachtelte Funktionen abzuleiten.
Dabei gilt:
Bsp.:
f x = e sin ⁡(x 4 )
f x = u v x
f ′ x = u ′ v x ∗ v ′ (x)
f ′ x = e sin ⁡(x 4) ∗ cos x 4 ∗ 4x 3
2. Produktregel
Die Produktregel wird benötigt, um Produkte abzuleiten.
Dabei gilt:
f x = u(x) ∗ v(x)
f ′ x = u ′ (x) ∗ v(x) + u(x) ∗ v ′ (x)
Bsp.:
f x = e x 4 3
∗ 3x 2
f ′ x = 4x 3 e x 4 3
∗ 3x 2
+ e x 4 ∗
1
3 ∗ 6x
3 9x 4
3. Quotientenregel
Die Quotientenregel wird benötigt, um einen Quotienten abzuleiten.
Dabei gilt:
f x = u(x)
v(x)
f ′ x = u′ x ∗ v x − u x ∗ v ′ (x)
v(x) 2
Bsp.:
f ′ x =
f ′ x =
f x =
x
x 2 + 2
x 2 + 2 − x ∗ 1 2 x2 + 2 − 1 2 ∗ 2x
x 2 + 2
x 2 + 2
x 2 + 2 − x2 x 2 + 2 − 1 2
x 2 + 2
x 2
f ′ x = x2 + 2
(x 2 + 2) 2 −
3 (x 2 + 2) 2 3
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MATH
Bestimmung eines Integrals
f x = 1 3 x2 Intervall: 2; 5
5 1
(
2 3 x2 ) ∗ dx = x 3 5 2 = 5 3 − 2 3 = 117
Mathelernzettel Nr.3
f ′ 2
x =
(x 2 + 2) 2 3
GTR:
GRAPHFunktion
eintippenDRAWG-
Solv dxuntere Grenze
auswählen(Trace)EXEobere
Grenze AuswählenEXE
Berechnung der Bogenlänge innerhalb eines Intervalls
Allgemein gilt: b
1 + f ′ x 2
a
Bsp.: f x = 2x 2 − 4x + 3 Intervall: 1; 2
2
1
s = 1 + 4x − 4 2 ∗ dx => GTR oder Partielles Integrieren
s = 2,32
RUNOPTNCALC dxFunk
tion eintippen,untere
Grenze,obere
Grenze)EXE
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MATH
Berechnung der Ober- und Untersumme
f x = x 2 + 3 auf dem Intervall [0,2]
1. Zuerst muss ∆x berechnet werden.
b − a
∆x =
n
∆x = 2 − 0
n
Mathelernzettel Nr.3
∆x = 2 n
2. Bei dieser Funktion ist die Obersumme durch die
Verwendung der Rechten Intervallenden und die
Untersumme durch die Verwendung der Linken
Intervallenden berechnet werden.
Linkes Intervallende
Rechtes Intervallende
M i = a + (i − 1)∆x
m i = a + i∆x
= 0 + (i − 1) 2 n
= 0 + i 2 n
3. Berechnung der Obersumme S n 4. Berechnung der Untersumme
lim
n→∞
lim
n→∞
lim
n→∞
lim
n→∞
n
i=1
n
i=1
n
i=1
n
f m i ∆x
2i
n
8i 2
i=1
n
4i 2
n 2
2
n 3 + 6 n
8
lim
n 3 i2 +
n→∞
i=1
+ 3 2 n
+ 3 2 n
n
i=1
6
n
8 n n + 1 2n + 1
lim
n→∞ n 3 + 6
6
8 2n 3 + 3n 2 + n
lim
n→∞ n 3
+ 6
6
16n 3
lim
n→∞ 6n 3 + 24n2
6n 3 + 8n
6n 3 + 6
16
6 + 6
26
3
lim
n→∞
lim
n→∞
lim
n→∞
lim
n→∞
lim
n→∞
lim
n
i=1
n
i=1
n
i=1
n
i=1
n
i=1
n
8
f M i ∆x
n→∞ n 3 i2
i=1
(i − 1) 2 n
( 2i
n − 2 n
2
2
+ 3 2 n
+ 3 2 n
4i 2
n 2 − 8i
n 2 + 4 n 2 + 3 2 n
8i 2
n 3 − 16i
n 3 + 8 n 3 + 6 n
+ 16
n 3
n
i=1
n
i + 8 8
n 3 +
n 3
i=1
n
i=1
8 + 3n 2 + n
lim
n 3 (2n3 ) − 16 n 2 + n
6 n 3 + 8 2 n 2 + 6
n→∞
16n 3
lim
n→∞ 6n 3 + 24n2
6n 3 + 8n
6n 3 − 16n2
2n 3
16
6 + 6
26
3
6
n
− 16n
2n 3 + 8 n 2 + 6
Wichtige Formeln:
n
i=1
n
cn = c i =
i=1
n n + 1
6
n
i=1
i 2 =
n n + 1 2n + 1
6
n
i=1
i 3
= n2 n + 1 2
4
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MATH
Mathelernzettel Nr.3
Umkehrung der Kettenregel: Integration durch Substitution:
Wie bekannt lautet die Kettenregel zur Differentialrechnung:
f x = u v x
f ′ x = u ′ v x ∗ v ′ (x)
Dementsprechend muss auch die Funktion, die man integrieren möchte, muss die Kettenregel erfüllt
sein.
3
−2
2x − 4 5
u du Linker Endp. Rechter End.
u = 2x − 4
du
dx = 2
u −2 = −8 u 3 = 2
Nun muss man folgende Schritte durchlaufen
(Tab.)
1. Umschreiben durch ersetzen:
u(3)
u(−2
dx = du 2
u 5 du 2
Nun kann man einfach die Konstante herausnehmen und erhält:
2
1
u 5 du
2 −8
Durch Integration erhält man:
1
2 [u6 6 ] 2
−8
1
12 [u6 2
] −8
1
12 [ 2 6 — (−8) 6 ]
21840
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MATH
Mathelernzettel Nr.3
1. Herleitung und Beweis:
Produktregel der Differentialrechnung:
f ∗ g ′ x = f x ∗ g ′ x + f ′ x ∗ g(x)
Um nun zu integrieren, folgt:
f x ∗ g x = f x ∗ g′ x dx +
f ′ x ∗ g x dx | − f ′ x ∗ g x dx
f x ∗ g′ x dx = f x ∗ g x − f ′ x ∗ g x dx
Wenn gilt: f x = u und g x = v:
u ∗ dv = uv − v ∗ du
• Tipps für Partielle Integration
Versuch, vom Integranden du als schwierigsten Teil zu wählen, sodass v eine
einfach abzuleitende Funktion ist.
2. Beispiele:
Finde das Integral von
xe x dx.
- Produkt
- Anwenden der Substitutionsregel nicht möglich, da neue Variable
eingeführt werden müsste (x)
- Partielles Integrieren
- Um integrieren zu können, muss in die Form u ∗ dv eingeteilt
werden:
a. Auswählen von v und du. Prinzipiell sind folgende Varianten zu denken:
x e x dx oder e x x dx oder 1 xe x dx oder xe x dx
u dv u dv u dv u dv
Es lässt sich nun feststellen, dass Variante 1 am besten ist, weil e x sehr einfach zu
integrieren ist und x sehr einfach zu abzuleiten ist. Man wählt also:
u = x du = 1 dx
dv = e x dx v = e x dx = e x
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Mathelernzettel Nr.3
MATH
Diese errechneten Werte werden nun in die oben hergeleitete Formel eingesetzt:
u ∗ dv = uv − v ∗ du
xe x dx = x ∗ e x − e x 1 dx
Nun muss man nur noch integrieren und erhält:
x ∗ e x − e x + C.
Zum Überprüfen dieses Integrals lässt sich nun die Ableitung bilden und man erhält: xe x , welches
der Ausgangsfunktion entspricht.
Unter Umständen kann es vorkommen, dass man innerhalb einer partiellen Integration ein weiteres
Mal partiell integrieren muss
1. Finde das Integral von: x 3 e x dx
Hier muss definitiv mit partieller Integration gelöst werden.
x 3 e x dx
u ∗ v − v du
u = x 3
du = 3x 2 dx
dv = e x dx
v = e x
x 3 ∗ e x − e x 3x 2 dx
Da hier wieder beim Integrieren eine Variable eingefügt werden müsste (genauer: ein x 2 sollte man
wieder partiell integrieren):
e x 3x 2 dx
u = 3x 2
du = 6x dx
dv = e x dx
v = e x
3x 2 ∗ e x − e x 6x dx
Da hier beim Integrieren wieder eine Variable (genauer: x) eingefügt werden müsste, muss iweder
paritell integriert werden (es geht aber ab hier auch mit
Integration durch Substitution)
e x 6x dx
u = 6x
du = 6 dx
dv = e x dx
v = e x
6x ∗ e x − e x 6 dx
Somit folgt:
x 3 e x dx = x 3 ∗ e x − 3x 2 ∗ e x − 6x ∗ e x − e x 6 dx
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MATH
Durch Integration erhält man:
Mathelernzettel Nr.3
x 3 e x dx = x 3 ∗ e x − 3x 2 ∗ e x − 6x ∗ e x − 6 ∗ e x
Durch Ausklammern erhält man:
x 3 e x dx = e x (x 3 − 3x 2 − 6x − 6)
Eine Weitere Variante, wie man partielles Integrieren anwenden kann, liegt darin, dass man die
Gleichung, die dabei entsteht:
e x cos x dx
u = cos x
du = − sin x dx
dv = e x dx
v = e x
e x cos x dx = cos x e x + e x (sin x)dx
Es muss wieder partiell integriert werden:
e x (− sin x)dx
u = (sin x)
du = cos x dx
dv = e x dx
v = e x
e x (− sin x)dx = sin x ∗ e x − e x cos x dx
Durch einsetzen in die Ausgangsgleichung erhält man:
e x cos x dx = cos x e x + sin x ∗ e x − e x cos x dx |+ e x cos x dx
2 e x cos x dx = cos x ∗ e x + sin x ∗ e x |÷ 2
e x cos x dx = cos x ∗ ex + sin x ∗ e x
Somit wurde hier die Gleichung, die bei der partiellen Integration durch zweifaches partielles
Integrieren ausgenützt.
2
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