Partielle Integration - guennet.de

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Partielle Integration
UVVU – Das Ufo der Partiellen Integration
1. Herleitung und Beweis:
Produktregel der Differentialrechnung:
f ∗ g ′ x = f x ∗ g ′ x + f ′ x ∗ g(x)
Um nun zu integrieren, folgt:
f x ∗ g x = f x ∗ g′ x dx +
f ′ x ∗ g x dx | − f ′ x ∗ g x dx
f x ∗ g′ x dx = f x ∗ g x − f ′ x ∗ g x dx
Wenn gilt: f x = u und g x = v:
u ∗ dv = uv − v ∗ du
• Tipps für Partielle Integration
Versuch, vom Integranden du als schwierigsten Teil zu wählen, sodass v eine
einfach abzuleitende Funktion ist.
2. Beispiele:
Finde das Integral von
xe x dx.
- Produkt
- Anwenden der Substitutionsregel nicht möglich, da neue Variable
eingeführt werden müsste (x)
- Partielles Integrieren
- Um integrieren zu können, muss in die Form u ∗ dv eingeteilt
werden:
a. Auswählen von v und du. Prinzipiell sind folgende Varianten zu denken:
x e x dx oder e x x dx oder 1 xe x dx oder xe x dx
u dv u dv u dv u dv
Es lässt sich nun feststellen, dass Variante 1 am besten ist, weil e x sehr einfach zu
integrieren ist und x sehr einfach zu abzuleiten ist. Man wählt also:
u = x du = 1 dx
dv = e x dx v = e x dx = e x

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Partielle Integration
Diese errechneten Werte werden nun in die oben hergeleitete Formel
eingesetzt:
u ∗ dv = uv − v ∗ du
xe x dx = x ∗ e x − e x 1 dx
Nun muss man nur noch integrieren und erhält:
x ∗ e x − e x + C.
Zum Überprüfen dieses Integrals lässt sich nun die Ableitung bilden und man
erhält: xe x , welches der Ausgangsfunktion entspricht.
Unter Umständen kann es vorkommen, dass man innerhalb einer partiellen
Integration ein weiteres Mal partiell integrieren muss (s. Übungsaufgabe Nr. 2)
Weitere Übungsaufgaben:
1. Finde das Integral von: x 3 e x dx
LÖSUNG: e x x 3 − 3x 2 + 6x − 6 + C
2. Finde das Integral von: x 2 sin x dx
LÖSUNG: −x 2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + C