Skript - Institut für Geophysik, Universität Hamburg

Vorlesungsskript
Angewandte Geophysik I
Dirk Gajewski
1. März 2013
1

Inhaltsverzeichnis
1 Vorwort 6
2 Einführung 7
2.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Literaturempfehlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Bemerkungen zur Geschichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Bemerkungen zur ökonomischen Rechtfertigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Anregung seismischer Wellen 15
3.1 Das ideale Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Seismische Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Impulsquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4 Vibrationsanregung / Vibroseis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4.1 Sweep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4.2 Korrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4.3 Fazit Vibroseis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Richtwirkung von Quellen 27
5 Aufnahme seismischer Wellen 30
5.1 Das Geophon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2 Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.3 Die Übertragunsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.4 Der elektrodynamische Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.4.1 Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.5 Java-Applikation der TU Clausthal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6 System Boden/Geophon 39
6.1 Das Geophon als richtungsselektiver Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7 Geophon-Bündelung 42
7.1 Linearer gleichabständiger Geophonarray . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.1.1 Ungleiche Geophonabstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.1.2 Unterdrückung der seismischen Bodenunruhe: . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7.1.3 Flächenhafte Bündelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
8 Messwerterfassung 50
8.1 Quantisierung der Amplituden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8.1.1 Ganzzahl- Darstellung (integer Zahl) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8.2 Abtasten eines Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.3 Analoge Filterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2

9 Datenaufnahme / Akquisition 56
9.1 Arten von Geophonaufstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
9.2 Die Überdeckung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
9.2.1 Mehrfachüberdeckung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
9.2.2 Bemerkungen zum Reflexionspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.3 Seeseismische Messanordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
10 Seismische Zeit-Sektion (seismic time-section) 64
10.1 Darstellung von Seismogrammen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
10.2 Seismische Korrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
10.3 Darstellung der Amplituden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
10.3.1 “wahre” Amplituden (true amplitudes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
10.3.2 Normalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
10.3.3 Automatic Gain Control (AGC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
11 Seismische Wellen 72
11.1 Spannungs-Dehnungs-Beziehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
11.2 Querkontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
11.3 Scherspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
11.4 Relationen zwischen den elastischen Parametern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
11.5 Die Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
12 Wellen in geschichteten Medien 79
12.1 Grenzfläche zwischen zwei akustischen Halbräumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
12.2 Grenzfläche zwischen zwei elastischen Halbräumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
12.2.1 Einfallende P-Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
12.2.2 Einfallende SV-Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
12.3 Reflexions- und Transmissionskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
12.3.1 Reflexions- und Transmissionskoeffizient im geschichteten Medium . . . . . . 89
13 Petrophysikalische (Gesteinsphysikalische) Grundlagen 89
14 Laufzeitkurven reflektierter Wellen 91
14.1 Ein söhliger Reflektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
14.2 Ein geneigter Reflektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
14.2.1 Laufzeit im Scheitelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
14.3 n söhlige Reflektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
14.3.1 Entwicklung der Laufzeit in eine Potenzreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
14.3.2 parabolische Näherung für n söhlige Reflektoren . . . . . . . . . . . . . . . . 104
15 Laufzeitkurven in CMP-Koordinaten 105
15.1 Ein söhliger Reflektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
15.2 Ein geneigter Reflektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
15.3 Laufzeitkurve als Taylorentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3

15.4 Zusammenfassung Reflexionslaufzeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
15.5 Model Space und Image Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
16 Multiple Reflexionen 111
16.1 einfache Multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
17 Diffraktionen 114
18 Komplexe Modelle 117
19 Geschwindigkeitsbestimmung 118
19.1 t 2 -x 2 -Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
19.1.1 t-∆t-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
19.2 NMO-Korrektur oder dynamische Korrektur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
19.2.1 NMO-Stretch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
19.3 Durchschnittsgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
19.4 Intervallgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
19.4.1 Stapelgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
20 Automatische Geschwindigkeitsanalyse 133
20.1 constant velocity scan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
20.2 constant velocity stack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
20.3 Geschwindigkeitsspektren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
20.4 Zeit- und Geschwindigkeitsabhängige NMO-Korrektur . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
20.5 Einflussfaktoren der Geschwindigkeitsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
21 Stapelsektionen 143
21.1 Zero-Offset-Sektion und Exploding-Reflector-Sektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
22 Multi-Parameter Stapelmethode 147
22.1 Spezialfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
22.1.1 Zero-Offset Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
22.1.2 CMP Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
22.2 CRS Parameter Bestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
23 Migration 154
23.1 Prinzipien der Migration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
24 Statische Korrekturen 157
24.1 Einfluss der Topographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
24.2 Die Verwitterungsschicht (weathering layer) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
24.3 Statische Korrektur aus Aufzeitschießen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
24.4 Statische Korrektur aus Nahlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
24.5 Reststatische Korrekturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4

25 Anhang 164
25.1 SU-Kommandos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5

1 Vorwort
Dieses Skript basiert auf den Unterlagen zur Vorlesung Angewandte Seismik, die ich seit mehr als
20 Jahren regelmäßig durchführe. Erst im Diplomprogramm, nun im Bachelor. Die erste Version des
elektronischen Skripts wurde 2008 mit Unterstützung von Anja Lindenthal und Christina Raub erstellt,
die damals die Vorlesung hörten. Jonas Wagner und Mirko Crewonka haben Tippfehler und einige
inhaltliche Unstimmigkeiten korrigiert. Dennoch befindet sich das Skript noch im „Betastatus“ und
erfordert die tatkräftige Unterstützung der Studierenden, die bei der Durchsicht des Skripts weitere
zweifellos noch vorhandene Fehler finden. Daher meine Bitte: Schicken Sie mir Ihre Korrekturen, um
das Skript in naher Zukunft in einen „Version 1.0“ Zustand zu bringen.
Anders als die eher statischen Themen wie Seismische Wellen oder Signalbearbeitung ist die angewandte
Seismik ein sehr dynamisches Gebiet. Praktisch jährlich gibt es neue Entwicklungen auf der
Geräteseite, bei der Akquisition und im Processing. Das Skript unterlag und unterliegt daher einem
ständigen Wandel, um die neuesten Ergebnisse zu berücksichtigen. Ein exzellentes Beispiel, dass Forschung
und Lehre eine Einheit bilden müssen. Nur weil ich aktiv in diesem Gebiet forsche und die
entsprechenden Tagungen besuche, bin ich über die aktuellen Entwicklungen bei Technologie, Hardware
und Software sowie über die neuesten Algorithmen im Processing auf dem aktuellsten Stand.
Kann das eine Lehrprofessur leisten? Offensichtlich eine rhetorische Frage.
Die ständigen Anpassungen haben dazu geführt, dass meine Vorlesungsunterlagen einen - sagen
wir freundlich - etwas chaotischen Zustand angenommen haben. Es lag also nahe, eine elektronische
Version zu erstellen, um zum einen das Material in einer guten Ordnung zu haben und zum anderen das
Aktualisieren zu erleichtern. Das Skript in deutscher Sprache zu erstellen, war eine Entscheidung, die
ich mittlerweile etwas bereue. Aktuelle Bücher zu Angewandten Seismik sind rar, was unter anderem
auf die oben erwähnte Dynamik des Fachs zurückzuführen ist. Wenn dieses Material den Studierenden
bei der Vorbereitung auf Prüfungen oder zur Vertiefung des Stoffs Hilfe leisten kann, wäre das Ziel
erreicht. Rückmeldungen zum Skript sind daher sehr willkommen.
Viele der in dem Skript gezeigten Abbildungen sind den Büchern und Arbeiten aus der Liste der
Literaturempfehlungen entnommen. Diese sind bei den einzelnen Abbildungen i.A. nicht direkt als
Referenz angegeben. In diesem Sinne ist das Skript auch nicht als eine Veröffentlichung anzusehen,
sondern als internes Begleitmaterial zu meiner an der Universität Hamburg gehaltenen Vorlesung.
Hamburg im März 2013
Dirk Gajewski
6

2 Einführung
2.1 Motivation
In der Angewandten Seismik möchte wir die Struktur des Untergrunds möglichst genau auflösen
(Abb.1 und Abb.2), sowie Information über dessen physikalischen Eigenschaften, wie Permeabilität,
Porosität, Dichte und Geschwindigkeiten von P und S Wellen gewinnen. Mittels der Messung von
physikalischen Größen seismischer Wellen, wie Amplitude, Phase und deren Laufzeit lässt sich der
Untergrund abbilden. Dabei wirken Schichtgrenzen als Reflektoren und wir können daraus auf die
Tiefe, Neigung und Krümmung von diesen schließen. Es kann mit Reflexionsseismik (Steilwinkelseismik)
oder Refraktionsseismik (Weitwinkelseismik) gearbeitet werden, jedoch beschäftigen wir uns in
diesem Skript ausschließlich mit der Reflexionsseismik. Der Begriff Steilwinkelseismik trägt der Tatsache
Rechnung, dass bei diesem Verfahren der Quell-Empfängerabstand i.A. etwa der Tiefe des zu
beleuchtenden Targets oder weniger entspricht.
7

"Offset (km)"
-2 0 2
1
"Time (sec)"
2
3
4
agc=1 wagc=0.5 Oz11
Abbildung 1: Einzelschuss Sprengseismik (aus Yilmaz, worldwide records, file Oz11)
8

Abbildung 2: Stack (aus Seismic Data Processing von Yilmaz)
9

Auslage
Digitalisierung der Daten
Quelle
1. Kanal 2. Kanal n−ter Kanal
maximales Offset
Abbildung 3: Landseismische Aufstellung
Die Angewandte Seismik kann zur Erkundung verschiedener Tiefenbereiche des Untergrunds genutzt
werden (Abb. 4 und Abb.5). Dabei ist die zu erkundene Tiefe mit der Wellenlänge der beobachteten
seismischen Wellen korreliert. Zwar strahlen seismische Quellen üblicherweise ein sehr breites
Spektrum an Signalfrequenzen ab, doch die hochfrequenten Anteile werden durch dieKnott (1899)
Reestein abgeschwächt. Je länger der Ausbreitungsweg einer seismischen Welle ist, desto mehr gehen
höherfrequente Anteile im Signal verloren. Die seismische Quelle muss dabei stark genug sein, um den
geometrischen Ausbreitungsverlust entlang des Laufweges bis zum Empfänger zu kompensieren. Die
angewandte Seismik ist bedeutend bei der Suche nach Erdöl oder Erdgas, geothermischen Quellen
oder archäologischen Stätten. Sie findet aber auch Anwendung bei der Untersuchung zur Grundlagenforschung
und bei ingenieurgeologischen Fragestellungen, bei der Altlastenproblematik, im Bergbau
oder bei der Grundlagenforschung zur Tiefenerkundung von Kruste und Mantel der Erde. Es lassen sich
aus der Interpretation seismischer Daten von sedimentären Schichten auch Rückschlüsse auf Klima
und Umwelt ziehen. Sedimente repräsentieren das umfangreichste Archiv der Umweltveränderungen
unserer Erde.
Die größte Bedeutung erlangte die angewandte Seismik in der Kohlenwasserstoffexploration. In den
letzten Jahrzehnten hat diese Industrie die meisten Gelder in die Forschung zur Reflexionsseismik
investiert. Die finanziellen Möglichkeiten in diesem kommerziellen Bereich erlauben sehr umfangreiche
Messungen, wie sie mit Forschungsetats nicht realisiert werden können. Der Zugang der Universitäten
zu diesen Daten eröffnet faszinierende Forschungsoptionen.
10

Abbildung 4: Skalierung der seismischen Verfahren mit der Wellenlänge
11

Abbildung 5: Je größer das zu untersuchende Objekt, je größer die Wellenlänge der beobachteten
seismischen Wellen.
2.2 Literaturempfehlungen
• Seismic Data Processing, Investigations in Geophysics Volume 1 & 2, Özdogan Yilmaz, published
1987 by Society of Exploration Geophysicists, Tulsa
• Exploration seismology Volume 1, History, theory, and data acquisation, R.E. Sheriff & L.P.
Geldart, published 1982 by Cambridge University Press, Great Britain
• Exploration seismology Volume 2, Data-processing and interpretation, R.E. Sheriff & L.P. Geldart,
Cambridge University Press, Great Britain, 1983.
• Exploration Seismology, 2nd Edition, R.E. Sheriff & L.P. Geldart, Cambridge University Press,
UK, Paperback, 2006.
• A Handbook for seismic Data Acquisation in Exploration, Number 7, Brian J. Evans, Society
of Exploration Geophysicists, USA, 1997
• Quantitative Seismology, Theory and Methods, Keiiti Aki & Paul G. Richards, published 1980
by W.H. Freeman and Company, USA, 1980
• Introduction to Petroleum Seismology, L. Ikelle & L. Amundsen, Society of Exploration Geophysicists,
Tulsa, USA, 2005
• Praxis seismischer Feldmessungen, R. Meissner & L. Stegena, Gebrüder Bornträger, Berlin, 1977
(!).
12

2.3 Bemerkungen zur Geschichte
• 1888 Beginn der angewandten Geophysik mit der Torsionswaage von Eötvös (Gravimetrie)
• Die Theorie seismischer Wellen beginnt mit:
– Hook (1678) Spannungs-Dehnungs-Beziehung
– Poisson (1828) Existenz von P- und S-Wellen
– Knott (1899) Reflexion und Refraktion seismischer Wellen
– Wiechert und Zoeppritz (1907) Zoeppritz Gleichung, Reflexionskoeffizienten
– Rayleigh (1885) Oberflächenwellen (Rayleigh Typ)
– Love (1911) Oberflächenwellen (Love Typ)
– Stoneley (1924) Grenzflächenwellen
• 1919 Mintrop patentiert eine „Methode zur Bestimmung von Gesteinsstrukturen“.
– Auch in den USA gab es unabhängige Entwicklungen ähnlicher Art durch Fessenden,
Eckhardt, Haseman, Karcher, Mc Collum.
– Die Experimentelle Seismologie erhält den entscheidenden Impuls durch die Entwicklung
von Mintrops Seismograph (Versuche zur Lokalisierung feindlicher Artillerie im 1. Weltkrieg
durch Mintrop).
• 1921 Mintrop gründet Seismos.
• 1924 Ein Seismos Trupp in Texas entdeckt mit Refraktionsseismik den „Orchard Salt Dome“,
welcher in Folge zur Entdeckung einer Öllagerstätte führte (siehe 1926). Es wurden noch mechanische
Seismographen benutzt.
• Bis 1929 wurden 50 Salzstöcke mit der Refraktionsmethode gefunden. Die Auslage war nur 5
km, wodurch viele relativ flach liegenden Salzstöcke nicht gefunden wurden.
• 1926 erste refraktionsseismisch entdeckte Öllagerstätte
• 1926 erste Messungen mit elektrischen Seismographen (variabler Widerstand)
• 1927 erste VSP (Vertical Seismic Profiling) Messungen (seismische Beobachtungen im Bohrloch)
• 1928 erster Ölfund mit Reflexionsmethode in Oklahoma
• Ab 1930 wird die Reflexionsmethode vorherrschend für das Auffinden von Öl benutzt.
• Erste elektrodynamische Seismometer wogen 15 kg, heute nur noch ca 100 - 200 g und MEMS
sogar weniger als 1g
• 1933 Geophongruppen werden eingeführt und werden ab 1937 zur gängigen Praxis.
13

• 1944 erste umfangreiche seeseismische Messungen
• ab 1950 Hydrophonkabel (Streamer)
• 1950 Einführung der CMP (Common Mid Point) Technik
– CMP Technik setzte sich erst Anfang 1960 durch und ist bis heute Standard.
• ab 1952 reproduzierbare Aufzeichnungen durch Magnetbandaufzeichnungen (analog, FM Modulation)
• 1953 erste Anwendung einer Vibroseis-Quelle
• ca. 1955 vertikales Stacking (Addieren von Spuren)
• 1960 digitale Aufzeichnung
• 1965 Seeseismik, Gaspulser (Airgun)
• 1980 2D Pre-Stack migration, Modellierung kompletter elastischer Wellenfelder, 3D Akquisition
• 1990 3D Pre-Stack migration
• 2000 erstes voll digitales Geophon
• 2000 3D Tiefenmigration mit „wahren Amplituden“, 3D Reflection Tomography
• 2005 Wave equation migration
• 2010 2D and 3D Waveform Inversion
• Parallel zur Entwicklung der EDV, CPU-Geschwindigkeit entwickelte sich die Anzahl der Kanäle
(Spuren). 1926 waren es nur 2, heute sind es bis zu 10000 Kanäle.
2.4 Bemerkungen zur ökonomischen Rechtfertigung
Heute werden alle Bohrlochlokationen mit Hilfe umfangreicher seismischer Messungen festgelegt.
Dies gilt nicht nur für die Suche nach Öllagerstätten, sondern zum Beispiel auch für die Grundlagenforschung
( siehe KTB: Kontinentales Tiefbohrprogramm). Durch seismische Messungen stieg die
Erfolgsquote bei Bohrungen auf nunmehr über 50%, d.h. die Hälfte aller Bohrungen erreichen tatsächlich
eine Öl- bzw. Gaslagerstätte. Vor ca. 30 Jahren lag die Erfolgsquote bei ca. 30 %. Das Verbessern
der Erfolgsquote ist wegen der großen Kosten für eine Bohrung von großer ökonomischer Bedeutung.
In der Landexploration wurden um 1980 $1,67 Millionen für jede Bohrung und $470.000 für die Fernerkundung
ausgegeben. Heute kostet eine off-shore Bohrung 40 Mio. Euro und mehr. Obwohl die
geophysikalische und insbesondere seismische Vorerkundung deutlich ausgeweitet wurde, hat sich das
Verhältnis von Bohr- zu Akquisitionskosten deutlich erhöht. Der größte Teil der Exploration findet
heute offshore statt. Um die Erfolgsquote bei den Bohrungen weiterhin zu verbessern, nimmt der
Anteil der Vorerkundung immer mehr zu. Die 3D-Seismik ist heute trotz der hohen Kosten Standard
bei den Vorerkundungen, da dadurch das Explorationsrisiko markant verringert wird.
14

3 Anregung seismischer Wellen
3.1 Das ideale Signal
Es gibt unterschiedliche Signale, die von verschiedensten Quellen angeregt werden. Das ideale Signal
ist ein Impuls, weil er eine perfekte Zeitauflösung hat. Allerdings ist dies physikalisch nicht realisierbar
(Unschärferelation). Um so breitbandiger das Signal ist, desto besser ist die zeitliche und somit die
strukturelle Auflösung.
Impuls
Spektrum eines Impulses
Amplitude
Amplitude
Zeit
Frequenz
Abbildung 6: Ein Impuls im Zeit- und Frequenzbereich. Perfekte Zeitauflösung erfordert ein weißes
Spektrum.
3.2 Seismische Quellen
Quellen sollten kontrollierbar, also vorhersagbar und reproduzierbar sein. Sie sollten nach Möglichkeit
nur eine Nutzwelle abstrahlen (meistens P-Welle). Dies ist allerdings schwer zu realisieren und physikalisch,
je nach Quelle, nicht immer möglich. Die Vorhersagbarkeit und die Reproduzierbarkeit ist für
die Interpretation der mit dem Signal erhaltenen Beobachtungen sehr wichtig.
Man unterscheidet zwischen zwei Anregungstypen, Impulsanregung und Vibrationsanregung. In
Abbildung 7 ist ein wesentlicher Unterschied zwischen beiden Anregunstypen zu erkennen. Bei der
Impulsanregung wird in einem kurzen Zeitraum sehr viel Energie freigesetzt, während bei der Vibrationsanregung
wenig Energie über einem längeren Zeitraum freigesetzt wird. Je länger die Vibration (der
Sweep, siehe unten) andauert, desto mehr Energie wird in den Untergrund eingebracht. Die Energie
wird in Abb. 7 durch die Fläche unter der Anregungsfunktion bestimmt. Prinzipiell ist es also möglich,
mit beiden Anregungsarten gleich viel Energie in den Untergrund einzubringen.
15

Impulsanregung
Vibrationsanregung
Amplitude
Amplitude
∆t > 1
Abbildung 7: Die Balken repräsentieren die Energie, die an den Untergrund abgegeben wird.
3.3 Impulsquellen
1. Erdbeben: Erdbeben sind in keiner Hinsich kontrollierbar (unbekannte Zeit und Lokation, nicht
vorhersagbar und reproduzierbar), daher finden sie in der angewandten Seismik keine Anwendung.
In der Seismologie hingegen sind Erdbeben ein wichtiger Bestandteil.
2. Fallgewicht und Hammerschlag: Diese Quellen sind gut reproduzierbar. Allerdings erreichen sie
keine all zu große Energie, so dass sie nur eine geringe Reichweite haben.
3. Sprengungen: Sprengungen werden in der marinen- so wie in der Landseismik eingesetzt, z.B. bei
Bohrlochmessungen (im Grundwasser), unter Wasser (sehr effektiv aber umweltschädigend) und
Steinbrüchen. Dabei variiert die verwendete Sprengmasse von wenigen Gramm (Reflexionsseismik)
bis hin zu mehreren 1000 Kg (in tiefen Bohrlöchern, Steinbrüchen). Nur bei Unterwassersprengungen
ist das Quellsignal gut vorhersagbar. Bei Bohrloch und Steinbruchsprengungen ist
dies praktisch kaum möglich, da die lokalen geologischen Gegebenheiten einen starken Einfluss
haben. Bei allen Sprengungen muss der Umweltschutz beachtet werden. Die dabei generierten
Erschütterungen können Gebäude und Quellfassungen schädigen.
4. Airgun (Luftpulser): Die Airgun ist die in der Marinen Seismik am häufigsten verwendete Quelle,
da sie sehr gut vorhersagbar und reproduzierbar ist. Das Prinzip mit der eine Airgun funktioniert
ist in Abbildung 8 zu sehen. Es wird in einer Kammer Luft stark zusammengepresst, die dann
beim Abfeuern der Airgun aus der Kammer expandiert (siehe Abb. 9).
16

Abbildung 8: Funktionsprinzip einer Airgun
17

Abbildung 9: Abfeuern einer Airgun
Beim Abfeuern entsteht eine Gasblase im Wasser, die ein starkes impulsartiges Signal mit anschließendem
„Gasblubber“ (Oszillation der Gasblase) erzeugt. Die Periode mit der die Gasblase oszilliert
lässt sich berechnen (also gut vorhersagbar und reproduzierbar),
T =
3√
P ∗ V
25(1 + h 10 ) . (1)
5
6
Hierbei ist P=Druck, V=Volumen und h=Wassertiefe in der die Airgun hängt.
Um den langen Gasblubber zu unterdrücken werden mehrere Airguns verschiedener Größen in bestimmten
geometrischen Anordnungen gleichzeitig abgefeuert (siehe Abb. 11).
18

Abbildung 10: Signal einer einzelnen Airgun und die Oszillation (bubble) der Gasblase.
Abbildung 11: Airgunarray aus 6 Guns mit unterschiedlichen Volumen. Das resultierende Signal entsteht
durch Überlagerung der Guns. Am Beginn der Spur steht das Volumen der verwendeten
Airguns. Die Summenspur unten ist in der Amplitude größer und der „Bubble“
ist reduziert.
19

3.4 Vibrationsanregung / Vibroseis
In der Landseismik ist das Vibroseisverfahren die wichtigste Methode zur Anregung seismischer Wellen.
Hierbei wird nicht ein impulsartiges Signal angeregt, sondern ein Sweep mit Hilfe eines Vibrator-Trucks
in den Erdboden eingebracht.
Abbildung 12: Vibrator-Truck
3.4.1 Sweep
Ein Sweep ist ein zeitlich variables Signal, das in einer definierten Zeit seine Frequenz von einem
Startwert zu einem Endwert hin ändert.
20

Linear sweep (0/5/10s) cos tap.
1
Amplitude
0
-1
0 2 4 6 8
Zeit [s]
Abbildung 13: Dieser Sweep geht von 0 Hz bis 5 Hz. Die Graphik wurde mit dem SU-Kommando
SU-1 erstellt (siehe Anhang).
Der Sweep ist durch die Gleichung
s(t) = A 0 sin
( (
2π f L ± ∆f ) )
T t t
(2)
definiert. ∆f = f U − f L ist die Bandbreite des Sweeps, wobei f U (f_upper) die obere Frequenz und
f L (f_lower) die untere Frequenz ist. T ist die Dauer des Signals und t ist die Zeit.
+ : Up-Sweep; Die Frequenz nimmt mit zunehmender Zeit zu.
- : Down-Sweep; Die Frequenz nimmt mit zunehmender Zeit ab.
Beim Idealen Signal haben wir gelernt, dass die Zeitauflösung eines Signal um so besser ist, je
breitbandiger es ist. Deswegen ist es sinnvoll ∆f möglichts groß zu wählen. Hier gibt es aber technische
Grenzen, da sich niedrige bzw. sehr hohe Frequenzen durch den Vibrator-Truck nicht realisieren lassen.
21

50
Spektrum lin. Sweeps (5/100/10s) cos tap.
40
Amplitude
30
20
10
0 20 40 60 80 100 120
Frequenz [Hz]
Abbildung 14: Spektrum eines Sweeps, der von 5 Hz bis zu 100 Hz geht. Diese Graphik wurde mit
dem SU-Kommando SU-2 erstellt (siehe Anhang).
3.4.2 Korrelation
Die Länge des Sweeps muss mit Hilfe von Korrelation komprimiert werden, weil sich sonst Reflexionen
überlagern (siehe Abbildung 15). Die Korrelation ist ein Maß für die Ähnlichkeit zweier Signale. Je
größer der Wert der Korrelation, je größer die Ähnlichkeit der beiden Funktionen für den betrachteten
Zeitpunkt t. Mathematisch wird sie durch das folgende Integral beschrieben.
Kreuzkorrelation analog (kontinuierlich):
diskret:
Φ xy (t) =
∫ +∞
−∞
x(τ)y(τ + t)dτ (3)
22

Φ xy (t) = ∑ −k,k
x k y τ+k (4)
x(t) und y(t) sind zwei verschiedene Funktionen, die miteinander verglichen werden. Dabei gibt t die
zeitliche Verschiebung der beiden Funktionen gegeneinander an.
Autokorrelation:
Φ xx (t) =
∫ +∞
−∞
x(τ)x(τ + t)dτ (5)
Bei der Autokorrelation werden zwei identische Funktionen miteinander verglichen. Bei t = 0 ist die
Ähnlichkeit am größten weil beide Funktionen direkt übereinander liegen. Dort hat die
Autokorrelationskurve ihr Maximum. Nach und nach „verschiebt“ man beide Funktionen
gegeneinander um die Zeit t. Für jedes neue t werden wieder die Produkte der Funktionen
aufsummiert um den Autokorrelationswert zu erhalten, der die Ähnlichkeit der beiden Funktionen für
dieses t angibt. Tatsächlich läuft die Integration nur von −T bis T , wobei T die Dauer (nicht
Periode!) des Signals ist, da die Werte außerhalb dieses Bereichs Null sind. Die
Autokorrelationsfunktion ist immer symmetrisch, die Kreuzkorrelation aber nicht..
Abbildung 15: Das empfangene Signal, das sogenannte Vibrogramm, ist die 4. Spur von oben und das
korrelierte Signal ist die unterste Spur. Path 1, 2 und 3 sind verschiedene Reflexionen,
die sich zum empfangenem Signal überlagern. Quelle: "A handbook for seismic data
acquisition in exploration" von Brian J. Evans, Society of Exploration Geophysicists
In Abbildung 15 sieht man wie sich das empfangene Signal durch die Korrelation verändert. Die
oberste Spur kennzeichnet den Sweep. Die drei folgenden Spuren charakterisieren Reflexionen des
23

Sweeps an Reflektoren unterschiedlicher Tiefenlage, die sich alle am Empfänger überlagern und die
Summenspur (Spur 5 in Abb. 15) bilden, in der die einzelnen Reflexionen nicht mehr aufgelöst werden
können. Nach der Korrelation ist das Signal wesentlich kürzer geworden. Die einzelnen Reflexionen
sind -anders als in der Summenspur der einzelnen Sweeps- deutlich erkennbar.
Die Bandbreite des Signals bestimmt, wie weit sich das Signal durch die Korrelation verkürzen
lässt. Abbildung 16 zeigt mehrere Korrelationssignale gleicher Mittenfrequenz und unterschiedlicher
Bandreite. Bei einer schmalen Bandbreite von 14 Hz wie in der oberen linken Abbildung sind noch
viele Nebenmaxima vorhanden, welche nicht erwünscht sind. Bei einer Bandbreite von 100 Hz, wie in
der unteren rechten Abbildung, ist das Korrelationssignal zu einem gut sichtbaren Maximum verkürzt.
Je größer die Bandbreite des Sweeps, desto kleiner sind die Nebenmaxima nach der Korrelation, also
je kürzer das zeitliche Signal.
24

1.0
Autokorrelation (53/67/10s cos taper)
1.0
Autokorrelation (47.5/72.5/10s cos taper)
0.5
0.5
Amplitude
0
Amplitude
0
-0.5
-0.5
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
Zeit [s]
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
Zeit [s]
1.0
Autokorrelation (35/85/10s cos taper)
1.0
Autokorrelation (10/110/10s cos taper)
0.5
0.5
Amplitude
0
Amplitude
0
-0.5
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
Zeit [s]
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
Zeit [s]
Abbildung 16: Verschiedene Korrelationssignale mit unterschiedlicher Bandbreite und gleicher Mittenfrequenz
(hier 60 Hz): Diese Abbildungen wurden mit folgenden SU-Kommandos
erstellt, oben links SU-3, oben rechts SU-4, unten links SU-5, unten rechts SU-6 (siehe
Anhang).
Beachte: Das Maximum der Autokorrelation ist immer bei t=t 0 . Das Vibroseissignal nach der Korrelation
ist nullphasig und daher akausal, da es schon von Null verschiedene Amplituden vor der
eigentlichen Einsatzzeit bei t = t 0 aufweist, wobei t 0 den Ersteinsatz beschreibt (siehe Abb. 17).
Der Ersteinsatz charakterisiert die Ankunft der seismischen Welle. Die Akausalität ist ein Resultat der
Korrelation, also der Datenbearbeitung. Physikalische Signale sind aber immer kausal. In der seimischen
Sektion lässt sich das Maximum der nullphasigen Signalen als Einsatz visuell besser erkennen
(und korrelieren) als der Ersteinsatz in kausalen Signalen. Vermischt man Spuren aus Sprengseismik
(kausale Signale) und Vibroseis (akausale Signale) muss der unterschiedliche Signalcharakter beachtet
werden
25

A
Ersteinsatz
A
t
o
t
t o
t
Abbildung 17: Die obere Abbildung zeigt ein kausales (oben) und ein akausales Signal (unten). Das
akausale Signal repräsentiert das Vibroseissignal nach der Korrelation.
3.4.3 Fazit Vibroseis
Durch geeignete Wahl von f L und f U bzw. ∆f = f U − f L (Bandbreite) kann man die „Länge“ der
Autokorrelationsfunktion, also die Länge des Signals bestimmen und damit die Auflösung. Durch die
Wahl der Dauer des Sweeps können wir die eingespeiste Energie festlegen und somit die Reichweite der
Quelle. Weil die Vibrationsseismik also sehr gut vorhersagbar und gut reproduzierbar ist, ist sie die am
häufigsten genutzte Quelle in der Landseismik. In der Abbildung 18 ist das Vibroseisprinzip synoptisch
zusammengefaßt. Die obere Abbildung zeigt das Eingangssignal, den Sweep, der am Anfang und
Ende getapert ist (warum?). Die Abbildung darunter zeigt eine Abfolge von Reflexionskoeffizienten
bei vertikalem Einfall einer ebenen Welle auf einen Schichtstapel. Faltung des Eingangs mit dieser
Impulsantwort des Untergrunds ergibt das seismische Signal, das Vibrogramm. Die einzelnen Schichten
26

Abbildung 18: Prinzip des Vibroseisverfahrens. Sweep (oben), Impulsantwort der Erde (2. von oben),
resultierendes Vibrogramm (2. von unten) und Seismogramm (unten).
sind im Vibrogramm praktisch nicht mehr zu erkennen, da sich alle Signale wegen der Signallänge
des Sweeps überlagern. Kreuzkorrelation des Vibrogramms mit dem Sweep ergibt das eigentliche
Seismogramm (untere Abbildung in Abb. 18). Hier können die Einsätze wieder erkannt werden.
Vibrogramme werden in der Praxis nicht mehr aufgezeichnet, da die Korrelation mit dem Sweep
gleich im Feld durchgeführt wird. Neben der Zeitersparnis ergibt sich dabei auch eine deutliche Reduzierung
der zu speichernden Daten, da das Virbrogramm neben der maximalen Laufzeit der Reflexionen
vom tiefsten Target auch die gesamte Signallänge des Sweeps umfassen muss. Im Beispiel der Abb.
18 ist das Vibrogramm daher fast 12 Sekunden lang, das Seismogramm aber nur ca. 5 Sekunden.
4 Richtwirkung von Quellen
Unter der Richtwirkung versteht man die Abhängigkeit der abgestrahlten Energie einer Welle von der
Richtung. Im mathematischen Modell der Explosionspunktquelle gibt es keine Abstrahlcharakteristika.
Es handelt sich um einen Kugelstrahler, der lediglich P-Wellen mit gleicher Amplitude in alle Richtungen
abstrahlt. Im realen Experiment haben Explosionspunktquellen jedoch oft eine Richtwirkung
27

und erzeugen neben P- auch S-Wellen.
Abstrahlcharakteristiken von Punktquellen
Z
Z
Y
Explosions-Punktquelle
X
X
Z
Z
Z
Y
Y
Einzelkraft-Punktquelle
X
X
X
Z
Z
Z
Y
Y
Dipol mit Moment
"Single Couple"
X
X
X
Z
Z
Z
Z
Y
Y
Y
Dipol ohne Moment
"Double Couple"
X
X
X
X
2D-Projektion u u u
r ϑ ϕ
Abbildung 19: Abstrahlcharakteristika von Punktquellen
S-Wellen werden häufig bei der Konversion von P-Wellen an der Erdoberfläche oder am Meeresboden
erzeugt. Mittels geeigneter Wahl der geometrischen Anordnung von mehrerer Quellen, lassen
sich kontrollierte Richtwirkungen erzeugen (siehe: Bündelung und Empfängerarrays). Richtwirkungen
können durchaus erwünscht sein, damit die eingebrachte Energie auf bestimmte Abstrahlwinkelbereiche
konzentriert werden kann und der sogenannte Antenneneffekt erzielt wird. Bei der Interpretation
muss jedoch die Amplitude beachtet werden.
28

VibroSeis-Quellen, Hammerschlag und Fallgewichte haben Abstrahlcharakteristika einer Einzelkraft.
Die Einzelkraft und deren Amplituden werden mathematisch folgendermaßen beschrieben:
µ P ∼ cos(γ)
vP
2 , (6)
µ S ∼ −sin(γ)
vS
2 , (7)
mit γ dem Abstrahlwinkel, wobei γ = 0 der Vertikalen entspricht, µ P bzw. µ S den Amplituden der
P- bzw. S-Welle und v P bzw. v S den Geschwindigkeiten der seismischen Wellen. Die Gleichungen
geben die Abstrahlcharakteristik in einem vertikalen Schnitt wieder, in dem auch die Einzelkraft liegt.
Wie die Gleichungen und Abb. 20 zeigen, ist die maximale Amplitude der S-Welle im Verhältnis
(v P /v S ) 2 größer als die maximale Amplitude der P-Welle. Für eine vertikale Einzelkraft wird die
maximale Amplitude der P-Welle in vertikaler Richtung abgestrahlt. Bis 30 ◦ Abstrahlwinkel beträgt
der Amplitudenunterschied nur ca. 14% und wird daher in der Steilwinkelseismik oft vernachlässigt.
α
µ P
µ S
Abbildung 20: Vertikaler Schnitt durch die Abstrahlcharakteristik der Einzelkraft
29

Abbildung 21: Die Amplituden im Fernfeld der S- und P-Wellen hängen vom Winkel γ zur Wirkungsrichtung
der Kraft ab. Quelle: „Quantitative seismology, theory and methods“ von Keiiti
Aki, Paul G. Richards
5 Aufnahme seismischer Wellen
Die Aufnahme seismischer Wellen erfolgt durch Seismometer. Geophone oder Seismometer wandeln
die mechanischen Schwingungsbewegungen der Bodenteilchen die durch die einfallenden seismischen
Wellen verursacht werden, in eine der Schwingungsbewegung proportionale elektrische Spannung um.
Dies sollte ohne Verfälschung der Signale geschehen (in high fidelity).
In der Landseismik werden elektrodynamische Systeme, wie zum Beispiel der Tauchspulenaufnehmer
verwendet. Die Auslagen werden über mehrere Kilometer mittels Kabel realisiert. Auch eine
Kabellose Übertragung per Telemetrie wird genutzt. In der Seeseismik benutzt man piezoelektrische
Wandler. Diese Hydrophone reagieren auf Druckänderung („Unterwassermikrophon“, z.B. piezoelektrische
Wandler). Mehrere hundert Hydrophone sind in einen mehrere Kilometer langen mit Öl gefüllten
Schlauch (Streamer) angeordnet. Der Streamer schwimmt, aufgrund des Auftriebs, auf dem Wasser
und wird hinter einem Schiff hergezogen. Es werden auch Landstreamer eingesetzt. Hierbei wird eine
fest verbundene Anordnung von Geophonen, montiert auf einem flexiblem Kunstoffschlauch, hinter
einem Truck gezogen. Die Auslagenlängen sind dabei auf einige hundert Meter beschränkt.
5.1 Das Geophon
Die Physik des Geophons basiert auf dem Prinzip der erzwungenen Schwingung. Wir nehmen an, dass
eine harmonische Schwingung angeregt wird, und dass das Geophon starr an den Boden gekoppelt
ist, sich also synchron mit dem Boden bewegt.
30

m
x_m
m
w
Abbildung 22: Schematische Darstellung eines Geophons
In Abbildung 22 ist die Funktionsweise eines Geophons schematisch dargestellt. Bei einer Bodenverschiebung
w wird der Magnet der Masse m an der Feder um x m ausgelenkt und in Schwingung
versetzt. Es wird somit ein Strom in der Spule induziert. Dieser Strom, der proportional zur Bodenbewegung
ist, wird aufgezeichnet (Java-Applet zur Funktion eines Seismometers auf www.ifg.tuclausthal.de/java-d.html).
In diesem System spielen drei verschiedene Kräfte eine Rolle, die Trägheitskraft (∼ Beschleunigung),
die mechanische Reibung (∼ Geschwindigkeit), und die Federkraft (∼ Weg). Im Kräftegleichgewicht
gilt:
mẍ(t)
} {{ }
T raegheitskraf
+ d m ẋ(t)
} {{ }
Reibung
+ Dx(t) + mẅ(t) = 0 (8)
} {{ } } {{ }
F ederkraft T raegheitskraft Boden
m: Masse des Magneten
d m : mechanische Reibungsfaktor
D: Federkonstante
x(t) = x m − w: Dehnung der Feder
w: Bodenbewegung (Verschiebung durch einfallende Welle)
Diese Gleichung stellt eine lineare Differenzialgleichung dar. Noch ist diese Gleichung im Zeitbereich
definiert, weswegen sie schwer zu lösen ist. Um sie leichter lösen zu können transformieren wir sie
mit Hilfe einer Fouriertransformation in den Frequenzbereich. Es folgt nun ein kurzer anschaulicher
Exkurs zur Fouriertransformation.
5.2 Fouriertransformation
Eine Fouriertransformation ist eine Integraltransformation, die einer gegebenen Funktion x(t), eine
andere Funktion ¯x(ω), ihre Fouriertransformierte, zuordnet. Das Transformationspaar hat die folgende
31

Form:
x(t) = 1
2π
¯x(ω) =
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
¯x(ω)e iωt dω (9)
x(t)e −iωt dt (10)
Das obere Integral repräsentiert die Zeitfunktion als Superposition von harmonischen Schwingungen.
Dabei werden die einzelnen harmonischen Signale mit dem komplexen Amplitudenfaktoren ¯x(ω) gewichtet,
die das komplexe Spektrum von x(t) darstellen. Das Amplitudenspektrum quantifiziert die
Größe der einzelnen spektralen Anteile im Zeitsignal und das Phasenspektrum deren zeitlichen Zuordnung
zueinander. In Abbildung 23 und 24 ist dargestellt, wie man die verschiedenen Signale aus der
Überlagerung von mehreren harmonischen Schwingungen erhält.
Abbildung 23: Die Summe einer bestimmten Anzahl von Null-phasigen harmonischen Schwingungen
mit gleicher Amplitude ergibt ein Null-phasiges, also symmetrisches Wavelet. Die obere
mit dem Stern gekennzeichnete Spur ist das aus der Superposition der verschiedenen
Schwingungen resultierende Signal. Quelle: Seismic Data Processing von Yilmaz.
32

Abbildung 24: Hier wurde eine bestimmte Anzahl von harmonischen Schwingungen aufsummiert, die
eine konstante Phasenverschiebung zueinander haben. Das resultierende Signal ist ein
unsymmetrisches zeitverschobenes Wavelet. Quelle: Seismic Data Processing von Yilmaz.
Die Fouriertransformierte von x(t) ist ¯x(ω), mit ω = 2πf und f = Frequenz. ¯x(ω) ist eine komplexe
Größe, die eine Amplitude (Amplitudenspektrum) und eine Phase (Phasenspektrum) besitzt. Die
Fouriertransformierte von w(t) ist ¯w(ω).
Die Transformation der Gleichung (8) in den Frequenzbereich liefert (Differentiation im Frequenzbereich
entspricht der Multiplikation mit iω (Differentiationssatz), also du(t)
dt
→iω ∗ u(ω) oder d2 u(t)
→ −
dt 2
ω 2 u(ω).)
Die Lösung der Gleichung ergibt
m(iω) 2¯x(ω) + d m (iω)¯x(ω) + D¯x(ω) = −m(iω) 2 ¯w(ω). (11)
33

mit ω 0 =
√
D
m
ω 2 ¯w(ω)
¯x(ω) =
−ω 2 + (iω) dm m + . (12)
ω2 0
als Eigenfrequenz des ungedämpften Systems.
5.3 Die Übertragunsfunktion
Die Übertragungsfunktion ¯H(ω) des Aufnehmers kennzeichnet die Beziehung vom Eingang ¯w zum
Ausgang ¯x(ω) durch das lineare System des Geophons. Diese Operation kann als Filterung des Eingangsignals
w aufgefasst werden. Die Übertragungsfunktion ist gegeben durch
oder wenn man ¯H(ω) auf ω 2 0 normiert
¯H(ω) = ¯x(ω)
¯w(ω) = ω 2
−ω 2 + iω dm m + , (13)
ω2 o
¯H( ω ω 0
) =
ω 2
ω 2 0
− ω2
ω 2 + iω
ω 2 0
d mm
+ 1 , (14)
mit dm m
= 2αω 0 erhält man
ω
¯H(ω) 2
=
−ω 2 + iω2αω 0 + ω0
2 , (15)
dabei ist α die Dämpfungskonstante. Im Frequenzbereich entsteht der Ausgang also durch Multiplikation
des Eingangs mit der Übertragungsfunktion, also
¯x(ω) = ¯H(ω) ¯w(ω). (16)
Das Spektrum des Ausgangssignals ist gleich der Übertragungsfunktion des mechanischen Wandlers
multipliziert mit dem Spektrum des Eingangssignals. Die Übertragungsfunktion beschreibt also wie das
Eingangssignal auf das Ausgangssignal übertragen wird. Im Zeitbereich entspricht diese Filteroperation
der Faltung des Eingangs w(t) mit der Impulsantwort H(t) des Geophons (Details hierzu im Skript
zur Vorlesung Wellen und Signale).
Beachten wir zwei Extremsituationen für eine qualitative Abschätzung der Übertragungseigenschaften
des Wandlers. Für Frequenzen ω ≫ ω 0 , folgt als Abschätzung
¯H(ω) ≈
ω2
= −1 (17)
−ω2 ¯x(ω) ≈ − ¯w(ω) (18)
x(t) ≈ −w(t), (19)
d. h. w ist proportional zu x, also das Geophon reagiert in diesem Fall, also für Signale hoher Frequenzen
(bezogen auf die Eigenfrequenz) als Wegaufnehmer.
34

Für Frequenzen ω ≪ ω 0 , folgt
¯H(ω) ≈ ω2
ω 2 0
(20)
¯x(ω) ≈ (iω)2
−ω 2 0
¯w(ω) (21)
x(t) ≈ 1
−ω0
2 ẅ(t), (22)
d. h. x ist proportional zu ẅ(t), also das Geophon reagiert in diesem Fall, also für Signale tiefer
Frequenzen (bezogen auf die Eigenfrequenz) als Beschleunigungsaufnehmer.
¯H(ω) ist eine komplexe Funktion, die wir in Amplitude A(ω), das Amplitudenspektrum, und Phase
ϕ(ω), das Phasenspektrum, aufspalten.
Im
Η(ω)
α
Re(H(ω))
Ι m(Η(ω))
Re
Abbildung 25: Auf der y-Achse ist der Imaginärteil von ¯H(ω) und auf der x-Achse der Realteil von
¯H(ω) aufgetragen. Der Betrag des Vektors ¯H(ω) entspricht der Amplitude A(ω) und
der Winkel α entspricht der Phase ϕ(ω).
Das Amplitudenspektrum ist dann:
A(ω) = | ¯H(ω)| = ( ¯H(ω) ¯H ∗ (ω)) 1 2 (23)
¯ H ∗ (ω) ist die komplex konjugierte von ¯H(ω) und es gilt: X = a+ib, X ∗ = a−ib ⇒ X ∗X ∗ = a 2 +b 2 ,
a und b sind reell.
Phasenspektrum:
35

Im( ¯H(ω))
ϕ(ω) = arctan
Re( ¯H(ω))
(24)
Abbildung 26: Amplitudensprektrum (a) und Phasenspektrum (b) der Übertragunsfunktion eines Geophons
mit der Dämpfung d m
als Parameter
Um eine unverfälschte Übertragung zu bekommen, sollten alle Frequenzen ungefähr gleichermaßen
verstärkt werden (keine Frequenzverzerrung). Die Übertragungseigenschaften hängen von der Dämpfung
ab. In Abbildung 26 sieht man, wie sich Geophone mit verschiedenen Dämpfungen verhalten.
Am besten geeignet ist eine Dämpfung von 0.7, da sich ein gerades Plateau im Amplitudensprektrum
ausbildet und das Phasenspektrum einen einigermaßen linearen Verlauf hat. Solange man Frequen-
36

zen oberhalb der Eigenfrequenz ω 0 misst, erhält man in diesem Fall eine gute Übertragung, ohne
weitere Datenbearbeitung vornehmen zu müssen. Verzerrungen im Übertragungsverhalten oder unterschiedliche
Übertragungseigenschaften z.B. durch den Einsatz unterschiedlicher Geophone können
gegebenenfalls durch geeignete Filteroperationen korrigiert werden. Schlüssel dabei ist, die Übertragungseigenschaften
des Wandlers zu kennen.
5.4 Der elektrodynamische Wandler
Die bisher dargestellte Übertragungsfunktion gehört zum mechanischen Wandler. Die mechanisch ermittelte
Bodenbewegung muss durch eine mechanische Verstärkung sichtbar gemacht werden (z.B.
über einen langen Hebel mittels Spiegel und Lichtstrahl. Einfacher und technisch variabler geht dies
mit einem elektrodynamischen Wandler. Hierbei wird die Bodenbewegung über Induktion in eine elektrische
Spannung gewandelt. Die Übertragungsfunktion dieses Wandlers erhalten wir nach ähnlichen
Rezept wie für den mechanischen Wandler. Zu berücksichtigen ist hierbei aber noch zusätzlich das
Induktionsgesetz sowie die durch die Induktion entstehende Lorentzkraft, die als elektrische Dämpfung
zur mechanischen Dämpfung hinzu kommt.
5.4.1 Induktionsgesetz
Aus dem Induktionsgesetz (25)
U = Blẋ, (25)
mit der magnetische Induktion B, der Spannung U, der Wickelungslänge l der Spule und der Geschwindigkeit
ẋ folgt die Proportionalität der Geschwindigkeit der Spule im Magnet zur Spannung:
ẋ ∼ U. (26)
Ausgehend von der Lenzschen Regel gibt es eine zusätzliche Gegenkraft zur mechanischen Reibung,
die Lorentzkraft
F = BlI, (27)
wobei der Strom I der durch die induzierte Spannung U erzeugte Strom ist. Setzt man in die Formel
(27), das Ohmsche Gesetz
I = U Z
(28)
ein so erhält man
F = Bl U Z = (Bl)2 ẋ
Z , (29)
mit Z als Impedanz der Spule. Die Impedanz der Spule ist ein frequenzabhängiger Widerstand. Im
Falle des Kräftegleichgewichts ist dann
m(ẍ + ẅ) + [d m + (Bl)2 ]ẋ + Dx = 0. (30)
Z
37

Es wird ein Reibungsfaktor d = d m + d e definiert, wobei d m der mechanische Reibungsfaktor und d e
der dynamische durch die Lorentzkraft verursachte Reibungsfaktor(31) ist.
d e = (Bl)2
(31)
Z
Da in der Bewegungsgleichung (30) des elektrodynamischen Wandlers ein Reibungsterm enthalten
ist, handelt es sich um eine gedämpfte Schwingung. Die Dämpfung des Systems ist dabei durchaus
erwünscht, da es sonst zu Überlagerung zeitlich dicht aufeinanderfolgender Signale kommen würde
und die Einsätze der einfallenden Wellen wären nicht zeitlich voneinander getrennt. Aus
dU
˙U
dt
= Blẍ folgt, ẍ =
Bl und ∫ ∫
Udt
Udt = Blx folgt, x =
Bl
, eingesetzt in die Gleichung (30) kann
man schreiben
(
1
( ) ∫ )
m ˙U + ẅ + dU + D Udt = 0, (32)
Bl
oder
Ü + d m ˙U + D U = −Bl¨v, (33)
m
mit der Bodengeschwindigkeit v = ẇ und der Eigenfrequenz des ungedämpften Systems ω 0 = √ m
D .
Transformiert man nun die Differentialgleichung in den Frequenzbereich erhält man
Ū(w)
((iω) 2 + d )
m (iω) + ω2 = −Bl¯v(ω)(iω) 2 (34)
bzw.
und daraus folgt die lineare Gleichung
Ū(ω) = −ω2 + iω d m + ω2 0
Blω 2 ¯v(ω) (35)
Blω 2
¯v(ω)
−ω 2 + iω d m + = Ū(ω) (36)
ω2 0
¯v(ω) · ¯H(ω) = Ū(ω). (37)
Diese Gleichung entspricht Formal (16) des mechanischen Wandlers (bis auf den Faktor Bl), d.h.
der Verlauf der Übertragungsfunktion ist identisch mit Abb. 26. Die Fouriertransformierte der Bodenbewegungsgeschwindigkeit
¯v(ω), das Eingangssignal, linear mit der Übertragungsfunktion ¯H(ω)
verknüpft, beschreibt das Ausgangssignal Ū(ω). Das Amplitudenspektrum ist wieder A(ω) = | ¯H(ω)|
und das Phasenspektrum ϕ(ω) = arctan
Im( ¯H(ω))
Re( ¯H(ω)) .
Die Übertragungsfunktion ¯H(ω) wird üblicherweise auf Eigenfrequenz ω 0 normiert. Der Parameter
d
m
entspricht der Dämpfung, die sich aus mechanischer und elektrischer Dämpfung zusammensetzt.
Abbildung 26 zeigt das für d=0.7 und ω > ω 0 , eine verzerrungsfrei Übertragung, also ein konstanter
Wert der Übertragungsfunktion erreicht wird. Das Phasenspektrum verhält sich annähernd linear. Bei
nicht linearen Phasenverhalten würden sich für Einsätze mit unterschiedlicher Frequenz, verschiedene
Anfangszeiten der aufgezeichneten Schwingung ergeben.
38

5.5 Java-Applikation der TU Clausthal
Dr. Fritz Keller vom Institut für Geophysik der Universität Clausthal hat eine sehr instruktive Java-
Applikation zur Wirkungsweise eines Seismographen in das Netz gestellt (www.ifg.tu-clausthal.de/java).
Mit dieser Applikation können die Einflüsse der einzelnen Größen in den Übertragungseigenschaften am
Beispiel unterschiedlicher Anregungen untersucht werden. Ausführliche Bedienungsanleitungen helfen
nicht nur bei der Benutzung der Applets sondern beschreiben auch die theoretischen Grundlagen in
allen Details. Eine wirklich sehr nützliche WEB-Seite.
6 System Boden/Geophon
Die Aufzeichnungen werden davon beeinflusst, dass Geophone und Erdboden ein weiteres Schwingungssystem
bilden, genauso wie Spule und Geophongehäuse. Die Kopplung des Geophongehäuses
mit dem Erdboden ist nicht absolut starr, wie es bisher angenommen wurde. Die Resonanzfrequenzen
des Systeme Geophon und Erdboden ist niedrig für lockere Böden (also elastisch weicher Untergrund)
und höher für feste Böden (also elastisch harter Untergrund, siehe Abb.27). Die Übertragungsfunktion
erhalten wir durch Lösung zweier gekoppelter Differentialgleichungen. Die durch den Grad der
Kopplung des Geophons an den Boden bestimmte Resonanzstelle des Systems Geophon und Boden
kann in den Bereich seismischer Signalfrequenzen fallen.
39

Abbildung 27: Amplitudenspektrum des Schwingungssystems Geophon Erdboden,
A=Sumpf
B=trockener sandiger Lehm (gepflügt)
C=feuchter Ton mit Kies
D=sehr trockener Ton mit Kies
Quelle: Studienhefte zur Angewandten Geophysik, “Praxis der seismischen Feldmessung und Auswertung”,
R. Meissner & Stegena, 1977 Gebrüder Borntraeger
40

Abbildung 28: Amplituden- und Phasenspektren des Systems Geophon/Erdboden bei schweren (I),
mittlerem (II) und leichtem Geophon (III), Quelle: Studienhefte zur Angewandten Geophysik,
"Praxis der seismischen Feldmessung und Auswertung", R. Meissner & Stegena,
1977 Gebrüder Borntraeger
6.1 Das Geophon als richtungsselektiver Wandler
Die Bodenbewegung der einfallenden Welle ist ein Vektor. Da das Geophon nur eine Schwingungsachse
besitzt ist es ein richtungsselektiver Wandler. (siehe Abb. 29)
41

α
Vertikalaufnehmer
x
Horizontalaufnehmer
α
x
R
R=cosα
R=sinα
z
z
Abbildung 29: Komponentenzerlegung des Vertikalaufnehmer und Horizontalaufnehmer
Die Projektion des Verschiebungsvektors der einfallende Welle auf die Schwingungsachse wird aufgezeichnet.
Um den Verschiebungsvektor rekonstruieren zu können, müssen drei Geophone in Form
eines Dreibeins angeordnet werden. Bei einem großen Teil der Messungen in der angewandten Seismik
werden nur Vertikalgeophone genutzt.
7 Geophon-Bündelung
Als Bündelung bezeichnet man das additive Zusammenschalten mehrerer Geophonausgänge g k (t).
Das summierte Ausgangssignal s(t) = ∑ N−1
k=0 g k(t) einer Geophongruppe bildet die Spur (trace) und
wird der Position des in der Mitte gelegenen Geophons zugeordnet (siehe Abb. 30).
42

Spur
Geophon
Geophongruppe
Abbildung 30: Geophongruppe
Man bündelt zur Signalverstärkung und Rauschunterdrückung (Störwellen werden unterdrückt).
Störwellen sind langwellige Oberflächenwellen mit geringen Geschwindigkeiten (kleiner als die Schwerwellengeschwindigkeit)
und großen Amplituden, die sich horizontal ausbreiten. Sie werden nur teilweise
durch Hochpass-Filterung beseitigt. Zusätzlich gibt es seismische Bodenunruhen, die z.B. durch Wind,
Meeresbewegungen und Verkehr verursacht werden. Sie haben kleinere Amplituden als die Oberflächenwellen,
eine horizontale Ausbreitungsrichtung und sind zum Teil statistischer Natur (z.B. Verkehr).
Ein weiteres Störsignal sind multiple Reflexionen (je nach Anwendung können durch die (konstante!)
Fahrgeschwindigkeit des Schiffs und die zeitlichechwächt werden können.
Von diesen Störwellenarten können die Oberflächenwellen und zum Teil die seismische Bodenunruhe
durch Bündelung geschwächt werden. Dagegen werden die Nutzsignale, also die Steilwinkelreflexionen
bei geeigneter Bündelung verstärkt.
Die Geophone einer Geophongruppe können linear oder in flächenhaften Mustern angeordnet sein.
Am einfachsten ist eine lineare Anordnung gleichabständiger Geophone (siehe Abb. 31). Dabei sind
typische Abstände zwischen den Spuren z.B. 12,5 m, 25 m oder 50 m.
Spur 1 Spur 2 Spur 3 u.s.w. ...
Geophongruppe 1 Geophongruppe 2 Geophongruppe 3
Abbildung 31: Typische Anordnung: Lineares gleichabständiges Geophonarray
Jede Geophongruppen stellt für die seismischen Wellen eine Empfangsantenne mit Richtwirkung
43

dar. Analog stellt eine Gruppe von mehreren Sprengungen eine Sendeantenne mit Richtwirkung für
seismische Wellen dar (siehe auch Kapitel 3, Richtwirkung von Quellen). Wellen, die senkrecht von unten
einfallen (α = 0 ◦ ) werden durch die Summierung der Geophon-Ausgangssignale maximal verstärkt
(konstruktive Interferenz). Wellen, die horizontal verlaufen (z.B. Oberflächenwellen, Weitwinkelreflexionen)
werden durch destruktive Interferenz bei der Summierung der Geophon-Signale unterdrückt.
In Abbildung 32 ist dies graphisch dargestellt. Bei der Steilwinkelreflexion gilt, λ ′ r > λ r mit λ ′ r =
Scheinwellenlänge der reflektierten Welle. Die Scheinwellenlänge λ ′ o der Oberflächenwelle ist ungefähr
genauso groß wie die wirkliche Wellenlänge λ o , also λ ′ o = λ o . Daher löschen sich die Oberflächenwellen
bei geeignetem Abstand der Geophone in der Gruppe bei der Summierung der Geophonsignale
durch das Addieren der Wellenberge mit den Wellentälern, aus.
Neuere Entwicklungen (2008) zeigen bei der Datenaufnahme einen Trend zu Einzelgeophonen mit
anschließender Gruppenbildung im Rechner, die dabei für die vorhandenen Stör- und Nutzsignale
optimiert werden kann. Hierzu werden aber sehr viele Kanäle benötigt, die auch alle gespeichert
werden müssen. Der Umfang der Rohdaten wächst also deutlich an (proportional zur Anzahl der
Geophone in einer Gruppe).
Steilwinkel−Reflexion
Oberflaechenwelle
λ ’ r
λ ’ o
α
L
λ r
λ o
Abbildung 32: Bei der Gruppenbildung kommt es bei Steilwinkelreflexionen zu konstruktiver Interferenz,
bei Oberflächenwellen zu destruktiver Interferenz.
7.1 Linearer gleichabständiger Geophonarray
N : Anzahl der Geophone in der Geophongruppe
v = λf = λ ω 2π : Wellengeschwindigkeit
v ′ =
v
sinα =
λ ω
sinα 2π = λ′ ω 2π
: Scheingeschwindigkeit längs der Erdoberfläche
44

λ = v f : Wellenlänge
λ ′ = 2π ω v′ =
λ
sinα
k = ω v = 2πf
λf = 2π λ : Wellenzahl
k ′ = ω v ′
= 2π
λ ′
: Scheinwellenlänge längs der Erdoberfläche
: Scheinwellenzahl
d : Abstand zwischen den Geophonen innerhalb der Gruppe
L = (N − 1)d : Länge der Geophongruppe
x=0 x=xn
α
α
90
Wellenfront
Abbildung 33: Eintreffen einer Wellenfront auf eine Geophongruppe
Für ein Geophon in x = 0 erzeugt das eintreffende seismische Signal am Geophon die Ausgangsspannung
g(t). Die Fouriertransformierte von g(t) ist ḡ(ω). Für ein Geophon in x = x n (siehe Abb.
33) trifft das seismische Signal mit der Verzögerung
ein. Das Ausganssignal ist dort also
τ n = x n
v ′
= x nsinα
v
=
(n − 1)dsinα
v
(38)
g n (t) = g (t − τ n ) , (39)
also in der Zeit um τ n verschoben. Schaltet man alle N Geophonausgänge hintereinander so erhält
man das Summensignal der seismischen Spur (hier zusätzlich durch Multiplikation mit 1 N normiert):
s(t) = 1 N
N−1
∑
n=o
g n (t) = 1 N
N−1
∑
n=0
g(t − τ n ). (40)
45

Einschub: Verschiebungssatz
Jede Zeitspur x(t) ist eine Superposition harmonischer Schwingungen also (Fourierintegral):
∫ ∞
x(t) = 1 ¯x(ω)e −iωt dω
2π −∞
(41)
x(t − τ) = 1 ∫ ∞
¯x(ω)e −iω(t−τ) dω = 1 ∫ ∞
¯x(ω)e iωτ e −iωt dω,
2π −∞
2π −∞
(42)
dabei ist ¯x(ω) die Fouriertransformierte von x(t) und ¯x(ω)e iωτ (Vergleich mit Gl. (41)) die Fouriertransformierte
von x(t-τ).
Unter Berücksichtigung des Verschiebungssatz ist das Spektrum der Summenspur
¯s(ω) = 1 N−1
N ḡ(ω) ∑
n=0
e −iωτn . (43)
Da die Geophone gleichabständig sind, gilt τ n = nτ. Die Laufzeitdifferenz zwischen zwei benachbarten
Geophonen ist dabei τ = d v sinα = d v
= const. Daraus folgt:
′
1
N
s(t) = 1 N
s(ω) = 1 N−1
N ḡ(ω) ∑
n=0
N−1
∑
n=0
g(t − nτ) (44)
e −iωnτ = 1 ḡ(ω)A(ω). (45)
N
ist die Normierung, ḡ(ω) ist das Spektrum eines Geophonausgangs und A(ω) ist die Übertragungsfunktion
des linearen Geophonarrays.
A(ω) = ∑ e −iωnτ ωτ
−i(N−1)
sin(N ωτ
= e 2 2 )
sin( ωτ
2 ) (46)
Stellt man den Betrag der Übertragungsfunktion A(ω) (Gleichung (46)) als Funktion der horizontalen
Spurwellenlänge λ ′ dar, so erhält man:
|A(λ ′ )| = | sin(Nπ d λ
) ′
sin(π d λ
) | = sin( N
N−1 π L λ
) ′
sin( 1
′ N−1 π L λ
) ′
d
Diese Größe wird auch als “relativer Effekt” bezeichnet. Die Nullstellen dieser Funktion liegen bei n λ ′ N
(siehe Abb. 34). Es gilt:
N L
N − 1 λ ′ = ν =⇒ d λ ′ = ν (48)
N
mit ν = 1, 2, 3, ....
(47)
46

1
0 1/N 2/N 3/N (N−1)/N 1
d/ λ ’ = d sinα / λ
D
S
Abbildung 34: Qualitativer Verlauf des relativen Effekts: D = Durchlassbereich, S = Sperrbereich
Durch geeignete Wahl von N und d lässt sich erreichen, dass die störenden Oberflächenwellen mit
(10 m λ ′ 100 m) in den Bereichen 1 N ≤ d λ
≤ N−1
′ N
(Sperrbereich) und die Steilwinkelreflexionen
(mit λ ′ ≫ 100 m) in den Bereich 0 ≤ d λ
≤ 1 ′ N
(Durchlassbereich) fallen, letztere also verstärkt
durchgelassen werden.
Sehr instruktiv ist folgende Darstellung aus dem Buch von Meißner und Stegena. In Abbildung 35
wird λ ′ mit λ, N mit n und τ mit ∆t bezeichnet.
47

Abbildung 35: Der relative Effekt RE in Abhängigkeit von der normierten Auslagenlänge L/λ, nach
SAVIT et al. (1958). n = Anzahl der Geophone, AB = Auslöschungsband (Sperrbereich),
DB = Durchlassband (Durchlassbereich). Quelle: Studienhefte zur Angewandten
Geophysik, "Praxis der seismischen Feldmessung und Auswertung", R. Meissner &
Stegena, 1977 Gebrüder Borntraeger
Man sieht aus Abbildung 35, dass es bei linearen gleichabständigen Geophonarrays keinen Sinn hat,
mehr als 10 Geophone pro Gruppe zu verwenden. Dennnoch werden in der Praxis Gruppen mit mehr
als 10 Geophonen benutzt. Grund ist die aus der Summation der Spuren resultierende Verbesserung
des Signal-Störverhältnisses (S/N ratio), die proportional zu √ N ist, mit N als Anzahl der Spuren in
der Gruppe. Außerdem erkennt man, dass zur Unterdrückung der unerwünschten Oberflächenwellen
L
λ
1 gefordert werden muss, wobei λ ′ erfahrungsgemäß ungefähr gleich der längsten Störwellenlänge
′
gesetzt werden kann. Da jedoch in der Nähe von L λ
= 1 wenig Energie vom Array durchgelassen wird,
′
kann man zur Dimensionierung des Arrays die verschärfte Forderung 0 ≤ L λ
≤ 1 ′ 2
stellen (dies ist in
Abbildung 35 als Durchlassbereich bezeichnet).
7.1.1 Ungleiche Geophonabstände
Eine Verbesserung der Übertragungsfunktion (weitere Unterdrückung der Seitenbänder) kann man
erreichen, indem man ungleiche Geophonabstände oder gleichabständige Geophone variabler Verstärkung
(die Verstärkung nimmt dabei vom Zentralgeophon der Gruppe nach außen hin ab) verwendet.
Auch lässt sich so erreichen, dass alle Seitenbänder den gleichen maximalen Durchlass haben (Approximation
durch Tschebycheff-Polynome). Die ideale Übertragungsfunktion T (λ ′ ) (siehe Abb. 36) lässt
sich nicht erreichen, da dazu unendlich viele Geophone variabler Dichteverteilung erforderlich wären.
48

|Τ( λ ’)|
1
L/ λ ’ = k ’ L/2 π
Abbildung 36: Ideale Übertragungsfunktion T(λ ′
7.1.2 Unterdrückung der seismischen Bodenunruhe:
Es wird angenommen , dass die Bodenunruhe völlig statistisch verteilt sei (weisses Rauschen), was
nur zum Teil zutrifft, da üblicherweise ein bestimmtes Wellenzahlband dominiert. Es wird weiterhin
angenommen, das die Nutzsignale senkrecht von unten einfallen (ϕ = 0). In der Steilwinkelseismik
werden kleine Auslagen im Verhältnis zur erkundenden Tiefe realisiert, so dass überwiegend senkrecht
einfallende Signale beobachtet werden. Die Gleichung (49) beschreibt das Signal-Noise Verhältnis mit
der Proportionalität zur Anzahl N der Geophone einer Gruppe.
7.1.3 Flächenhafte Bündelung
m = Nutzenergie
Störenergie ∼ √ N (49)
Für das gleichabständige lineare Geophonarray hatte sich ergeben, dass es keinen Sinn hat, mehr als
ca. 10 Geophone pro Gruppe zu verwenden, da dem größerem Aufwand bei der Datenaufnahme keine
wesentlichen Verbesserung der Übertragungsfunktion gegenüber steht. In der Praxis verwendet man
jedoch oft mehr als 10 Geophone, allerdings in flächenhafter Anordnung. Grund: Auslöschung auch
seitlich einfallender Störwellen und zur Verbesserung des oben genannten Störabstands.
49

8 Messwerterfassung
Geophon bzw.
Geophongruppe
= Spur
Registrierapparatur
Seismogramm
Abbildung 37: Registrierapparatur
Eine Registrierapparatur muss folgendes leisten:
1. Verstärkung der Geophon-Ausgangsspannung
2. Filterung zur Unterdrückung von Störwellen (bzw. deren Restanteile nach der Bündelung)
3. Aufzeichnung bzw. Speicherung der Seismogramme
Die Ausgangsspannung am Geophon liegt etwa zwischen 0.1 V - 1 µV, d.h. der Dynamikumfang
ist ca. 10 5 : 1, also ungefähr 100 dB. Vergleicht man die Dynamikbereiche älterer analoger Methoden
der Datenaufnahme, wie z.B. der Aufzeichnung auf Photopapier 10 3 : 1 (60 dB) oder analoger
Magnetbänder 10 3 : 1 (60 dB), so sieht man den enormen Vorteil der Digitaltechnik, die sehr hohe
Dynamikumfänge > 120 dB zulässt. Bei den früher üblichen analogen Aufzeichnungen musste
der Dynamikbereich des Geophons durch geeignete Vorverstärkungen bei der Registrierung ausgeglichen
werden. Für Geophone dicht bei der Quelle wurde eine kleinere Verstärkung benutzt als für die
Geophone, die weit von der Quelle entfernt waren.
Die digitale Aufnahme seismischer Daten ist eine diskontinuierliche Aufzeichnung im Gegensatz
zur kontinuierlichen bei Analogapparaturen (werden heute nicht mehr verwendet). Die vorverstärkte
Ausgangsspannung eines Geophons bzw. einer Geophongruppe, also das analoge kontinuierliche Signal,
wird mit konstantem Zeitintervall abgetastet (z.B. alle 4ms) und die entsprechende Spannung kodiert
aufgezeichnet. Mit Hilfe eines geräteabhängigen Kalibrierungsfaktor kann diese Spannung in eine
Bodenbewegung umgerechnet werden.
50

Abbildung 38: analoges Signal
Abbildung 39: digitales Signal
In den Zeiten zwischen zwei Abtastungen wird die Signalspannung nicht verarbeitet, d.h. die Information
geht verloren. Um auch diese Daten aus der diskontinuierlichen Aufzeichnung zu rekonstruieren,
ist eine geeignete Abtastung erforderlich.
8.1 Quantisierung der Amplituden
Die Amplituden (bzw. Spannungen) der Registrierung werden als Zahlen dargestellt. Erforderlich ist ein
möglichst großer Dynamikbereich, der dem des benutzten Geophons entsprechen sollte. Die Dynamik
51

wird in der Regel in Dezibel angegeben und beschreibt den Logarithmus des Amplitudenverhältnisses
von Eingangsamplitude zur Ausgangsamplitude.
N[dB] = 20log 10
A 1
A 2
(50)
Amplitudenverhältnis [ A 1
A 2
]
Dynamik [dB]
1.41:1 3
1:1.41 -3
2:1 6
3:1 10
10:1 20
100:1 40
1000:1 60
10.000:1 80
100.000:1 100
1.000.000:1 120
Tabelle 1: Dynamik
Warum sollte die Dynamik groß sein?
Aufgrund der sphärischen Divergenz von seismischen Wellen von Punktquellen kommt es zu starken
Amplitudenverlusten mit wachsendem Abstand von der Quelle. Diese nehmen mit 1 r
ab, wobei
r den Abstand von der Quelle beschreibt. Hat man Beispielsweise eine Reflexion aus 5 km Tiefe, so
entspricht r = 10 km. Das Verhältnis von Eingangsamplitude ist dann 10.000 : 1 und entspricht einer
Dynamik von 80 dB. Die Dämpfung ist ein weiterer Faktor der die Amplitude kleiner werden lässt,
dabei wird elastische Energie in Wärme umgewandelt. Dieser Energieverlust ist frequenzabhängig. Bei
der Reflexion der Strahlen an einer Grenzschicht mit einem Reflexionskoeffizient von 0.1 nimmt die
Amplitude um 20 dB ab. Damit die Amplituden des Ausgangssignal an der Quelle und die Tiefenreflexion
bei gleicher Vorverstärkung erfasst werden, benötigt man eine Dynamik von 110 dB, die nur
mit digitaler Aufzeichnung realisierbar ist.
8.1.1 Ganzzahl- Darstellung (integer Zahl)
Im Dezimalsystem mit Exponenten zur Basis 10 ergibt sich der Wert der Zahl 1205 nach folgendem
Zusammenhang:
1205 = 1 ∗ 10 3 + 2 ∗ 10 2 + 0 ∗ 10 1 + 5 ∗ 10 0
Entsprechend erhalten wir im Binärzahlsystem ein ähnliches Schema für Exponenten zur Basis 2..
1011 = 1 ∗ 2 3 + 0 ∗ 2 2 + 1 ∗ 2 1 + 1 ∗ 2 0
52

Die Binärzahl 1011 hat im Dezimalsystem also den Wert 11. Entsprechend erhalten wir für die
Binärzahl 1111
1 ∗ 2 3 + 1 ∗ 2 2 + 1 ∗ 2 1 + 1 ∗ 2 0 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15
Die beiden benutzten Binärzahlen haben eine Länge von 4 Bit. Entsprechend hat ein 16 Bit Analog-
Digital-Wandler eine Wortlänge von 16 Bit.
1. 2. 3. ...
15.
13
2 14 2 ....
2
Abbildung 40: Bitmuster
0
Das 16. Bit repräsentiert das Vorzeichen. Da 2 14 = 16384 können wir eine Spannung von ±10 Volt
mit einem 16 Bit Wort bei Ganzzahldarstellung z.B. in 16383 Stufen darstellen. Mit Fliesskommazahlen
lässt sich eine bessere Auflösung erreichen.
8.2 Abtasten eines Signals
Die Abtastung eines Signals (sampling) muss noch genauer betrachtet werden. Um eine Sinus-
Schwingung der Frequenz f = 1 T
aus gesampelten Werten reproduzieren zu können, muss das Abtastintervall
∆t kleiner oder höchstens gleich einer halben Periode sein (Gleichung 51). Das Gleichheitszeichen
bei der Abtastbedingung ist eher theoretisch zu verstehen, da im ungünstigsten Fall nur
Nullen abgegriffen werden können (siehe Abbildung) und daraus das Signal nicht rekonstruiert werden
kann. Eine harmonische Schwingung hat andererseits keine praktische Relevanz für seismische Signale.
53

T
guenstiger Fall
unguenstiger Fall
Abbildung 41: Abtastung eines harmonischen Signals mit f ′ = 1/T und T als Periode des abzutastenden
Signals. Der ungünstige Fall ist in der Praxis nicht relevant, da keine harmonischen
Signale aufgezeichnet werden.
Hat die Abtastfrequenz den Wert f ′ = 1 ∆t
, so können nur Frequenzen
f ≤ f ′ /2 = f N (51)
reproduziert werden. Diese Frequenz wird als Nyquistfrequenz bezeichnet. Enthält ein analoges Signal,
das mit f’ abgetastet wird, höhere Frequenzen als f N , so tritt der Aliasing-Effekt (Verfälschungseffekt)
auf. Durch den Abtastvorgang wird eine tiefere Frequenz im Signal vorgetäuscht, als tatsächlich
vorhanden ist. Enthält ein analoges Signal, das mit der Frequenz f’ = 2f N abgetastet wird, die
Frequenz f N + f M , so erscheinen diese Frequenzanteile infolge des Abtastvorgangs als f N − f M im
digitalem Signal. In diesem Fall sind also analoges und digitales Signal nicht mehr identisch.
Um den Alias-Effekt zu verhindern, filtert man das analoge Signal mit einem Tiefpassfilter. Dieser
lässt Frequenzen oberhalb von f N nicht passieren. Dieser Tiefpassfilter wird Anti-Alias-Filter genannt.
Beispiel: Ein Signal enthält Frequenzanteile bis 200 Hz und wird mit ∆t=4 ms abgetastet, d.h. f ′ =250
Hz, also f N =125 Hz und damit f M =75 Hz, also wird eine Frequenz von f N −f M =50 Hz im digitalem
Signal vorgetäuscht.
54

8.3 Analoge Filterung
Um apparatives Rauschen, Netzbrummen und langperiodische Anteile der Oberflächenwellen zu unterdrücken,
wird das analoge Signal gefiltert. Diese Filter sind dann natürlich auch analog, werden also
durch geeignete RC-Glieder elektronisch realisiert. Die langperiodischen Anteile der Oberflächenwellen
können nicht immer mittels Bündelung beseitigt werden. Da diese aber häufig niedrigere Signalfrequenzen
aufweisen als die reflektierten Nutzsignale, werden Hochpassfilter eingesetzt. Diese Filterung
kann gegebenenfalls nach der Digitalisierung auch digital durchgeführt werden. Immer angewandt
wird der analoge Anti-Alias-Filter, also ein analoger Tiefpass, um eine korrekte Abtastung des Signals
sicher zu stellen. Gewünscht ist hierbei eine steile Flanke in der Übertragungsfunktion des Tiefpasses.
Die Kombination aus Hochpass und Anti-Alias-Filter ergibt eine Bandpassfilterung.
Abbildung 42: Bandpassfilter, Quelle: „A handbook for seismic data acquisition in exploration“ von
Brina J. Evans, society of exploration geophysicists
Die Flankensteilheit wird in dB pro Oktave beschrieben, wobei eine Oktave einer Frequenzverdopplung
entspricht.
55

Abbildung 43: Blockschaltbild der Datenerfassung, Quelle: Telford
Die Abtastung des Signals erfolgt gequantelt, für die Zeitdauer ∼ 1µs wird mit Hilfe eines sehr
schnellen elektronischen Schalters, der Multiplexer, der Geophon- bzw. Vorverstärker-Ausgang an einem
“Sample-and-hold” (Abtast- und Speicher-) Verstärker gelegt. Der gespeicherte Spannungswert
wird anschließend in einem Analog/Digital-Wandler mit einer Folge von diskreten stufenweise ansteigenden
(also gequantelten) Bezugsspannungen verglichen. Die Stufe, in die das Signal fällt, wird
vom A/D-Wandler binär kodiert und über den Formatierer auf das digitale Speichermedium (DVD,
Festplatte, Solid State Disc etc) weitergeleitet.
9 Datenaufnahme / Akquisition
Man unterscheidet zwischen Profilmessungen (2-D-Seismik) und flächenhaften Messungen (3-D-
Seismik). Bei der Profilmessung werden Geophone und Schußpunkte längs einer (meist geraden)
Profillinie angeordnet. Das Ergebnis der Auswertung ist ein ebener Vertikalschnitt durch den Untergrund
(vertical section). Dieses 2-D-Bild des Untergrunds wird als Abbild oder Image bezeichnet und
ist nur dann richtig, wenn die Streichrichtung aller Reflektoren gleich ist und das Profil senkrecht
zu dieser Streichrichtung verläuft. Bei der heute zunehmend verwendeten flächenhaften Anordnung
von Geophonen und Schußpunkten erhält man bei richtiger Auswertung als Ergebnis ein 3-D-Bild des
Untergrunds.
9.1 Arten von Geophonaufstellungen
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine Auslage anzuordnen (siehe Abb. 44). Ist der Schusspunkt am
Ende bzw. am Anfang der Auslage, spricht man vom “end on spread”. Befindet sich der Schuss-punkt
in der Mitte der Auslage (gleichviel Geophone zu beiden Seiten hin) hat man einen “split spread” oder
einen asymmetrischen split spread, wenn der Schusspunkt nicht in der Mitte der Auslage angeordnet
56

ist. Die Länge der Auslage wird als maximaler Offset bezeichnet, der Abstand jeder einzelnen Gruppe
einfach als Offset. Die gesamte Auslage wird auch als Kabel (cable) bezeichnet.
end on spread
Quelle
Geophone
split spread
asymmetrischer split spread
Abbildung 44: verschiedene Arten von Geophonauslagen
9.2 Die Überdeckung
Es gibt Einfachüberdeckung und Mehrfachüberdeckung. Bei der Einfachüberdeckung wird jeder Bereich
oder “Reflexionspunkt” im Untergrund nur einmal beleuchtet. Dabei verschiebt man die Schuss-
Geophon-Anordnung um den ganzen Offset (siehe Abb. 45 ). Je kleiner die Geophonabstände sind,
desto besser ist die laterale Auflösung (diese hängt aber auch noch von der Bandbreite des Signals
ab).
57

1. Schuss 2. Schuss
Abbildung 45: end on spread mit Einfachüberdeckung. Jeder Bereich im Untergrund wird nun über
einen Einfallswinkel beleuchtet.
9.2.1 Mehrfachüberdeckung
Anders als bei der Einfachüberdeckung wird hier ein Bereich oder “Reflexionspunkt” im Untergrund
mehrmals, also unter verschiedenen Winkeln, beleuchtet. Durch Verschieben der Anordnung erhält
man diese Mehrfachüberdeckung der Reflektoren. Abbildung 46 zeigt ein Beispiel, wie in der Praxis
vorgegangen wird. Die Geophongruppen 1 bis 34 werden ausgelegt. Dann schaltet man zunächst
die Geophongruppen 1 bis 24 an die Registrierapparatur an und schießt im Punkt A. Dadurch wird
der Bereich a bis g des Reflektors überdeckt. Danach schaltet man die Geophongruppen 3 bis 26
an die Apparatur und schießt in B, wodurch der Bereich b bis h überdeckt wird. Der Bereich b
bis g ist nun schon zwei mal überdeckt. Auf diese Weise wird weiter vorgegangen bis der vorher
gewünschter Überdeckungsgrad erreicht wird. Heute liegen übliche Überdeckungsgrade zwischen 80
und 150. Analoge Beispiele für Mehrfachüberdeckung sind in den Abbildungen 47 und 48 gezeigt.
58

Abbildung 46: Mehrfachüberdeckung, Quelle: Studienhefte zur Angewandten Geophysik, "Praxis der
seismischen Feldmessung und Auswertung", R. Meissner & Stegena, 1977 Gebrüder
Borntraeger
59

Abbildung 47: Zwölffachüberdeckung: nach Registrierung der Schüsse A - L wird die Aufstellung nach
rechts verschoben. Quelle: Studienhefte zur Angewandten Geophysik, "Praxis der seismischen
Feldmessung und Auswertung", R. Meissner & Stegena, 1977 Gebrüder Borntraeger
Abbildung 48: Symmetrischer Split Spread mit kontinuierlicher Überdeckung, Quelle: “Exploration
seismology Volume 1”, History, theory, and data acquisition, R.E. Sheriff & L.P. Geldart
60

Abbildung 49: Beim Common Midpoint (CMP) Gather werden Schüsse und Geophone nach dem
gemeinsamen Mittelpunkt sortiert. Bei einem horizontalen Reflektor (und nur da!)
ergibt sich der CDP (Common Depth Point), der gemeinsame Reflexionspunkt in der
Tiefe. Quelle: Seismic Data Processing von Yilmaz
Bei der Mehrfachüberdeckung werden die Spuren nach gemeinsamen Mittelpunkten zwischen Schüssen
und Geophonen sortiert (siehe Abb. 49). Dies nennt man Common Midpoint Gather (CMP). In
Abbildung 49 ist auch der CDP (Common Depth Point) eingezeichnet. Häufig finden wir auch die
Bezeichnung Common Depth Point (CDP) Gather. Der Begriff CDP ist aber nur in söhliger Schichtung
korrekt, ist also modellabhängig. Der CMP bezeichnet aber nur eine Geometrie der Auslage
und ist daher IMMER korrekt. Wir streichen daher die Bezeichnung CDP aus unserem Begriffskatalog,
obwohl er in der Literatur nach wie vor massive Verwendung findet. Abbildung 50 illustriert die
Modellabhängigkeit des Begriffs CDP.
61

Abbildung 50: CMP vs. CDP: Bei geneigter Schichtung gibt es keinen gemeinsamen Reflexionspunkt
(CDP) mehr, es kommt zur Reflexionspunktverschmierung (reflection point dispersal).
Der gemeinsame Mittelpunkt zwischen Schüssen und Geophonen (CMP) bleibt aber
immer erhalten, da es eine geometrische Eigenschaft der Auslage ist.
Neben dem CMP-Gather gibt es weitere Möglichkeiten, die Spuren einer mehrfach überdeckten
62

Akquisition zu sortieren (siehe Abb.46), z.B. nach Spuren desselben Geophons (Common Receiver
Gather), gemeinsamen Offsets (Common Offset Gather). Bei der im Feld erhaltenen Anordnung handelt
es sich immer um eine Anordnung mit einem gemeinsamen Schußpunkt (Common Shot Gather).
Die anderen genannten Anordnungen erhalten wir nach der Feldmessung durch geeignete Sortierung.
Beim CMP gibt der Überdeckungsgrad an, wieviel Schuss/Geophon-Paare im CMP enthalten sind.
Mit Gleichung (52) lässt sich der Überdeckungsgrad n berechnen.
n = N ∆g
(52)
2 ∆s
Dabei ist N = Anzahl der Geophone in der Auslage, ∆g = Geophongruppenabstand und ∆s =
Schusspunktabstand. Der Überdeckungsgrad ergibt sich also direkt aus den Akquisitionsparametern
und kann daher vor der Feldmessung entsprechend den Anforderungen festgelegt werden.
9.2.2 Bemerkungen zum Reflexionspunkt
Bisher wurde von einen Reflexions”punkt” gesprochen. Allerdings ist dies nur eine Abstraktion, ähnlich
wie beim Wellenstrahl. Die Begriffe Strahl und Punkt in der Wellenseismik treffen geometrisch
nur zu, wenn die Signalfrequenzen unendlich sind. Die Strahlenseismik wird daher auch als Hochfrequenzapproximation
bezeichnet (Spezialvorlesung im MSc Geophysik). Bei endlichen Signalfrequenzen
besitzen der Reflexions“punkt“ als auch der Strahl eine räumliche Ausdehnung (fat ray). In der Wellenseismik
sind die Dimensionen stets mit der vorherrschenden Wellenlänge zu skalieren (siehe auch
die Betrachtungen in der Einführung zur Angewandten Seismik weiter oben). In der Reflexionsseismik
gilt ungefähr für P-Wellen
1000 v 6000 m s
10 f 100 Hz
10 λ 600 m
Enthält z. B. ein Reflexionssignal vorherrschend Frequenzen um 20 Hz und beträgt die Durchschnittsgeschwindigkeit
ca. 4000 m s
so ergäbe sich eine dominierende Wellenlänge von λ = 200 m.
Die Ausdehnung eines Reflexionspunkts ist dann von der Größenordnung 100 m. Eine präzisere Beschreibung
der Ausdehnung eines Reflexionspunktes oder der räumlichen Ausdehnung eines Strahls
wird über die Fresnelzone bzw. das Fresnelvolumen definiert. Die räumliche Ausdehnung dieses Bereichs
entspricht dem Weg, den eine Welle in der Zeit T/2 zurücklegt, wobei T die vorherrschende
Periode im Signal ist, also T = 1/f m mit f m als vorherrschende Frequenz im Spektrum des Signals
der Welle.
9.3 Seeseismische Messanordnung
Mehrfachüberdeckung ist auf See einfacher als an Land zu erreichen, da keine Geophone abgebaut
bzw. neu ausgelegt werden müssen. Der Grad der Mehrfachüberdeckung ergibt sich einfach u.a. durch
die (konstante!) Fahrgeschwindigkeit des Schiffs und die zeitliche Schussfolge. Bei den Messungen
63

schwimmen seeseismische Druckaufnehmer (Hydrophone) in einem ölgefüllten Schlauch “Streamer”,
der hinter dem Schiff hergezogen wird.
Abbildung 51: Seeseismische Messanordnung: Registrierschiff mit Streamer im Schlepp, Quelle:Studienhefte
zur Angewandten Geophysik, "Praxis der seismischen Feldmessung und
Auswertung", R. Meissner & Stegena, 1977 Gebrüder Borntraeger
In Abbildung 51 ist ein Streamer mit 48 Hydrophongruppen von jeweils 50 m Abstand abgebildet.
Die heutigen Streamer können für Spezialanwendungen bis zu 18000 m lang sein. Um eine flächenhafte
Überdeckung zu erlangen (3-D Seismik) werden mehrere Streamer (bis zu 16, Stand 2008)
nebeneinander gezogen.
10 Seismische Zeit-Sektion (seismic time-section)
Als seismische Sektion bezeichnet man auch als Seismogramm-Montage, also die geometrische Anordnung
benachbarter Seismogramme (Spuren) im Abstand(Offset)-Zeit-Koordinatensystem (siehe Abb.
52). Horizontal ist der Abstand der Geophongruppen vom Schusspunkt und vertikal die Laufzeit t
meist nach unten aufgetragen (in Analogie zur Tiefe).
64

"Offset (km)"
-2 -1 0 1 2
1
"Time (sec)"
2
3
4
agc=1 wagc=0.5 Oz25
Abbildung 52: Seismische Sektion, stark kontaminiert mit Noise sehr langsamer Scheingeschwindigkeit
und dispersiven Charakter (Oberflächenwellen). Quelle: Yilmaz worldwide records, file
Oz25
10.1 Darstellung von Seismogrammen
Neben der Linienschrift (wiggle trace) (siehe Abb. 53) werden verschiedene andere Darstellungsformen,
insbesondere die Flächenschrift (siehe Abb. 54) verwendet. Bei der Flächenschrift werden positive
Amplituden geschwärzt, was die optische Korrelation seismischer Signale auf benachbarten Spuren
erleichtert.
65

"Offset (km)"
1 2 3 4 5 6
1
2
"Time (sec)"
3
4
5
Wiggle, normalized Oz04
Abbildung 53: Sektion in Linienschrift mit normalisierter Amplitude, Quelle: Yilmaz worldwide records,
file Oz04
66

"Offset (km)"
1 2 3 4 5 6
1
2
"Time (sec)"
3
4
5
Area, normalized Oz04
Abbildung 54: Die selbe Sektion wie Abb. 53, hier aber in Flächenschrift. Quelle: Yilmaz worldwide
records, file Oz04
10.2 Seismische Korrelation
Seismische Korrelation ist die optische Zuordnung seismischer Signale von benachbarten Spuren nach
den Merkmalen Amplitudenerhöhung, Signalform und Phase (siehe Abb. 55). Oft ändert sich die
Signalform (z.B. durch Interferenzvorgänge infolge von Streuung etc.), dann lassen sich u.U. nur
noch Wellengruppen, bzw. die Einhüllenden (Envelopen) korrelieren (siehe Abb. 56). Als Korrelation
bezeichnet man aber auch die Zuordnung seismischer Signale über große Beobachtungslücken hinweg
(siehe Abb. 57).
67

Abbildung 55: Phasen-Korrelation
Abbildung 56: Gruppen-Korrelation
... ? ...
Abbildung 57: Korrelation seismischer Signale über Beobachtungslücken hinweg
10.3 Darstellung der Amplituden
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Amplituden in einer Sektion darzustellen. Die wichtigsten drei
Darstellungsarten werden hier erklärt.
10.3.1 “wahre” Amplituden (true amplitudes)
Bei dieser Amplitudendarstellung werden alle Amplituden der Reflexionen in der gesamten Sektion
mit einen konstanten Faktor skaliert, so dass alle Amplituden der Sektion untereinander vergleichbar
sind. Auf diese Art und Weise lassen sich auch verschiedene Schüsse relativ miteinander vergleichen,
wenn diese mit dem selbem Faktor skaliert wurden. Da die Wellen zu größeren Zeiten einen längeren
68

Weg zurückgelegt haben, nehmen die Amplituden in der Sektion mit zunehmenden Zeiten deutlich
ab (geometrischer Ausbreitungsverlust).
"Offset (km)"
-2 -1 0 1 2
1
2
"Time (sec)"
3
4
5
True amplitudes Oz01
Abbildung 58: Sektion mit true amplitudes dargestellt, Quelle: Yilmaz worldwide records, file Oz01
10.3.2 Normalisierung
Die Amplituden werden spurweise auf die maximale Amplitude in der Spur normiert. Dadurch werden
auch Spuren mit kleinen Amplituden sichtbar, die in der true amplitudes Darstellung nicht zu erkennen
wären. Bei der Normalisierung kann man nur Amplituden innerhalb einer Spur relativ miteinander
vergleichen.
69

"Offset (km)"
-2 -1 0 1 2
1
2
"Time (sec)"
3
4
5
normalized Oz01
Abbildung 59: dieselbe Sektion von Abb. 58 mit normalisierter Amplitude dargestellt, Quelle: Yilmaz
worldwide records, file Oz01
10.3.3 Automatic Gain Control (AGC)
Beim AGC werden die Daten einer Seismogrammspur innerhalb eines festgelegten Zeitfensters (typisch
sind 500 ms) auf ein einheitliches Energieniveau skaliert. Das Zeitfenster wird über das gesamte
Seismogramm geschoben und führt zur Angleichung der Energie in den Spuren über den gesamten
Zeitbereich. Dadurch werden auch sehr schwache Einsätze sichtbar. Kurze Zeitfenster verstärken dabei
alles (siehe Abb. 61) während lange Zeitfenster dazu tendieren relative Amplituden zu zeigen (siehe
Abb. 60). Durch die zeitlich variable Skalierung ist diese Darstellung nicht mehr zur Amplitudenauswertung
geeignet, da sich die Amplituden nicht mehr miteinander vergleichen lassen.
70

"Offset (km)"
-2 -1 0 1 2
1
2
"Time (sec)"
3
4
5
agc=1 wagc=0.5 Oz01
Abbildung 60: dieselbe Sektion von Abb. 58 mit automatic gain control mit einem AGC-Fenster von
500 ms, Quelle: Yilmaz worldwide records, file Oz01
71

"Offset (km)"
-2 -1 0 1 2
1
2
"Time (sec)"
3
4
5
agc=1 wagc=0.2 Oz01
Abbildung 61: dieselbe Sektion von Abb. 58 mit automatic gain control mit einem AGC-Fenster von
200 ms, Quelle: Yilmaz worldwide records, file Oz01
11 Seismische Wellen
Seismische Wellen sind in Raum und Zeit veränderliche Deformationen der Erde. Das Fundament der
Wellenausbreitung ist die Elastizitätstheorie, welche die dynamischen Reaktionen auf äußere Kräfte
beschreibt. Ein Körper, der unter Spannung steht, ändert seine Form, er wird deformiert. Bei ideal
elastischen Körpern kehrt das Objekt nach Abschalten der Spannung wieder in den alten Zustand
zurück. Also sind elastische Prozesse reversibel.
72

11.1 Spannungs-Dehnungs-Beziehung
Für elastische Medien besteht ein linearer Zusammenhang zwischen Spannung und Deformation
(siehe Gl. (53)). Dieser Zusammenhang ist bekannt als stress-strain-relation, Spannungs-Dehnungs-
Beziehung oder das Hooksche Gesetz. Meistens ist das Hooksche Gesetz nur in seiner eindimensionalen
Form bekannt. Das verallgemeinerte Hooksche Gesetz gilt für Spannungen und Deformationen in dreidimensionalen
Medien. Spannungen und Deformationen sind hierbei Tensoren 2. Stufe, die über den
Elastizitätstensor 4. Stufe miteinander verknüpft sind. In isotropen Medien sind allerdings nur 2 Komponenten
des Elastizitätstensors unabhängig voneinander. Diese werden als Lamé-Parameter λ und
µ bezeichnet. Wir betrachten nun eindimensionale Spannungs-Dehnungs-Beziehungen, bei denen alle
Größen Skalare sind.
∆u
000000000
111111111
01
01
01
01
000000000
111111111
01
u
A
τ = Spannung
Abbildung 62: Der Quader wird durch die Spannung τ auf die Länge u − ∆u verkürzt.
Die Spannung τ sei die Kraft, die auf die Fläche A parallel zum Normalenvektor von A wirkt (siehe
Abb. 62). Es handelt sich also um eine Normalspannung. Die Spannung entspricht dem Druck P der
auf die Fläche A wirkt (P = τ = F A
). Für τ gilt:
τ = E ∆u
u
= ∂u
∂x , (53)
mit E = [Druck]=[Nm]. E ist das Elastizitätsmodul, welches auch Young-Modul genannt wird.
73

τ
τ
τ
τ
τ
Abbildung 63: Kompression durch allseitigen Druck
Wirkt ein allseitiger Druck (hydrostatischer Druck) auf einen Körper, wird er komprimiert (siehe
Abb. 63). Dabei gilt:
τ = K ∆V
V . (54)
V ist das Ausgangsvolumen des Körpers und ∆V ist die Volumenänderung durch den Druck. K ist
das Kompressionsmodul mit der Einheit [Nm].
11.2 Querkontraktion
Eine Längenänderung als Folge einer Normalspannung geht mit einer Querschnittsänderung einher
(siehe Abb. 64). Die Querzahl oder Poissonzahl ɛ beschreibt den Zusammenhang zwischen der Längenänderung
∆u und der Querschnittsänderung ∆v. Es gilt:
ɛ ∆u
u
= −∆v v . (55)
74

∆v
u
∆u
000000000
111111111
01
01
01
01
000000000
111111111
01
v
A
τ
Abbildung 64: Querkontraktion durch Einwirken der Spannung τ auf die Fläche A
11.3 Scherspannung
Die Scherspannung ist eine Tangentialspannung, die also tangential zur Fläche A wirkt (siehe Abb.
65). Die Scherdeformation ∆γ hängt linear von der Scherspannung τ ab (siehe Gl. (56)).
mit µ = Schermodul.
τ = µ∆γ, (56)
τ
∆γ
Abbildung 65: Scherdeformation
11.4 Relationen zwischen den elastischen Parametern
Hier wird kurz der Zusammenhang zwischen den elastischen Parametern sowie den Lamé-Parametern
und den Kompressions- und Scherwellengeschwindigkeiten gezeigt.
E = Elastizitätsmodul
75

( )
µ(3λ + 2µ) K − λ
E = = 9K
= 9Kµ + ε)(1 − 2ε)
= λ(1
λ + µ
3K − λ 3K + µ ε
(57)
K = Kompressionsmodul
K = λ + 2 ( )
3 µ = Eµ 1 + ε
3(3µ − E) = λ 3ε
2(1 + ε)
= µ
3(1 − 2ε)
(58)
Das Schermodul µ wird auch mit G bezeichnet. λ und µ sind die Lame’schen Parameter und es gilt:
ε = Poisson’sches Verhältnis (Querzahl)
λ = K − 2 3 G (59)
ε =
λ
2(λ + µ) = λ 3K − 2µ
=
2K − λ 2(3 + µ)
(60)
v P = Kompressionswellengeschwindigkeit
v P =
√ √
K + 4 3 µ λ + 2µ
=
ρ
ρ
(61)
v S = Scherwellengeschindigkeit
v S =
√
G
ρ = √ µ
ρ
(62)
Hierbei ist ρ die Dichte.
11.5 Die Wellengleichung
In der Realität treten sowohl Tangential- als auch Normalspannungen gleichzeitig auf. Zur Herleitung
der eindimensionalen Wellengleichung betrachten wir nur die Normalspannung ohne Querkontraktion.
76

∆u
Volumenelement
A
x
dx
Abbildung 66: Das Volumenelement des Quaders wird um ∆u → ∂u verändert.
Eine Änderung des Spannungszustands drückt das Volumenelement dV = Adx zusammen (siehe
Abb. 66). Wir betrachten die resultierende Kraft auf dV.
dF = Aτ(x + dx) − Aτ(x) = Adτ (63)
Das Volumenelement dV hat die Masse dm mit der Dichte ρ. Die Trägheitskraft auf dV ist
dm = ρdV = ρdxA (64)
die mit ∂2 u
∂t 2
beschleunigt wird. Daraus folgt:
Durch Einsetzen von τ = E ∂u
∂x
Mit v 2 = E ρ
erhält man:
folgt die eindimensionale Wellengleichung.
dF = ρdxA ∂2 u
= Adτ (65)
∂t2 dτ = ∂τ
∂x dx = E ∂2 u
dx (66)
∂x2 ∂ 2 u
∂t 2 = v2 ∂2 u
∂x 2 (67)
Die Gleichung (67) ist eine homogene, lineare, partielle Differentialgleichung 2. Ordnung in einer
Dimension. Entsprechende Überlegungen für Volumen- und Scherdeformation führen zu Wellengleichungen
für Kompressions- und Scherwellen. In einer Dimension sind diese formal identisch mit Gl.
(67) mit den Geschwindigkeiten
für Kompressionswellen und
v 2 P = K + 4 3
ρ
= λ + 2µ
ρ
(68)
77

v 2 S = µ ρ
(69)
für Scherwellen.
Aus der Linearität der Gleichung (67) folgt das Superpositionsprinzip. Sind u A (x, t) und u B (x, t)
Lösungen von Gleichung (67), dann ist auch u C (x, t) = au A (x, t) + bu B (x, t) eine Lösung von
(67).Dabei sind a und b beliebige Konstanten.
Die D’Alembert-Lösung der Wellengleichung (67) bezeichnet alle Funktionen zum Argument (t± x v )
(überprüfen durch einsetzen) , z.B.:
u A = sin(t − x v ),
u B = e a(t+ x v ) ,
u C = (t − x v )3 .
Die allgemeine Lösung von (67) schließt eine unendliche Anzahl von speziellen Lösungen mit ein.
Die Wellengleichung ist im allgemeinen schwer zu lösen. In der Geophysik sind Lösungen gesucht,
die zusätzlich Randbedingungen (z.B. gemessenes Feld, Beobachtungen am Meeresboden oder an der
Erdoberfläche) und Anfangsbedingungen (Quellsignal, -zeit) erfüllen müssen. Exakte (analytische)
Lösungen existieren nur in wenigen, einfachen Fällen, z.B. bei homogener, söhliger Schichtung. Diese
werden unter anderem mit der “Reflektivitätsmethode” berechnet. Asymptotische (approximative)
Lösungen beruhen auf einschränkenden Annahmen, wie z.B. auf hohe Frequenzen im Signal (Hochfrequenzapproximation,
geometrische Strahlenseismik). Numerische Lösungen basieren auf der Finiten
Differenzen (FD) oder der Finiten Elementen Methode (FEM). Hierzu werden im MSc Programm
Spezialvorlesungen angeboten.
Es bleibt zu zeigen, dass f(t − x v
) eine Welle beschreibt, die sich mit der Geschwindigkeit v in
x-Richtung ausbreitet. Betrachten wir x 1 = x 0 + ∆x und t 1 = t 0 + ∆t. Da sich die Signalform f
nicht ändert passiert an der Stelle x 1 exakt das Gleiche wie bei x 0 allerdings zu einer späteren Zeit
∆t = x 1
v
− x 0
v
= ∆x
v
mit ∆x = x 1 − x 0 . Es gilt daher:
f(t 0 − x 0
v ) = f(t 1 − x 1
v ) (70)
t 0 − x 0
v = t 1 − x 1
v
⇒ t 1 − t 0 = x 1
v − x 0
v
Aus Gl. (71) folgt für v die Dimension einer Geschwindigkeit:
⇒
∆t = ∆x
v
(71)
v = ∆x
∆t . (72)
Die Wellenausbreitung in der Erde ist dreidimensional. Somit wird in der Wellengleichung u(x,t)
zum Verschiebungsvektor ⃗u(⃗x, t) und ∂2 wird zu ∇ ⃗ 2 = ∂2 + ∂2 + ∂2 ( ∇ ⃗ Nabla Operator). Damit
∂x 2
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
folgt für die dreidimensionale Wellengleichung (gilt komponentenweise für die u i ):
78

∂ 2 ⃗u
∂t 2 = v2 ⃗ ∇ 2 ⃗u (73)
Die Lösungen dieser Gleichung sind ebene Wellen. Ebene Wellen sind als Konzept vorteilhaft, aber in
der Erde haben wir es mit Kugelwellen zu tun. Durch die radialen Symmetrie liegt der Übergang von
kartesischen Koordinaten x, y und z zu Kugelkoordinaten r, ϑ und ϕ nahe. Die Wellengleichung in
Kugelkoordinaten unterscheidet sich nur im Nabla-Operator von der Wellengleichung in kartesischen
Koordinaten.
⃗∇ 2 = 1 r ( ∂ ∂ ∂r (r2 ∂r )) + 1 ∂
r 2 sinϑ ∂ϑ (sinϑ ∂
∂ϑ ) + 1
r 2 sin 2 ϑ ∂ϕ 2 (74)
Die Wellengleichung in Kugelkoordinaten hat die Lösung
u(r, t) = 1 r f(t ± r v ) (75)
Die Wellenfronten sind Kugeln mit dem Radius r und die Amplitude nimmt mit den Abstand 1 r ab
(sphärische Divergenz oder geometrischer Ausbreitungsverlust). Der Begriff geometrischer Ausbreitungsverlust
resultiert aus der Energieerhaltung und der Tatsache, das sich die Energie auf einer
ständig größer werdenden Fläche verteilt. Da die Kugeloberfläche proportional zum Quadrat des Radius
ist und die Energie proportional zum Quadrat der Verschiebung ergibt sich der Amplitudenverlust
auch sofort aus geometrischen Überlegungen. Dieser Amplitudenverlust der Bodenverschiebung mit
1/r ist ein entscheidender Unterschied zu ebenen Wellen. Eine Kugelwelle die sich 10 km ausbreitet,
erfährt also einen Amplitudenverlust von 1/10.000 also um 80 dB.
∂ 2
12 Wellen in geschichteten Medien
12.1 Grenzfläche zwischen zwei akustischen Halbräumen
Betrachten wir zwei homogene Halbräume mit v S = 0 (akustisches Medium, nur P-Wellenausbreitung),
die starr aneinander gekoppelt seien, also keine Relativbewegungen zueinander möglich sind. Eine auf
die Grenzfläche (Diskontinuität in v P oder ρ) zwischen den Halbräumen einfallende Welle regt eine
reflektierte und eine transmittierte Welle an. Die Amplituden und Reflexions/Transmissions-Winkel
dieser Wellen erhalten wir aus den Geschwindigkeiten und Dichten so wie dem Einfallswinkel α i . Es
gilt das Snellius’sche Brechungsgesetz. Die Indices i und j kennzeichnen hierbei das Medium, also
Halbraum 1 oder Halbraum 2.
sin α i
v i
= sin α j
v j
(76)
sinα i
v i
= const = p (77)
Für die reflektierte Welle gilt also die bekannte Beziehung Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel. Für
die transmittierte Welle gilt sin α 2 = v 2
v 1
sin α. p ist der Strahlparameter oder auch horizontale
Slowness. Diese Größe legt den Laufweg des betrachteten Strahls eindeutig fest. Dies gilt auch für
79

sin αn
v2
ein beliebig horizontal geschichtetes Medium aus n Schichten, also sin α 1
v 1
=
wobei k von 1 bis n läuft. Der Strahlparameter ist also eine Propagationsinvariante, der mit dem
Anfangswert eindeutig festgelegt ist und sich entlang des Laufwegs nicht ändert.
= · · · = sin α k
v k
= p,
α 1
α 2
α
V1
V2
Abbildung 67: transmittierte und reflektierte Welle (v 2 > v 1 )
Wenn v 2 > v 1 existiert ein kritischer Winkel α ∗ , so dass α 2 = 90 ◦ . Es gilt:
sin α 2 = 1 ⇒ sin α = v 1
v 2
(78)
( )
α ∗ v1
= arcsin
v 2
(79)
Ab dem kritischen Winkel findet Totalreflexion (keine Transmission) statt. Das Medium wirkt wie ein
Spiegel. Die kritisch bzw. überkritisch (also für Einfallswinkel größer α ∗ ) transmittierte Welle läuft im
Medium 2 an der Schichtgrenze mit der Geschwindigkeit v 2 entlang und strahlt kontinuierlich unter
dem Winkel α ∗ nach oben ab (siehe Abb. 68). Diese Welle heißt Kopfwelle (head wave) oder auch
Mintrop-Welle (Ludger Mintrop, Explorationsseismiker). Die Wellenfront dieser Welle ist eben und die
Normale an die ebene Welle bildet den Winkel α ∗ gegenüber der Vertikalen.
80

∗
α
∗
α
V
1
V
2
Abbildung 68: Totalreflexion
Physikalisch ist die Wellenfront der Mintrop-Welle ein Machkegel (Überschallkegel) mit dem Öffnungskegel
α ∗ (siehe Abb. 69). Durch die starre Kopplung der beiden Halbräume und die Geschwindigkeit
v 2 der transmitttierten Welle ergibt sich im Medium 1 eine Überschallsituation (v 2 > v 1 ), die
zur Ausbreitung der ebenen Wellenfront in Schicht 1 führt. Der Machkegel schmiegt sich tangential
an die Wellenfront der reflektierten P-Welle an. Die Kopfwelle setzt ein, sobald der kritische Winkel
erreicht ist und hat dort die gleiche Laufzeit wie die reflektierte Welle. Diese Welle wird also an
der Oberfläche erst für Entfernungen beobachtet, für die die Einfallswinkel der zugehörigen Strahlen
größer als α ∗ sind (kritische Entfernung). Für die Machzahl M gilt:
M = v1 P
v 2 P
= 1
sin α
(80)
81

eflektierte Wellenfront
1
Ausbreitung mit V p
starrer Kontakt an der
Grenze, keine
Relativverschiebungen
(Gleiten, slip)
α∗
V
p 1 * t
2
V p
Machkegel
* t
α∗
Wellenfront der
kritisch reflektierten
Welle Vp 2
Vp 1
Vp 2
Abbildung 69: Machkegel (v 1 P < v2 P )
Ein Beispiel für einen Machkegel sieht man hinter dem Heck eines fahrenden Schiffes im Wasser.
Ist das Schiff schneller als die Wellengeschwindigkeit der Wasserwellen, bildet sich ein Machkegel aus,
der umso schmaler ist, je schneller das Schiff fährt. Hierbei ist mit Wellengeschwindigkeit nicht die P-
Wellengeschindigkeit im Wasser gemeint, sondern die Geschwindigkeit, mit der sich die Wasserwellen
ausbreiten.
12.2 Grenzfläche zwischen zwei elastischen Halbräumen
Ist die Scherwellengeschwindigkeit v S ≠ 0, so treten konvertierte Wellen (Wechselwellen) auf. Trifft
eine P-Welle auf eine Grenzfläche entsteht eine reflektierte und transmittierte P-Welle und eine konvertierte
reflektierte und transmittierte S-Welle (siehe Abb. 70). S-Wellen lassen sich in eine Horizontal-
(SH) und eine Vertikalkomponente (SV) zerlegen. SH-polarisierte-Scherwellen konvertieren nicht, sind
in ihrem Verhalten an Grenzflächen also Kompressionswellen in akustischen Medien ähnlich.
12.2.1 Einfallende P-Welle
Je nach Modell kann es hier bis zu zwei kritische Winkel geben. Für vP 1 < v2 P und v1 P < v2 S
zwei kritische Winkel, also
( v
α ∗ 1
)
= arcsin P
vP
2
( v
α ∗∗ 1
)
= arcsin P
vS
2
gibt es
(81)
(82)
82

Ist v 1 P > v2 S gibt es nur einen kritischen Winkel α∗ .
Vp 1
V 1
S
2
Vp
V S
Vp
2
V S
Abbildung 70: einfallende P-Welle, konvertierte, reflektierte und transmittierte Wellen für ein Modell
mit v 1 P < v2 P , v1 S < v2 S , v1 P < v2 S . 83

12.2.2 Einfallende SV-Welle
α
α
P
SV
Abbildung 71: Einfallende SV-Welle und generierte P- und SV-Wellen für ein Modell mit v 1 S < v2 P ,
v 1 S < v2 S )
Ist die einfallende Welle eine SV-Welle, kann es je nach Modell bis zu drei kritische Winkel, also bis
zu 3 Kopfwellen geben (siehe Abb. 71). Die drei kritischen Winkel sind
und
( v
α ∗1 1
)
= arcsin S
vP
2 ,
( v
α ∗2 1
)
= arcsin S
vS
2 ,
( v
α ∗3 1
)
= arcsin S
vP
1 .
Da immer vS 1 < v1 P
gilt (denn √ µ/ρ< √ (λ + 2µ)/ρ), gibt es also bei einer einfallenden SV-Welle
immer eine überkritisch reflektierte P-Welle, die sich entlang der Grenzfläche mit der Geschwindigkeit
vP 1 ausbreitet.
Aus Sicht der Scherwelle breitet sich die überkritisch reflektierte P-Welle mit „Überschall“ im 1.
Medium aus. Der Machkegel bildet sich in diesem Fall gegen die reflektierte SV-Wellenfront aus.
Abbildung 69 gilt hier also analog. Die Wellenfront des Machkegels schmiegt sich tangential an die
Wellenfront der reflektierten SV-Welle an. Auch diese Welle tritt erst für Offsets größer als die kritische
Entfernung in Erscheinung.
84

12.3 Reflexions- und Transmissionskoeffizient
Die Amplituden der reflektierten und transmittierten Wellen sind modellabhängig und hängen von
den Geschwindigkeiten v 1 P , v2 P , v1 S , v2 S und den Dichten ρ 1 und ρ 2 , bzw. von der Impedanz ab. Die
Impedanz (Schallhärte) ist gegeben durch
z = v ∗ ρ (83)
Für vertikalen Einfall ist der P-Wellen-Reflexionskoeffizient (ebene Welle):
R P P = v2 P ∗ ρ 2 − v 1 P ∗ ρ 1
v 2 P ∗ ρ 2 + v 1 P ∗ ρ 1
= z 2 − z 1
z 2 + z 1
(84)
Wenn v 1 ∗ρ 1 > v 2 ∗ρ 2 ist R P P < 0, d.h. die Polarität des reflektierten Signals ändert das Vorzeichen
(Reflexion am losen Ende, Phasenumkehr).
einfallendes Signal
ausfallendes Signal
Der Transmissionskoeffizient ist
Abbildung 72: Es kommt zum Polaritätswechsel, wenn z 1 > z 2 .
T P P 2ρ 1 vP
1 =
vP 2 ∗ ρ 2 + vP 1 ∗ ρ 1
= 2z 1
z 1 + z 2
(85)
Unter realen Bedingungen ist |R| ≪ |T | und |T | ≈ 1. Beim Reflexions- und Transmissionskoeffizienten
steht der erste hochgestellte Buchstabe für die einfallende Welle und der zweite für die erzeugte
Welle. Der Koeffizient R SP entspricht also dem Reflexionskoeffizienten einer konvertierten P-Welle
(bei einfallender S-Welle) und T SS dem Transmissionskoeffizienten einer S-Welle (bei einfallender
S-Welle).
Bei überkritischen Einfall (α ≥ α ∗ ) werden die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten komplex.
Ein komplexer Reflexionskoeffizient führt zu einer veränderten Signalform des Signals der erzeugten
Welle.
mit ignal der einfallenden Welle ist f(t) und der komplexe Reflexionskoeffizient ist R = R r + iR i
mit R r als Realteil und R i als Imaginärteil. Für das Signal r(t) der reflektierten Welle gilt:
r(t) = R r f(t) + R i f H (t), (86)
hierbei ist f H (t) die Hilberttransformierte von f(t), die man über eine Integralgleichung erhält. Sehr
einfach erhält man die Hilberttransformierte im Frequenzbereich. Hier gilt
85

¯ f H (ω) = i sgn(ω) ¯f(ω) (87)
dabei ist ¯ f H (ω) das Spektrum der Hilberttransformierten des Signals f der einfallenden Welle, ¯f(ω)
ist das Spektrum des Signals und sng(ω) = 1 für ω ≧ 0, bzw. sng(ω) = −1 für ω < 0.
Bei rein reellen Reflexionskoeffizienten hat das reflektierte Signal also die gleiche Form, wie das
Signal der einfallenden Welle. Bei rein imaginären Reflexionskoeffizienten ergibt sich als Signalform
der reflektierten Welle die Hilberttransformierte der einfallenden Welle. Für komplexe Reflexionskoeffizienten
ergibt sich die Signalform der reflektierten Welle aus der Superposition vom Signal selbst
mit seiner Hilberttransformierten, jeweils multipliziert mit den Real- bzw. Imaginärteil des Reflexionskoeffizienten.
Auf der Internetseite www.crewes.org/ResearchLinks/ExplorerPrograms/ZE/ZEcrewes.html ist ein
Java-Applet das für verschiedene einfallende Wellen Reflexions- und Transmissionskoeffizienten in
Abhängigkeit vom Einfallswinkel darstellt. Das Modell kann dabei beliebig gewählt werden. Auf den
folgenden Abbildungen sind die Ergebnisse für einige Fälle skizziert.
Abbildung 75: Quelle: "Exploration seismology Volume 1", History, theory, and data acquisition, R.E.
Sheriff & L.P. Geldart
86

1
Reflection coefficients as a function of φ for different velocity ratios, SH−Waves
0.9
ρ1 = ρ2
β1 > β2
0.8
0.7
0.6
⏐ rss ⏐
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
φ
87
Abbildung 73: Betrag des Reflexionskoeffizienten (Verschiebung) für SH-Wellen (vergleichbar mit P-
Wellen in akustischen Medien) wobei v 2 S = β 2 < v 1 S = β 2 und ρ 1 = ρ 2 . Parameter ist
das Geschwindigkeitsverhältnis β 1 /β 2 . Der Reflexionswinkel ist für alle Einfallswinkel
reell, hat aber einen Nulldurchgang (Brewster-Winkel).

1
Reflection coefficients as a function of φ for different velocity ratios, SH−Waves
0.9
ρ1 = ρ2
β1 < β2
0.8
0.7
0.6
⏐ rss ⏐
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
φ
88
Abbildung 74: Betrag des Reflexionskoeffizienten (Verschiebung) für SH-Wellen (vergleichbar mit P-
Wellen in akustischen Medien) wobei v 2 S = β 2 > v 1 S = β 2 und ρ 1 = ρ 2 . Parameter ist
das Geschwindigkeitsverhältnis β 1 /β 2 . Für überkritische Reflexion wird der Reflexionskoeffizient
komplex. Bei Totalreflexion ist |r ss | = 1.

12.3.1 Reflexions- und Transmissionskoeffizient im geschichteten Medium
Die Reflexionsantwort an der Oberfläche geschichteter Medien ist durch die Überlagerung vieler reflektierter
Wellen einschließlich multipler Reflexionen charakterisiert. Dieses führt je nach Frequenz
im Signal zu konstruktiver (d.h. |R P P | ≫ 0) und destruktiver (d.h. |R P P | ≪ 1) Interferenz. Der
Reflexionskoeffizient in geschichteten Medien ist deswegen modell- und frequenzabhängig.
13 Petrophysikalische (Gesteinsphysikalische) Grundlagen
Sowohl die Ausbreitungsgeschwindigkeiten als auch die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten
hängen von den Gesteinsgeschwindigkeiten ab. In diesem Abschnitt wollen wir die Faktoren zusammenstellen,
die einen Einfluss aus die seismischen Geschwindigkeiten im Gestein haben. Die seismischen
Geschwindigkeiten und Impedanzen von festen Gesteinen variieren sehr stark, d.h. die Geschwindigkeiten
alleine sind nicht ausreichend, um auf ein bestimmtes Gestein zu schließen. Hierzu sind zusätzliche
Informationen erforderlich, z.B. aus der Geologie oder aus anderen Messungen. In der seismischen Geschwindigkeit
sind sehr viele Einflussfaktoren subsumiert. In den Abbildungen 76 und 77 sieht man,
dass große Geschwindigkeits- und Impedanzbereiche für verschiedene Gesteine gleichzeitig zutreffen
können. Das liegt daran, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit nicht nur vom Gestein selbst abhängt,
sondern von physikalischen Zustandsgrößen sowie von den Gesteinseigenschaften. Sie hängt ab von:
1. Petrologie (Gesteinsmatrix): Sedimentgesteine sind “langsamer” als Grundgesteine.
2. Druck: Die Geschwindigkeit nimmt mit zunehmendem Druck zu.
3. Temperatur: Die Geschwindigkeit nimmt mit zunehmender Temperatur ab. In der Tiefe gleichen
sich die Geschwindigkeitsänderungen durch Druck und Temperatur ungefähr wieder aus.
4. Gesteinsgefüge: Je feinkörniger das Gestein, desto “schneller” ist es.
5. Dichte: Die Geschwindigkeit √ √
nimmt mit zunehmender Dichte zu, obwohl die Dichte im Nenner
steht (v P = λ+2µ
ρ
, v S = µ
ρ
). λ und µ wachsen im Verhältnis zur Dichte ρ überproportional.
6. Porosität: Je poröser das Gestein, desto “langsamer” ist es. Durch die lithostatische Auflast
(Druck) wird die Porosität verringert und es kommt zu starken Geschwindigkeitszunahmen in
der obersten Kruste. Die Porenfüllung (Wasser, Gas) hat auch einen starken Einfluss, z.B. auf
die Kompressionswellengeschwindigkeit..
7. Klüftigkeit: Je zerklüfteter das Gestein, desto “langsamer” ist es.
89

Abbildung 76: Größenordnungen und Streubereiche der Ausbreitungsgeschwindigkeiten elastischer
Wellen aus Messungen an Proben ausgewählter gesteinsbildender Minerale und Gesteine
90

Abbildung 77: Größenordnungen und Streubereiche der Schallhärte (akustische Impedanz) elastischer
Wellen ausgewählter gesteinsbildender Minerale, Gesteine und Porenfüllungen
14 Laufzeitkurven reflektierter Wellen
In den nun folgenden Abschnitten werden die Grundlagen für die Laufzeiten (Kinematik) reflektierter
und diffraktierter Wellen gelegt. Die Ergebnisse sind fundamental für die Methoden zur Datenbearbeitung,
wie die Geschwindigkeitsanalyse, die dynamische Korrektur, das Stapeln und die Zero-Offset
(ZO) Sektion, die ein erstes noch nicht tiefengerechtes Abbild des Untergrunds repräsentiert. Wir
beginnen mit dem einfachsten Fall des söhligen (horizontalen) Reflektors.
14.1 Ein söhliger Reflektor
Wir betrachten einen söhligen (horizontalen) Reflektor. Um eine Gleichung für Laufzeitkurven
herzuleiten, benötigen wir nur elementare Geometrie (siehe Abb. 78).
91

Abbildung 78: Ein söhliger Reflektor: Die obere gekrümmte Laufzeitkurve gehört zur reflektierten Welle,
die untere (gerade) Laufzeitkurve ist die direkte Welle. S ist die Quelle, R und R ′
sind Empfänger, C ist der „Reflexionspunkt“, α der Einfallswinkel, h die Schichtmächtigkeit,
x der Offset (Entfernung zw. Quelle und Empfänger) und I ist ein imaginärer
Punkt (Spiegelpunkt), Quelle: "Exploration Seismology Volume 1", History, theory, and
data acquisition, R.E. Sheriff & L.P. Geldart
Die Laufzeit berechnet sich aus dem Laufweg dividiert mit der Geschwindigkeit. Die Laufzeit der
direkten Welle ergibt sich daher sofort mit t d = x/v. Für die reflektierte Welle wissen wir aus dem
Snellius’schen Gesetzt (Gleichung 76), dass der Reflexionswinkel gleich dem Einfallswinkel α ist. Daher
ist der Laufweg einer Welle von S über C nach R gleich dem Laufweg von I nach R. Also ergibt sich
für den Laufweg von I nach R (Pythagoras)
v 2 t 2 = x 2 + 4h 2 (88)
92

v 2 t 2
4h 2 − x2
= 1. (89)
4h2 Die Laufzeitkurven reflektierter Wellen lassen sich also durch eine Hyperbelgleichung beschreiben.
Die Zero-Offset (ZO) Zeit oder auch t 0 -Zeit ist die Laufzeit an der Stelle x = 0, also die Laufzeit
für den in sich selbst reflektierten Strahl, wo Schußpunkt und Empfängerpunkt die selbe Koordinate
haben. Die Laufzeit der reflektierten Welle dort ist:
t 0 = 2h v . (90)
Da es sich um die Laufzeiten von Wellen handelt, die von der Oberfläche zum Reflektor und wieder
zurück gelaufen sind, sprechen wir auch von Zweiweglaufzeiten (two-way-time oder TWT). Stellt
man die Gleichung (89) nach t um und setzt die t 0 -Zeit ein erhält man für die Laufzeitkurve
bzw.
t =
√
t 2 0 + x2
v 2 = t 0
√
1 +
( x
vt 0
) 2
(91)
t 2 = t 2 0 + x2
v 2 . (92)
Die Wurzel aus Gleichung (91) lässt sich in eine Taylorreihe (Gl. (93)) entwickeln,
Sei t = t 0 + ∆t n , so ist
t = t 0
(
1 + 1 2
( ) x 2
− 1 ( ) )
x
4
+ ... . (93)
vt 0 8 vt 0
x 2
x 4
∆t n = 1 2 v 2 − 1 t 0 8 v 4 t 3 0
+ .... (94)
∆t n bezeichnet man als normal moveout (NMO) oder auch einfach nur als moveout. Der NMO ist
der Laufzeitunterschied vom zero-offset-Strahl (x=0) zum offset-Strahl (x≠0). Es ist eine
fundamentale Größe in der Datenbearbeitung. Für kleine Einfallswinkel (Steilwinkelseismik) ist
x
vt 0
= x
2h ≪ 1, d.h. x≪2h, erhält man ∆t n ≈ x2
2t 0 v 2 , (95)
93

womit sich die parabolische Näherung der Laufzeit
t ≈ t 0 +
x2
2t 0 v 2 = t 0 + x2
4hv
(96)
ergibt. Die parabolische Form ist nur für sehr kleine Offset eine gute Näherung und wird in der
Praxis nicht für Berechnungen von Laufzeitkurven benutzt. v ist die moveout-Geschwindigkeit
(v NMO ), die nur im Falle eines söhligen Reflektors der Geschwindigkeit des Mediums entspricht. Die
zweite Ableitung der Laufzeitkurve gibt näherungsweise die Krümmung der Reflexionshyperbel im
Scheitelpunkt an,
dt
dx =
x
t 0 v 2 (97)
d 2 t
dx 2 = 1
t 0 v 2 = 1
2hv . (98)
Aus der Gleichung (98) erkennt man, dass der NMO mit zunehmender Reflektortiefe und zunehmender
Geschwindigkeit kleiner wird, d.h. die Laufzeithyperbel ist weniger gekrümmt. Mit abnehmender
Reflektortiefe und Geschwindigkeit wird der NMO größer.
94

14.2 Ein geneigter Reflektor
Abbildung 79: Ein geneigter Reflektor: S ist die Quelle, R ein Empfänger, x der Offset, C, C ′ und
C ′′ sind Reflexionspunkte, h ist die Reflektortiefe am Schusspunkt, I ist ein imaginärer
Punkt, ξ ist der Neigungswinkel des Reflektors und D ′ ist ein Punkt in dem der
Strahl senkrecht auf der Profillinie einfällt. Quelle: "Exploration seismology Volume 1",
History, theory, and data acquisition, R.E. Sheriff & L.P. Geldart
95

Für eine von S über C nach R laufende Welle erhält man nach dem Cosinussatz cos(90 ◦ + ξ) = sin ξ
oder mit der quadratischen Ergänzung sin 2 ξ + cos 2 ξ
v 2 t 2 = x 2 + 4 + 4hx sin ξ, (99)
v 2 t 2 = x 2 + 4h 2 (sin 2 ξ + cos 2 ξ) + 4hx sin ξ = (x + 2h sin ξ) 2 − 4h 2 cos ξ (100)
v 2 t 2 (x + 2h sin ξ)2
−
(2h cos ξ) 2 (2h cos ξ) 2 = 1. (101)
Gleichung (101) ist eine Hyperbel, dessen Scheitelpunkt um −2h sin ξ bergwärts verschoben ist. Mit
t 0 = 2h v
lässt sich Gleichung (99) folgendermaßen schreiben:
t 2 = t 2 0 + x2 + 4hx sin ξ
v 2 (102)
√
t = t 0 1 + x2 + 4hx sin ξ
4h 2 . (103)
Für die parabolische Näherung erhält man mit √ 1 + x ≈ 1 + x 2
für x≪h
(
)
t ≈ t 0 1 + x2 + 4hx sin ξ
8h 2 . (104)
Wir betrachten die Laufzeiten in der Entfernung x = ∆x und x = −∆x von der Quelle. Für die
Laufzeiten t 1 = t(∆x) und t 2 = t(−∆x) ergibt sich mit der parabolischen Näherung
(
)
t 1 = t(∆x) ≈ t 0 1 + (∆x)2 + 4h∆x sin ξ
8h 2 = t 0 + (∆x)2
2t 0 v 2 + ∆x sin ξ , (105)
v
(
)
t 2 = t(−∆x) ≈ t 0 1 + (∆x)2 − 4h∆x sin ξ
8h 2 = t 0 + (∆x)2
2t 0 v 2 − ∆x sin ξ . (106)
v
Die Differenz von t 1 und t 2 ist ∆t d (Gl. (107)) und wird als dip moveout (DMO) bezeichnet (wird
gelegentlich auch als ∆t d
∆x
definiert),
∆t d = t 1 − t 2 ≈ 2∆x
v
∆x sin ξ
sin ξ = t 0 . (107)
h
Mit dem NMO und dem DMO lässt sich die Laufzeit in parabolischer Näherung folgendermaßen
Schreiben:
96

t ≈ t o + ∆t n + 1 2 ∆t d (108)
t ≈ t 0 +
x2
2t 0 v 2 + xsinξ . (109)
v
In Abb. 80 sieht man die Relation zwischen dem NMO und dem DMO. Die Kurve (A) hat ihren
Scheitelpunkt nicht bei t 0 , sie ist unsymmetrisch. Daran erkennt man, dass es sich um einen geneigten
Reflektor handelt (in Schuss-Empfänger-Koordinaten). Kurve (B) hat den selben moveout, aber keine
Neigung (Scheitelpunkt bei t 0 ), wodurch sie symmetrisch ist. Wenn man die Laufzeiten für (A) von
den Laufzeiten der Kurve (B) abzieht, bleibt nur der dip moveout übrig (Kurve (C)).
Abbildung 80: Beziehung zwischen NMO und DMO: (A) Reflexion von einem geneigten Reflektor,
(B) Reflexion von einem söhligen Reflektor, (C) Reflexion aus (A) nach Verschiebung
um den in (B) dargestellten NMO, d.h. DMO alleine, t 0 = 1s, v=2500 m s , Quelle:
"Exploration Seismology Volume 1", History, theory, and data acquisition, R.E. Sheriff
& L.P. Geldart
97

14.2.1 Laufzeit im Scheitelpunkt
Um die Laufzeit im Scheitelpunkt der Hyperbel zu bekommen, setzt man x D = −2h sin ξ in die
Gleichung (99) ein.
t 2 (−2h sin ξ)2
D =
v 2 + t 2 0 +
Die Asymptoten der Hyperbel sind
−2h sin ξ4h sin ξ
v 2 = t 2 (
0 1 − sin 2 ξ ) = t 2 0 cos 2 ξ (110)
a = 2hcosξ
v
(111)
b = 2hcosξ (112)
t = a b x = 2hcosξ
2hcosξv x = x v . (113)
Die Krümmung im Scheitelpunkt ist
14.3 n söhlige Reflektoren
K = a b 2 =
2hcosξ
v(2hcosξ) 2 = 1
2hvcosξ . (114)
Herleitung (nach Taner und Koehler, 1969) der Laufzeit für n söhlige Reflektoren:
98

x
V1
Vk
S k
α k
α 1
h 1
h
k
Vn−1
Vn
α n
h
n
Abbildung 81: Strahlweg in n söhligen Schichten. Der Weg in der Schicht k ist s k .
Mit dem Strahlparameter
x = 2
n∑
x k = 2p
k=1
n∑ h k v
√ k
= x(p) (115)
1 − p 2 vk
2
k=1
p = sinα k
v k
= x k
s k v k
(116)
erhalten wir eine Parameterdarstellung der Laufzeitkurve,
t = 2
n∑
k=1
s k
v k
= 2
n∑
k=1
h k
v k
√
1 − p 2 v 2 k
Die Funktion √ 1 − p 2 v 2 kann in einer Taylorreihe entwickelt werden.
√
1 − p 2 v 2 = 1 + 1 2 p2 v 2 + 1 ∗ 3
2 ∗ 4
Wegen |p 2 v 2 | < 1 konvergiert die Reihe. Dann ist
x = 2
∞∑
j=1
q j
n∑
k=1
= t(p). (117)
(
p 2 v 2) 2 1 ∗ 3 ∗ 5 (
+ p 2 v 2) 3
+ ... (118)
2 ∗ 4 ∗ 6
h k v 2j−1
k
p 2j−1 (119)
99

und
t = 2
∞∑
j=1
mit q 1 = 1 und q j = 1∗3∗...∗(2j−3)
2∗4∗...∗(2j−2)
. Definiert man
q j
a m = 2
n∑
k=1
n∑
k=1
h k v 2j−3
k
p 2j−2 , (120)
v 2m−3h k
k
, (121)
b m = q m a m+1 , (122)
so ergibt sich an der Form der Parameterdarstellung
γ m = q m a m , (123)
x =
t =
∞∑
b j p 2j−1 , (124)
j=1
∞∑
γ j p 2j−2 . (125)
j=1
14.3.1 Entwicklung der Laufzeit in eine Potenzreihe
Da die Laufzeitkurve wegen der Symmetrie des Modells und der Isotropie der Schichten eine gerade
Funktion ist, kann sie in eine Potenzreihe der folgenden Form entwickelt werden:
t 2 = c 1 + c 2 x 2 + c 3 x 4 + c 4 x 6 + .... (126)
Man quadriert nun die Gleichungen (124) und (125), setzt sie in die Gleichung (126) ein und findet
die Koeffizienten c i durch Vergleichen der Koeffizienten mit von sich entsprechenden Potenzen von
p 2 .
Quadrieren von (124) und (125):
∑
∞
x 2 = p 2 B j1 p 2j−2 , (127)
j=1
mit
∞∑
t 2 = A j p 2j−2 , (128)
j=1
B j1 = b 1 b j + b 2 b j−1 + ... + b j b 1 , (129)
100

A j = γ 1 γ j + γ 2 γ j−1 + ... + γ j γ 1 . (130)
Die höheren Potenzen von x lassen sich folgendermaßen berechnen:
∑
∞
x 2n = p 2n B jn p 2j−2 , (131)
j=1
wobei sich die B jn rekursiv aus Gleichung (132) berechnen lassen (für n = 2, 3, 4,... und j = 1, 2, 3,...).
B jn = B j(n−1) B 11 + B (j−1)(n−1) B 21 + ... + B 1(n−1) B j1 (132)
Einsetzten der Gleichungen (127) und (131) in die Gleichung (126) liefert
bzw.
∞∑
∑
∞ ∑
∞
A j p 2j−2 = c 1 + c 2 p 2 B j1 p 2j−2 + c 3 p 4 B j2 p 2j−2 + ... (133)
j=1
j=1
j=1
A 1 + A 2 p 2 + A 3 p 4 +
j=3
∞∑
A j p 2j−2 = c 1 + c 2 p 2 B 11 + c 2 p 4 B 21 +
j=4
∞∑
∞∑
B j1 p 2j−2 + c 3 p 4 B 12 + c 3 p 6 B 22 + B j2 p 2j−2 + ..., (134)
rechte Seite nach Potenz von p sortieren:
j=3
... = c 1 + p 2 (c 2 B 11 ) + p 4 (c 2 B 21 + c 3 B 12 ) + ... + c 3 B 22 p 6 +
∞∑
.... (135)
Vergleich der Koeffizienten:
p 0 : A 1 = c 1
A 1 = γ 1 γ 1 + γ 1 γ 1 = a 2 1 (136)
j=3
c 1 = a 2 1 (137)
p 2 : A 2 = c 2 B 11
A 2 = γ 1 γ 2 + γ 2 γ 1 = 2q 1 a 1 q 2 a 2 = a 1 a 2 (138)
B 11 = b 1 b 1 = q 2 1a 2 2 = a 2 2 (139)
p 4 : A 3 = a 1
a 2
B 21 + c 3 B 12 u.s.w.
c 2 = a 1
a 2
(140)
101

Es ist:
c 1 = a 2 1 =
wobei t 0 die vertikale Zweiweglaufzeit ist.
Mit der vertikalen Einweglaufzeit τ k = h k
v k
(
2
c 2 = a 1
a 2
=
n∑
k=1
h k
v k
) 2
= t 2 0, (141)
∑ n
k=1
h k
v k
∑ n
k=1 h kv k
. (142)
lässt sich die Gleichung (142) folgendermaßen schreiben:
c 2 =
∑ n
k=1 τ k
∑ n
k=1 τ kvk
2 . (143)
Der Kehrwert von √ c 2 wird als Effektivgeschwindigkeit bezeichnet,
√
1
c 2
= ṽ =
√ ∑n
∑k=1 τ kvk
2
n
k=1 τ . (144)
k
ṽ wird auch rms-Geschwindigkeit (root of the mean of the square) genannt. Gleichung (126) wird
dann zu
t 2 = t 2 0 + x2
+ .... (145)
ṽ2 Wenn man die unendliche Reihe (145) nach dem zweiten Glied abbricht, erhält man eine Hyperbelgleichung.
Der Fehler ist jedoch nur für kleine Werte von |p 2 v 2 |, d.h. kleine Einfallswinkel zu
vernachlässigen. Kleine Einfallswinkel sind gleichbedeutend mit x≪h (Steilwinkelbereich). Man hätte
auch Gleichung (118) schon nach dem zweiten Glied abbrechen können und damit die Rechnung
stark vereinfacht. Jedoch hätte man dann keine Aussage über den Abbruchfehler machen können. Es
kann kein Konvergenzradius der Reihe (145) angegeben werden, jedoch soll der Abbruchfehler für ein
Beispiel gezeigt werden. Abb. 82 ist die Geschwindigkeits-Tiefenfunktion für das Beispiel (Modell mit
19 Schichten). Die in Gleichung (126) Auftretenden Koeffizienten c i sind modellabhängig. Wie man
aber in den Gleichungen (141) und (142) sieht, spielt die Abfolge der Schichten, die durch (h i , v i )
definiert sind, keine Rolle. In Abb. 83 wird deutlich, dass die Anpassung an die exakte Lösung um
so besser wird, je mehr Glieder für die Reihenentwicklung benutzt werden und je mehr Schichten das
Modell hat. Also ist die hyperbolische Näherung für kleine Offset, d.h. für Steilwinkelseismik gut. In
der Praxis wird im Allgemeinen ein Offset/Target-Verhältnis x h
≤ 1 gewählt. Also so lange der Offset
kleiner als die Reflektortiefe ist, ist der Fehler vernachlässigbar.
102

Abbildung 82: Geschwindigkeits-Tiefenfunktion eines Modells mit 19 Schichten
103

Abbildung 83: Links: Vergleich des Abbruchfehlers nach dem 2. - 5. Glied, Rechts: Vergleich des Fehlers
für unterschiedliche Schichtanzahl, Zeitdifferenz = wahre Laufzeit - approximierte
Laufzeit
14.3.2 parabolische Näherung für n söhlige Reflektoren
Ein anderer Ansatz die Laufzeitkurve für ein horizontal geschichtetes Medium zu entwickeln ist
mit
t(x) = b 1 + b 2 x 2 + b 3 x 4 + ..., (146)
b 1 = t 0 , (147)
b 2 = 1
2t 0 ṽ 2 , (148)
Der Abbruch der Reihe nach dem zweiten Glied liefert eine parabolische Näherung der Laufzeit, die
jedoch nicht so genau ist wie die hyperbolische Näherung (siehe Abb. 84).
104

x
A
D
C
B
t
Abbildung 84: A = wahre Laufzeitkurve, B = Hyperbel, die sich am besten an die wahre Laufzeitkurve
anschmiegt, C = Hyperbel (Gleichung (145)) , D = Parabel (Gleichung (146))
15 Laufzeitkurven in CMP-Koordinaten
Anstelle von Schuss/Empfängerkoordinaten werden oft CMP-Koordinaten verwendet. Ein Grund dafür
ist, dass letzteres weniger neigungsempfindlich ist, d.h. in Schuss/Empfängerkoordinaten ist der
Reflexionsbereich verschmierter als in CMP-Koordinaten (siehe Abb. 85, der Reflexionsbereich in
CMP-Koordinaten ist kleiner und kann daher eher als „Reflexionspunkt“ im Sinne einer Fresnel-Zone
aufgefasst werden). Wir werden darüber hinaus erkennen, dass auch die Laufzeit in CMP-Koordinaten
einen entscheidenden Vorteil gegenüber der Laufzeit in Schuss-Empfänger-Koordinaten hat.
105

S
S
S
S
S
CMP
G
G G G
Abbildung 85: Linkes: Schuss/Empfängerkoordinaten, Rechts: CMP-Koordinaten
15.1 Ein söhliger Reflektor
s 1
g
1
y 1
S
3
S
2
S 1 CMP G
1
G
2
G
3
x
h
z
Abbildung 86: CMP-gather
106

Wir betrachten einen horizontalen Reflektor. In Abbildung 86 sind die Spuren nach ihrem CMP umsortiert.
Die Koordinaten der Schusspunkte S i sind s i und die Koordinaten der Geophone G i sind g i .
Die CMP-Koordinate x CMP ist dann
x CMP = g i + s i
2
Der Schuss-Geophonabstand (Offset) y i ist
= const. (149)
y i = g i − s i . (150)
Für die Laufzeitkurve in CMP-Koordinaten ergibt sich dann die Hyperbel
t(y) = 2
√ (h
v
) 2 ( y
) 2
+ =
√t 2 0
2v
+ y2
v 2 , (151)
d.h. die Laufzeitkurve in CMP-Koordinaten t(y) entspricht der Laufzeitkurve in Schuss-Koordinaten
t(x), da die Reflektortiefe an allen Schusspunkten und dem CMP gleich ist.
Aus dem gleichen Grund sind auch im Mehrschichtenfall die Laufzeitkurven gleich. Entsprechend
Gleichung (126) ist
wobei
und
t 2 (y) = c 1 + c 2 y 2 + c 3 y 4 + ..., (152)
c 2 = 1
v 2 RMS
Die Laufzeitkurve in CMP-Koordinaten lautet also
t 2 (y) = t 2 0 +
Bei horizontaler Schichtung ist v RMS = v NMO .
c 1 = t 2 0 (153)
√ ∑n
k=1
=
τ k
∑ n
k=1 v2 k τ . (154)
k
y2
v 2 RMS
. (155)
107

15.2 Ein geneigter Reflektor
S’
90−α
Q
S
α
ζ
CMP
ζ
y/2
α
G
G’
α
P
R
h M
ζ
NIP
Abbildung 87: Skizze zur Herleitung der Laufzeitkurve in CMP-Koordinaten für einen geneigten Reflektor
Gesucht sei die Laufzeit mit Bezug auf den CMP. Die Reflektortiefe am CMP bezeichnen wir mit h M
und den Reflexionspunkt des zero-offset-Strahls mit NIP (normal incidence point). Wie aus Abbildung
87 ersichtlich, sind die Strecken
und
SS ′ =
SQ
sin(90 ◦ − α) = y sinζ
2 cosα
(156)
108

d.h.
GG ′ = GP
cosα = y sinζ
2 cosα , (157)
SS ′ = GG ′ . (158)
Daher ist die Laufzeit einer Welle von S über R nach G gleich der Laufzeit einer Welle von S’ über R
nach G’,
Andererseits ist
t S ′ G ′ = S′ R + RG ′
v
= 1 v
(
SR + RG + SS ′ − GG ′) = t SG . (159)
S ′ G ′ = S ′ Q + QP − G ′ P = y sinζ
2 tanα + ycosζ − y sinζ
= ycosζ. (160)
2 tanα
Die Laufzeit t(y) ist somit
√ (2hM ) 2 ( ) √
ycosζ
2
t(y) =
+
= t 2 0
v
v
+
y2
, (161)
v
cosζ .
v 2 NMO
mit v NMO =
Die Laufzeit ist in CMP-Koordinaten eine Hyperbel, deren Scheitelpunkt bei y=0 liegt. Die Zeit
t 0 bezieht sich auf den in sich reflektierten Strahl im CMP-gather. Der Reflexionspunkt R fällt für
y ≠ 0 nicht mit dem Lotpunkt NIP zusammen, sondern liegt weiter reflektoraufwärts. Im CMP-gather
ergeben sich immer Hyperbeln als Laufzeitkurven, solange das offset/target Verhältnis etwa ≤ 1.
15.3 Laufzeitkurve als Taylorentwicklung
Sn
Sn−1
Gn−1
Gn
x
∆s
∆g
x=0
Abbildung 88: Skizze zur Herleitung der Laufzeitkurve als Taylorentwicklung
109

Um eine Laufzeitkurve in eine Taylorreihe zu entwickeln muss die Laufzeitkurve lokal “glatt” sein, d.h.
sie darf keine Sprünge oder Knicke aufweisen. Für eine Taylor Entwicklung ist es daher nicht erforderlich
eine Annahme über das Modell zu treffen. Das Ergebnis der Entwicklung ist daher Modellunabhängig
und kann IMMER angewendet werden (z.B. auch bei Anisotropie). Die Entwicklung erfolgt hier in
Empfänger- und Schusskoordinaten. In der CMP-Geometrie ist −∆s = +∆g so dass eine Entwicklung
in die Offsetkoordinate x eigentlich hinreichend wäre. Da wir aber auch CMP Koordinaten betrachten
wollen, ist die Entwicklung um g und s notwendig. Als Bedingung für den Abbruch der Taylorreihe
nach dem 2. Glied ist wieder gefordert, dass ∆s = ∆g ≪ 1 ist. In den folgenden Gleichungen muss
t 0 nicht unbedingt die zero-offset-Zeit sein. Es interessiert uns die Laufzeit in der Nähe des Strahls,
der den Schuss s mit dem Empfänger g verbindet. Wir erhalten damit die Taylor Entwicklung,
t(s, g) = t 0 + ∂t ∂t
∆s +
∂s ∂g ∆g+
(
1 ∂ 2 )
t
2 ∂s 2 ∆s2 + ∂2 t
∂g 2 ∆g2 + 2 ∂2 t
∂g∂s ∆s∆g .... (162)
Die Therme höherer Ordnung als zwei werden weggelassen und nun quadrieren wir Gleichung (162).
Die Motivation für diesen Schritt basiert auf unserer Erfahrung von oben, dass die hyberbolische Form
eine bessere Anpassung an die Laufzeiten ergab, als die parabolische Approximation:
(
t 2 (s, g) ≈ t 0 + ∂t
)
∂t 2
∆s +
∂s ∂g ∆g +
t 0
( ∂ 2 t
∂s 2 ∆s2 + ∂2 t
∂g 2 ∆g2 + 2 ∂2 t
∂g∂s ∆s∆g )
. (163)
Für monotypische Wellen (PP oder SS Reflexionen) und für den zero-offset-Strahl (d.h. t 0 entspricht
der zero-offset-Zeit und wir entwickeln um die zero-offset Koordinate s 0 = g 0 = 0) gilt:
und
sowie
In CMP-Koordinaten gilt für den offset:
∂t
∂s = ∂t
∂g = q (164)
∂ 2 t
∂s 2 = ∂2 t
= G. (165)
∂g2 ∂ 2 t
∂g∂s = G′
Daher ergibt sich für die Laufzeitkurve
− ∆s = +∆g = h = y 2 . (166)
110

hierbei ist v 2 NMO = 1
t 0
∂ 2 t
∂g∂s
= 1
t 0 G ′
t 2 = t 2 0 + t 0
∂ 2 t
∂g∂s x2 = t 2 0 +
y2
v 2 NMO
, (167)
. Gleichung (167) gilt für jedes beliebige Modell, jedoch ist die
Abbschätzung des Gültigkeitsbereiches schwierig. Für die Steilwinkelseismik, also x ≪ h mit x als
maximalem Offset und h als Tiefe des betrachteten Targets kann das Hyperbelkonzept in sehr guter
Näherung für JEDE Modellsituation (auch bei lateraler Heterogenität und Anisotropie) angewendet
werden. Die ist die methodische Grundlage, warum die später diskutierte Stapelmethode so stabil ist
und praktisch immer ein auswertbares Abbild des Untergrunds liefert.
15.4 Zusammenfassung Reflexionslaufzeiten
Die generische Form der Laufzeitkurve in CMP Koordinaten mit y als Offset ist somit
t 2 = t 2 0 +
y2
v 2 NMO
dabei ist die Moveout-Geschwindigkeitv NMO modellabhängig.
• horizontaler Reflektor: v NMO = v
• n söhlige Reflektoren: v NMO = v RMS
• geneigter Reflektor: v NMO =
v
cosζ
• beliebiges Modell: v NMO =
√
1
t 0
d 2 t
dy 2
15.5 Model Space und Image Space
, (168)
Die Begriffe Model-Space und Image-Space spielen in der Abbildung des Untergrunds mit seismischen
Daten eine wichtige Rolle. Der Model-Space repräsentiert die Geometrie des Untergrunds oder eines
geologischen Modells. Der Image-Space entspricht der Wahrnehmung an der Oberfläche, repräsentiert
also ein „optisches Äquivalent. Einige Abbildungen illustrieren diesen Zusammenhang. Die Wahrnehmung
an der Oberfläche ist also nur korrekt, wenn der Raum vom Betrachter zum abzubildenden
Objekt homogen ist. Das ist in der Realität äußerst selten der Fall. Der korrekte Ort des Fokus kann
nur rekonstruiert werden, wenn das Geschwindigkeitsmodel bekannt ist. Nur dann kann die Brechung
und damit der korrekte Strahlweg rekonstruiert werden.
16 Multiple Reflexionen
Bisher haben wir nur Primärreflexionen, d.h. Wellen mit nur einem Reflexionspunkt betrachten. Als
multiple Reflexionen bezeichnet man Wellen, die mehr als einen Reflexionspunkt haben.
111

Abbildung 89: Der Bleistift ist gerade (entspricht Model-Space). Erscheint an der Oberfläche aber als
geknickt (entspricht der optischen Repräsentation).
(a)
(b)
Abbildung 90: Die linke Abbildung (a) zeigt den Model-Space, also die tatsächliche Geometrie. Die
rechten Abbildung (b) zeigt den optischen Strahlenweg im Model-Space. Wir wissen
aber nicht, dass und wo der Strahl gebrochen wird. Dazu müssten wir das Modell
kennen.
112

(a)
(b)
Abbildung 91: Der Strahl wird optisch, also gerade, fortgesetzt. Der Fokus bzw. das Abbild (unser
Image) liegt daher an einer anderen Position (a). Im Image-Space sehen wir also eine
optische Repräsentation des tatsächlichen Modells (b). Für diesen Fall ergibt sich daher
ein geknickter Beistift, obwohl er tatsächlich gerade ist. Die optische Repräsentation
impliziert ein homogenes Modell (gerade Strahlwege) und führt daher zu „optischen
Täuschungen“, also Abbildungsfehlern.
Abbildung 92: verschiedene Typen von Multiplen, Quelle: "Exploration seismology Volume 1", History,
theory, and data acquisition, R.E. Sheriff & L.P. Geldart
Abbildung 92 zeigt verschiedene Typen, die es von Multiplen gibt. Multiple sind unerwünschte Einsätze
im Seismogramm. Long-path-multiples (Langzeitmultiple) treten im Seismogramm getrennt von
den Primärreflexionen auf, während short-path-multiples (Kurzzeitmultiple) sich mit den Wellenzug
der Primärreflexion überlagern.
113

16.1 einfache Multiple
S
x
v
h
z
S’
Abbildung 93: einfache Multiple
Mit Hilfe des Spiegelpunktes in Abb. 93 erhält man die Laufzeitkurve für eine einfache Multiple,
t 2 = (4h)2
v 2
+ x2
v 2 = (2t 0) 2 + x2
v 2 . (169)
Entsprechend der Herleitung von Gleichung (95) ergibt sich für den NMO
und für die parabolische Näherung
∆t n ≈
x2
4t 0 v 2 (170)
t ≈ 2t 0 +
x2
4t 0 v 2 . (171)
Aus Gleichung (170) wird ersichtlich, dass die Laufzeitkurve einer einfachen Multiplen eine Hyperbel
ist, deren Krümmung (also der NMO) nur halb so groß ist wie die Krümmung der Reflexionshyperbel
der Primärreflexion. Die Lotzeit ist doppelt so groß wie die der Primärreflexion, so dass sie sich nicht
überlagern. Dies gilt für alle long-path-multiples. Einfache Multiple können sich mit Primärreflexionen
tieferer Horizonte überlagern. Da die Geschwindigkeit in der Regel in der Tiefe zunimmt haben die
Laufzeitkurven der Multiplen eine stärkere Krümmung als die Laufzeitkurven der Primärreflexionen
tieferer Horizonte, die die gleiche Lotzeit haben wie die Multiple.
17 Diffraktionen
Weitere Einsätze, die im Seismogramm auftreten können sind Diffraktionen.
Nach dem Huygen’schen Prinzip ist jeder Punkt, der von einer seismischen Welle erreicht wird,
Ausgangspunkt einer (weiteren) Elementarwelle. Bei einem Reflektor überlagern sich die Elementarwellen
zu einer reflektierten, kugelförmigen Wellenfront, die zu einer hyperbelförmigen Laufzeitkurve
führt. Wenn der Reflektor abrupt endet entsteht eine diffraktierte Welle, die ebenfalls als Hyperbel im
Laufzeitdiagramm beobachtet wird.
114

S
x D
G 1
x
G
2
G
3
h
Abbildung 94: Der gestrichelte Strahlweg ist die reflektierte Welle und die durchgezogenen Strahlwege
sind die diffraktierte Welle.
Laufzeit der reflektierten Welle:
Laufzeit der diffraktierten Welle:
t d =
t r =
√ (2h
v
) 2
+ x2
v 2 . (172)
√ √
x
2
D
+ h 2 h
v 2 +
2
v 2 + (x − x D) 2
v 2 . (173)
Der erste Term der Laufzeitkurve des Diffraktors ist immer konstant, während der zweite Term eine
Hyperbel ist, dessen Scheitelpunkt bei x D liegt, d.h. über dem Diffraktor liegt. Beide Hyperbeln
berühren sich im Punkt x=2x D . Am Geophon G 2 (bei x=2x D ) werden die Diffraktion und die Reflexion
gleichzeitig registriert und am Geophon G 3 wird keine reflektierte Welle mehr beobachtet
(Reflexionsschatten)(siehe Abb. 95).
diffraktierte Welle
t
reflektierte Welle
von Reflexion
unbeleuchtet
S
x D G 1
G
2
G
3
x
Abbildung 95: Reflektierte und diffraktierte Welle
115

Die Krümmung im Scheitelpunkt der in Gleichung (173) auftretenden Diffraktionshyperbel ist
K d = 1
vh = 2K r, (174)
also doppelt so groß wie die Krümmung K r der Reflexionshyperbel.
Der NMO ergibt sich mit
√
√
(
)
h 2
v 2 + (x − x D) 2
v 2 = 1 2 t 0 1 + 2 (x − x D) 2
v 2 ≈ 1 t 0 2 t 0 1 + (x − x D) 2
v 2 (175)
t 0
zu
(∆t n ) diff
≈ (x − x D) 2
v 2 t 0
= 2 (∆t n ) ref
(176)
und ist doppelt so groß wie der NMO der Reflexionshyperbel. In Abbildung 96 ist der Spezialfall
x D = 0 abgebildet, d.h. die Quelle ist genau oberhalb des Diffraktors. Hier fallen die Scheitelpunkte
der beiden Hyperbeln zusammen.
116

Abbildung 96: (a) Laufzeitkurve einer Diffraktion an einer vertikalen Diskontinuität, (b) und einer
Kante. Bei der vertikalen Diskontinuität existieren Reflexion und Diffraktion über den
ganzen Offset-Bereich. Bei der Kante existiert für alle x ≥ 0 nur die Diffraktion. Quelle:
"Exploration seismology Volume 1", History, theory, and data acquisition, R.E. Sheriff
& L.P. Geldart
18 Komplexe Modelle
Für komplexe Medien mit lateralen und vertikalen Variationen in Struktur und Geschwindigkeit können
die Laufzeitkurven nur numerisch bestimmt werden. Die bestimmende Gleichung wird als Eikonalgleichung
bezeichnet:
( ) ∂τ ∂τ
= 1
∂x k ∂x k v 2 (x i )
Die Eikonalgleichung ist eine partielle Differentialgleichung höherer Ordnung, die entweder direkt mit
finiten Differenzen gelöst werden kann (Finite Difference (FD) Eikonal Löser) oder über die Methode
der Charakteristiken (Hamiltonformalismus) in ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen
gewandelt wird. Das erhaltene System von gewöhnlichen Differentialgleichungen wird als Strahlsystem,
Strahlengleichungen oder auch ray tracing system bezeichnet. Dabei wird ein Strahl unter einem
Winkel α von der Quelle “ausgesendet” und durch Strahlverfolgung (ray tracing) bis zur Grenzfläche
berechnet. Der Strahl kann dabei eine beliebig gekrümmte Raumkurve sein (modellabhängig, siehe
117

Vorlesung Strahlverfolgung im Masterprogramm Geophysik). Aus dem Einfallswinkel an der Grenzfläche
und dem Snellius’schen Gesetzt berechnen wir den Reflexionswinkel und den Transmissionswinkel,
die uns die Anfangswerte für das nächste Strahlsegment liefern. Die Laufzeiten entlang der Teilwege
zwischen den Grenzflächen werden aufsummiert und bilden die Laufzeit der berechneten Welle zwischen
Quelle und Endpunkt des Strahls. Die Rechnung wird solange fortgesetzt bis der Strahl wieder
an der Oberfläche auftaucht (ray shooting Methode oder auch initial value ray tracing). Wenn wir von
der Quelle zu einem vorgegebenem Empfänger „schießen“ wollen, ist dies nur iterativ über ray shooting
möglich, da keine geschlossene Lösung bei vorgegebener Quell- und Empfängerposition existiert.
Dieses iterative Verfahren wird als two-point ray tracing bezeichnet.
Wie gewöhnliche Differentialgleichungen numerisch gelöst werden und wie wir effizient den Schnittpunkt
eines Strahles mit einer Grenzfläche berechnen werden wir im 4. Semester in der Vorlesung
Numerische Methoden ausführlich betrachten. In den Übungen zur Veranstaltung Strahlverfolgung im
Masterprogramm wird ein Programm zur Strahlverfolgung in zweidimensionalen lateral variierenden
Medien entwickelt.
19 Geschwindigkeitsbestimmung
In den vorangegangenen Kapiteln haben wir erkannt, dass die Laufzeiten reflektierter Wellen (Primäre
und multiple Reflexionen) sowie von Diffraktionen in CMP-Koordinaten alle über eine generische
Gleichung bestimmt werden:
t 2 = t 2 0 +
x2
V 2 nmo
mit x als Quell-Empfänger-Abstand. Die Art der Welle sowie das Modell „verstecken“ sich in der
Moveout-Geschwindigkeit V nmo . Diese Größe hat die Dimension einer Geschwindigkeit aber keine
direkte physikalische Bedeutung für die Ausbreitungsgeschwindigkeiten der reflektierten Welle oder
die Geschwindigkeit des durchteuften Gesteins.
Die Bestimmung von V nmo ist von fundamentaler Bedeutung. Sie ist Grundvoraussetzung für die
Stapelung. Hierbei wird der Moveout für jeden Offset-Strahl abgezogen, so dass alle Spuren in einem
Gather nur noch die Laufzeit t 0 haben und daher die Signale „parallel“ angeordnet sind (die Laufzeitkurve
wurde „gerade gebogen“). Diese Signale können nun addiert - gestapelt - werden und das
ganze Gather wird auf eine Summenspur mit verbessertem Signal-Stör-Verhältnis (S/N) reduziert,
wobei die summierte Amplitude bei der t 0 -Zeit liegt. Die Verbesserung im S/N-Verhältnis ist dabei
etwa √ N mit N als Anzahl der Spuren im CMP-Gather (N entspricht also dem Überdeckungsgrad
oder Fold). Diesen Prozess können wir für jedes CMP-Gather und alle t 0 -Zeiten, also für jedes Sample
der Spuren, durchführen und die gestapelte Amplitude der betrachteten CMP-Position zuordnen. Nur
für t 0 -Zeiten, bei denen eine Reflexion vorhanden ist, erhalten wir größere summierte Amplituden.
Auf diese Weise entsteht die Stapelsektion, die auch als Zero-Offset Sektion bezeichnet wird, da die
t 0 -Zeit der Laufzeit des Zero-Offset Strahls entspricht. Schlüssel dafür ist die Bestimmung von V nmo
aus den Daten. Daher werden wir nun Verfahren zur Geschwindigkeitsbestimmung betrachten.
,
118

19.1 t 2 -x 2 -Methode
Wie im Kapitel 13 und 14 beschrieben, sind die CMP-Laufzeitkurven in vielen Fällen hyperbelähnlich.
Die Geschwindigkeit kann daher mit Hilfe der t 2 -x 2 -Methode bestimmt werden. Wenn die Laufzeitkurve
t(x) eine Hyperbel ist (Einzelschicht Gleichung (88), geneigter Reflektor Gleichung (101)), kann
man aus der Darstellung von t 2 (x 2 ) die Geschwindigkeit v bestimmen.
t 2 (x 2 ) = t 2 0 +
x2
V 2 nmo
(177)
Die Moveout-Geschwindigkeit ergibt sich als Wurzel der reziproken Steigung der durch die Gleichung
(177) gegebenen Gerade im t 2 -x 2 -Raum (siehe Abb. 97).
Abbildung 97: t 2 -x 2 -Methode, links: Laufzeitkurve im t-x-Raum, rechts: Laufzeitkurve im t 2 -x 2 -Raum
mit den jeweiligen Geschwindigkeiten, Quelle: Seismic Data Processing von Yilmaz
Im Mehrschichtenfall ist die Laufzeitkurve nur näherungsweise eine Hyperbel (Gleichung (145)),
daher ist die Laufzeitkurve im t 2 -x 2 -Raum auch nur näherungsweise eine Gerade (siehe Abb. 98).
119

t 2 t
2
( x 2 )
Einschichtfall
Mehrschichtenfall
Steigung 1/v 2
t 2 o
Abbildung 98: t 2 -x 2 -Methode
x 2
19.1.1 t-∆t-Methode
Die t-∆t-Methode ist eine angenäherte Bestimmung der Geschwindigkeit. Gleichung (95) lässt sich
umformen zu
2t 0 ∆t n ≈ x2
v 2 , (178)
d.h. man erhält eine Gerade, wenn man (2t 0 ∆t n ) gegen x 2 aufträgt. Die Steigung ist auch bei dieser
Methode 1 , woraus man leicht die Geschwindigkeit bestimmen kann. Allerdings ist diese Methode
v 2
ungenauer als die t 2 -x 2 -Methode, da sie aus der parabolischen Näherung resultiert..
19.2 NMO-Korrektur oder dynamische Korrektur
Ziel der Geschwindigkeitsbestimmung ist das Geradebiegen der Laufzeitkurven. Dieser Prozess der
offsetabhängigen Reduzierung auf die t 0 -Zeit wird als dynamische Korrektur bezeichnet.
120

Abbildung 99: NMO-Korrektur: (a) nicht korrigierte Laufzeitkurve, (b) korrigierte Laufzeitkurve, Quelle:
Seismic Data Processing von Yilmaz
Die NMO-Korrektur bewirkt ein “gerade biegen” der Einsätze. Ausgehend von der parabolischen
Näherung (Gleichung (??)) kann man schreiben
oder präziser mit der Hyperbelgleichung
√
x 2
t 0 ≈ t(x) −
2t 0 Vnmo
2 = const, (179)
t 0 =
t 2 (x) −
x2
V 2 NMO
= const. (180)
Man variiert (scannt) für eine t 0 -Zeit nun die Geschwindigkeit V nmo in den Gleichungen (179) oder
(180) und stellt fest, ob die Funktion einen konstanten Wert (bei t 0 ) annimmt. Dies trifft nur für
den korrekten Wert von V nmo zu. Wählt man eine zu kleine Geschwindigkeit ist die Funktion überkorrigiert,
wählt man eine zu große Geschwindigkeit ist sie unterkorrigiert. Benutzt man die korrekte
Geschwindigkeit, ergibt die Laufzeitkurve eine Gerade (siehe Abb. 100).
121

Abbildung 100: NMO-Korrektur: (a) unkorrigierte Laufzeitkurve, (b) mit der korrekten Geschwindigkeit
korrigiert, (c) mit einer zu kleinen Geschwindigkeit korrigiert, (d) mit einer zu
großen Geschwindigkeit korrigiert, Quelle: Seismic Data Processing von Yilmaz
Dieses Verfahren wird häufig angewendet, um eine grobe Geschwindigkeitsfunktion V nmo (t 0 ) zu
ermitteln. Für jedes CMP-gather wird eine NMO-Korrektur durchgeführt. Dabei wird für jede Zeit t 0
eine Transformation der Art
t ′ (x) = t(x) − ∆t NMO (t 0 , V NMO , x) = t 0 , (181)
mit
√
∆t NMO = t 2 0 +
x2
V 2 NMO
− t 0 = t(x) − t 0 (182)
durchgeführt.
Wir betrachten zunächst ein sehr einfaches Modell mit konstanter Geschwindigkeitsfunktion, bei
dem aber Reflexionen durch Dichtediskontinuitäten auftreten (siehe Abb. 101).
122

v
ρ
z
z
Abbildung 101: Modell mit konstanter Geschwindigkeitsfuntion und Dichtediskontinuitäten
Im CMP-gather erhalten wir für dieses Modell √ Laufzeiten, die Hyperbeln mit der gleichen Asymptote
sind (siehe Abb. 102 links). Da t(x) = t 2 0 + x2 für alle Reflexionen gilt, erhalten wir aus der
v 2
Gleichung (181) t ′ (x) = t 0 und wir erhalten nach der NMO-Korrektur das rechts dargestellte Bild in
Abbildung 102.
y 1
y
t
1
t 1
∆t ( t
0
=
NMO
t 1
)
t 2
t 2
∆t ( t
NMO 0
= t
2
)
t 3
t 3
y
∆t ( t )
NMO 0
= t 3
t
t
Abbildung 102: links: Laufzeithyperbeln mit der selben Asymptote, rechts: NMO-korrigiertes CMPgather
Im Allgemeinen nimmt die Geschwindigkeit mit der Tiefe zu, so dass Reflexionslaufzeiten von
123

tieferen Horizonten weniger stark gekrümmt sind. Der NMO-Unterschied zwischen den Laufzeitkurven
ist dann noch größer als im betrachteten Fall mit konstanter Ausbreitungsgeschwindigkeit. Bei
nicht konstanter Geschwindigkeit können nicht alle Laufzeitkurven mit der selben Geschwindigkeit
NMO-korrigiert werden. In diesem Fall wird die NMO-Korrektur für verschiedene t 0 -Zeiten mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten durchgeführt.
19.2.1 NMO-Stretch
Für den normal moveout gilt allgemein:
√
x2
∆t NMO = t(x) − t 0 = t 2 0 + − t 0 (183)
V NMO
⎛√
⎞
( )
∆t NMO = t 0
⎝
x 2
1 +
− 1⎠ (184)
t 0 V NMO
An der Gleichung (184) sieht man, dass die NMO-Korrektur eine nicht lineare Streckung der Zeitachse
ist, die zur Dehnung der Signale mit zunehmendem Offset führt, d.h. zur Frequenzerniedrigung (siehe
Abb. 103).
∆f
f
= ∆t NMO
t 0
, (185)
∆f ist die Frequenzänderung durch den Stretch und f ist die Frequenz des ursprünglichen Signals.
Abbildung 103: Dehnung des Signals (Frequenzerniedrigung) durch NMO-Stretch, Quelle: Seismic
Data Processing von Yilmaz
Der NMO-Stretch ist sehr gut in den Abbildungen 104 und 105 bei Teil (b) zu sehen und man
sieht ihn auch in der Abbildung 100. Diese Stretch-Effekte in den Daten werden “gemutet”. Muting
ist ein offsetabhängiger Filter, der alle Werte der Spuren innerhalb des gemuteten Bereichs zu Null
setzt (meist linear). Nach der NMO-Korrektur und nachdem der Stretch gemutet wurde kann man
die Daten stapeln (siehe Kapitel 19).
124

Abbildung 104: (a) ursprüngliche Laufzeitkurven, (b) nach der NMO-Korrektur mit Stretch, bei (c)
und (d) wurde der Stretch gemutet, Quelle: Seismic Data Processing von Yilmaz
125

Abbildung 105: (a) ursprüngliche CMP-gather, (b) nach der NMO-Korrektur mit Stretch, (c) Stretch
wurde gemutet, Quelle: Seismic Data Processing von Yilmaz
19.3 Durchschnittsgeschwindigkeit
Aus Bohrlochversenkmessungen kann man die Durchschnittsgeschwindigkeit bestimmen. Bei einer
Bohrlochmessung werden in einen vertikalen Bohrloch in verschiedenen Tiefen Geophone versenkt.
Die Quelle befindet sich neben dem Bohrloch an der Oberfläche. Diese Messung nennt man vertical
seismic profiling (VSP).
126

S
G1
v 1
h 1
Gi
v h
i i
Gn
Abbildung 106: Borhlochversenkmessung
Es wird die Durchschnittsgeschwindigkeit ¯v bis zur betrachteten Tiefe ermittelt.
¯v = z n
t 02
, (186)
wobei z n die Tiefe ist, in der das Geophon G n hängt und t 0
2
ist,
die Laufzeit von der Quelle S nach G n
Für ¯v ergibt sich somit
t 0
2 =
z n =
n∑
k=1
n∑
h k (187)
k=1
h k
v k
=
n∑
τ k . (188)
k=1
¯v =
∑ n
∑k=1 v kτ k
n
k=1 τ . (189)
k
Zum Vergleich die Effektivgeschwindigkeit ṽ:
ṽ = v rms =
√ ∑n
k=1 v2 k τ k
∑ n
k=1 τ k
. (190)
Es lässt sich zeigen, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit kleiner gleich der Effektivgeschwindigkeit
ist.
127

ṽ 2 − ¯v 2 = (∑ n
k=1 τ k) (∑ n
k=1 v2 k τ ) ∑
k − ( n
k=1 v kτ k ) 2
( ∑ n
k=1 τ k) 2 (191)
ṽ 2 − ¯v 2 =
∑ n
k=1 v2 k τ k 2 + ∑ n ∑ n
k=1 j=1 τ kτ j vj 2 − ∑ n
k=1 v2 k τ k 2 − ∑ n ∑ n
k=1 j=1 τ kτ j v k v j
( ∑ n
k=1 τ k) 2 , (192)
mit j≠k
ṽ 2 − ¯v 2 =
Da ṽ 2 − ¯v 2 ≥ 0 ist also ¯v ≤ ṽ.
∑ n−1 ∑ ( )
n
k=1 j=1 τ kτ j vk 2 + v2 j − 2 ∑ n−1 ∑ n
k=1 j=1 τ kτ j v k v j
( ∑ n
k=1 τ k) 2 (193)
n−1
ṽ 2 − ¯v 2 1 ∑
=
( ∑ n
k=1 τ k) 2
n∑
τ k
k=1 j=k+1
τ j (v k − v j ) 2 ≥ 0. (194)
Wenn man ein Schichtpaket durch eine homogene Schicht mit der Durchschnittsgeschwindigkeit
¯v oder der RMS-Geschwindigkeit ṽ ersetzten würde, ergäben sich zu große Laufzeiten, weil man
entlang des geometrisch kürzesten Strahls rechnen würde und nicht entlang des Kurzzeitweges. Dies
ist Ausdruck des Fermat’schen Prinzips, das besagt, dass die Laufzeit einer Welle zwischen zwei
geometrischen Orten minimal ist. (siehe Abb. 107). Die Laufzeit für die RMS-Geschwindigkeit (RMS-
Mittel) ist dabei kleiner als für die Durchschnittsgeschwindigkeit (arithmetisches Mittel). Das RMS-
Mittel ist also dichter an der physikalischen Realität als das arithmetische Mittel.
Abbildung 107: gestrichelte Linie: geometrisch kürzester Weg (ergibt sich mit dem gemittelten Modell,
also ¯v oder ṽ), durchgezogene Linie: Kurzzeitweg (ergibt sich mit der wahren Modell)
128

19.4 Intervallgeschwindigkeit
Für eine söhlige Schichtung kann man Intervallgeschwindigkeiten bestimmen (auch für andere sehr
einfache Modelle). Wir nehmen an, dass man die t 0 -Zeiten t i 0 und vi NMO = vi rms für die i-te Schicht
aus den Daten bestimmt hat. Dann ist die vertikale Einweglaufzeit τ n in der n-ten Schicht
τ n = tn o − t n−1
0
. (195)
2
Mit der Bestimmungsgleichung (144) für v rms erhalten wir für die n-te Schicht
und für die (n-1)-te Schicht
n∑
(vrms) n 2 t n 0 = 2 vk 2 τ k (196)
k=1
n−1
( )
v
n−1 2
∑
rms t
n−1
0 = 2 vk 2 τ k, (197)
k=1
(vrms) n 2 t n 0 − ( vrms
n−1 ) 2
t
n−1
0 = 2vnτ 2 n = vn
2
(
t
n
0 − t n−1 )
0 . (198)
Daraus ergibt sich die Dix-Dürbaum-Krey-Formel zur Berechnung der Intervallgeschwindigkeit,
vn 2 = (vn rms) 2 t n 0 − ( vrms
n−1 ) 2 t
n−1
0
t n 0 − . (199)
tn−1
v n ist die Intervallgeschwindigkeit des durch t n 0 und tn−1 0 bestimmten Bereichs. Wenn der entsprechende
Untergrundbereich homogen ist, so entspricht v n der Schichtgeschwindigkeit. Ist der Bereich
geschichtet, so ist v n die Effektiv(RMS)-Geschwindigkeit des Intervalls. Entsprechendes gilt, wenn
man die Intervallgeschwindigkeit aus der Durchschnittsgeschwindigkeit (Gleichung (189)) bestimmt,
0
v n = ¯v nt n 0 − ¯v n−1t n−1
0
t n 0 − . (200)
tn−1 0
Die Gleichungen (199) und (200) werden als DIXsche Formeln bezeichnet. Sie gehen auf Arbeiten von
Dix (1955), Krey (1954) und Dürbaum (1953) zurück. Ein Problem beim Anwenden der Dix-Formel
ist das automatische Bestimmen von v rms .
129

Abbildung 108: Intervall- und RMS-Geschwindigkeit. Nach unten ist die Zeit aufgetragen.
19.4.1 Stapelgeschwindigkeit
Die Stapelgeschwindigkeit v s beschreibt bei festgehaltener Zeit t 0 die Hyperbel
√
t s =
t 2 0 + x2
vs
2 , (201)
die sich am besten an die wahre Laufzeitkurve annähert. Im folgenden t 2 − x 2 -Diagramm sind die den
verschiedenen Moveout-Geschwindigkeiten entsprechenden Geraden dargestellt.
130

t 2 x 2
T x
2
V d
V rms
V s
Abbildung 109: Geraden im t 2 − x 2 Diagramm für verschiedene Moveout Geschwindigkeiten. v d -
Durchschnittsgeschwindigkeit, v rms - RMS-Geschwindigkeit, v s - Stapelgeschwindigkeit,
T 2 x - wahre Laufzeitkurve.
Wir versuchen die gekrümmte tatsächliche Laufzeitkurve durch Geraden, also Hyperbeln, anzunähern.
Für diejenige Hyperbel, die die wahre Laufzeitkurve am besten approximiert (im Sinne der dabei
auftretenden Abweichungen) sind die Flächen der positiven und negativen Abweichungen der Geraden
zur wahren Laufzeitkurve gleich. Die Bestimmung der Geraden, die die tatsächliche Laufzeitkurve am
besten annähert ist abhängig vom Offset (siehe unten).
Die Geraden tangieren die Kurve Tx
2 bei x 2 = 0, denn die Ableitung der Hyperbelgleichung für
x = 0 ist gleich der Steigung der Geraden, z.B.
dT 2
dx 2 = 1
v 2 rms
(202)
131

oder
dT 2
dx 2 = 1 v 2 d
je nach dem welche Geschwindigkeit betrachtet wird.
Die Steigung der Geraden für die Stapelgeschwindigkeit hängt aber vom betrachteten Offsetbereich
ab (siehe Abb. 110). Wir können dabei erkennen, dass sich für verschiedene Offsets verschiedene
Stapelgeschwindigkeiten v s ergeben, wobei in der Abbildung die Anpassung über die Minimierung
der Abweichungen erzielt wird. Die Abhängigkeit der Stapelgeschwindigkeit vom Offset wird auch
als spread length bias bezeichnet. Entscheident ist die Steigung bzw. die Geschwindigkeit beim Zero
Offset, also für x = 0. Durch die Bestimmung von v s für verschiedene Offsetbereiche können
wir den Trend, also den Gradienten in diesen Größen ermitteln und auf den Zero Offset extrapolieren.
In der Praxis wird dies aber i.A. nicht durchgeführt und die Geschindigkeitsanalyse für einen
mit der Zeit anwachsenden Offset durchgeführt. Insbesondere bei der Bestimmung von Intervallgeschwindigkeiten
(DIX-Inversion, siehe oben), wo wir annehmen, dass die Stapelgeschwindigkeit v s der
RMS-Geschwindigkeit v rms entspricht, können Abweichungen davon zu unphysikalischen Ergebnissen
führen (z.B. negative Intervallgeschwindigkeiten).
132

t 2 x 2
Abbildung 110: Die gestrichelten Geraden repräsentieren Stapelgeschwindigkeiten für zwei verschiedene
Offsetbereiche. Die durchgezogene Kurve ist die wahre Laufzeit. Je nach Offset
ergibt sich eine andere Stapelgeschwindigkeit v s .
20 Automatische Geschwindigkeitsanalyse
Ein Problem bei der t 2 -x 2 -Methode ist, dass man per Hand die Zeiten und den dazugehörigen Offset
picken muss, um eine Geschwindigkeit zu bestimmen. Dabei passieren Fehler und es ist sehr zeitaufwendig.
Andere Verfahren zur Geschwindigkeitsbestimmung sind z.B. der constant velocity scan, constant
velocity stack und die Bestimmung der Geschwindigkeit aus einem Geschwindigkeitsspektrum.
Bei diesen Verfahren, geht es um Techniken, die moveout-Geschwindigkeit v nmo der Reflexionshyperbeln
automatisch und objektiv zu ermitteln.
133

20.1 constant velocity scan
Beim constant velocity scan wird über einen geeigneten Geschwindigkeitsbereich gescannt und dann
für das CMP-gather die NMO-Korrektur mit den verschiedenen Geschwindigkeiten durchgeführt (siehe
Abb. 111 und 112). Anschließend pickt man für jede Reflexion die Geschwindigkeit, für die die
Reflexion horizontal (bzw. flat) ist. Ein Nachteil ist, dass die Auswertung visuell geschieht und dass
nur eine geringe Geschwindigkeitsauflösung erreicht wird (bei schlechtem Signal/Stör-Verhältnis besonders
schlecht geeignet).
134

Abbildung 111: constant velocity scan: rechts ist das CMP-gather, auf das der constant velocity scan
angewandt wird, Quelle: Seismic Data Processing von Yilmaz
135

Abbildung 112: Fortsetzung von Abb. 111, Quelle: Seismic Data Processing von Yilmaz
136

20.2 constant velocity stack
Beim constant velocity stack wird wieder ein Geschwindigkeitsbereich gescannt und dann NMOkorrigiert.
Danach werden die einzelnen Spuren im CMP-gather gestapelt, d.h. alle Spuren im gather
werden zu einer Spur aufsummiert und man erhält eine Stapelspur (Summenspur). Dies wird für
mehrere CMPs durchgeführt. Man erhält also mehre Stapelspuren pro Geschwindigkeit (siehe Abb.
113).
137

Abbildung 113: constant velocity stack: unten ist die Geschwindigkeit in ft/s aufgetragen, Quelle:
Seismic Data Processing von Yilmaz
138

Die Auswertung erfolgt auch hier visuell. Dort wo die Einsätze die größte Amplitude haben, ist die
Reflexion mit der richtigen Geschwindigkeit korrigiert. Durch das Stapeln der Spuren bekommt man
ein viel besseres Signal/Stör-Verhältnis, da sich die Einsätze konstruktiv und die Störsignale destruktiv
überlagern.
In Abbildung 114 ist ein constant velocity stack für synthetische Laufzeitkurven durchgeführt worden.
Für alle vier Laufzeitkurven würde man eine Geschwindigkeit zwischen 2,5 km s
und 3,5 km s
wählen.
Abbildung 114: (a) Laufzeitkurve, (b) Stapelspur der Laufzeitkurve nachdem sie mit verschiedenen
Geschwindigkeiten NMO-Korrigiert wurde, Quelle: Seismic Data Processing von Yilmaz
20.3 Geschwindigkeitsspektren
Durch die von Taner und Koehler (1969) entwickelte Methode zur Berechnung von Geschwindigkeitssprektren
kann die Auswahl der Geschwindigkeitsfunktion v(t 0 ) automatisiert werden.
Für jedes t 0 (jedes sample in der Spur) wird für eine Geschwindigkeit v die NMO-Korrektur durchgeführt.
Dann wird in einen Zeitfenster um t 0 der Semblance-Koeffizient S berechnet. Vor der Anwendung
werden die eingehenden Spuren im Fenster auf die Maximalamplitude normiert.
S =
∑ M
i=1
( ∑N
j=1 a ij) 2
N ∑ M
i=1
∑ N
j=1 a2 ij
, (203)
wobei N die Anzahl der Spuren im CMP-Ensemble und M die Anzahl der diskreten Werte (samples)
in der betrachteten j-ten Spur ist. Der Semblance-Koeffizient setzt die Energie der Stapelspur ins
Verhältnis zur Energie aller eingehenden Spuren. Wegen der Normierung auf die Anzahl der Spuren
und der Normierung der eingehenden Daten im Fenster kann S nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen.
139

Die Energie der Stapelspur ist am größten, wenn die aufsummierten Signale in Phase sind, d.h.
die NMO-Korrektur optimal ist. Der berechnete Semblance-Koeffizient wird in ein (v,t 0 )-Diagramm
eingetragen und die Berechnung für alle v und t 0 wiederholt, so dass schließlich die Funktion S(v,t 0 )
des Geschwindigkeitsspektrums vorliegt (siehe Abb. 115). Der größte Semblance-Koeffizient weist auf
die optimale Stapelgeschwindigkeit (siehe Kapitel 18.3.1) hin. Für jede Reflexion wird also der maximal
Semblance-Koeffizient gepickt, um die Geschwindigkeitsfunktion zu erhalten. Dieser Pick entspricht
dann der Stapelgeschwindigkeitv st und t s ist die zugehörige Nullzeit für das entsprechende Event.
Der Semblance-Koeffizient ist ein Kohärenzmaß, also ein Maß für die Ähnlichkeit von Signalen.
Es gibt noch weitere Kohärenzmaße, die zur Beurteilung des Stapelergebnisses herangezogen werden
können, z.B. der Korrelationskoeffizient. Wegen der guten Auflösung in Zeit und Geschwindigkeit
wird aber am häufigsten die Semblance verwendet. Dennoch ist die Semblance kein optimales Kohärenzmass.
Wie oben erwähnt, werden Semblence Werte zwischen 0 und 1 nur durch die Normierung
erreicht. Verändern sich die Amplituden der eingehenden Spuren, so hätte das einen Einfluß auf den
Semblance-Koeffizienten. Auch ist durchaus die Frage berechtigt, ob nicht eine Entfernungsabhängige
Gewichtung der eingehenden Spuren sinnvoll wäre, denn der Moveout für kleine Offsets variiert nur
sehr wenig und hier wird auch für deutlich unterschiedliche Geschwindigkeiten noch eine gute Kohärenz
erzielt und damit nur eine kleine Variation in der Semblance beobachtet. Mit anderen Worten,
die Geschwindigkeitsanalyse ist für kleine Offsets nicht sensitiv. Der größte Moveout wird bei den
größten Offsets beobachtet und es existiert eine starke Abhängigkeit von der Moveout Geschwindigkeit.
Hier ist die Geschwindigkeitsanalyse besonders sensitiv, da der SemblanceKoeffizient sich stärker
mit variierender Geschwindigkeit ändert. Größere Offsets sollten daher in der Analyse höher gewichtet
werden. Andererseits wissen wir, dass unsere Laufzeitapproximation nur für kleine Offsets korrekt ist.
140

Abbildung 115: links: CMP-gather, Mitte: Geschwindigkeitsspektrum (Isolinien-Plot), rechts: t 2 -x 2 -
Methode, Quelle: Seismic Data Processing von Yilmaz
20.4 Zeit- und Geschwindigkeitsabhängige NMO-Korrektur
Die aus einem constant velocity scan oder stack oder aus einer Semblanceanalyse ermittelte Geschwindigkeitsfunktion
v(t 0 ) kann für die NMO-Korrektur der CMP-gather in die Gleichung (181)
eingesetzt werden. Dadurch werden Laufzeitkurven mit unterschiedlicher Moveout-Geschwindigkeit
in einem CMP korrigiert. Die Anzahl der CMP-Positionen für die dieselbe Funktion v(t 0 ) verwendet
wird, hängt davon ab, wie stark sich der Untergrund lateral ändert (wie beurteile ich das?). Davon
hängt auch ab, an wie viel CMP-Positionen eine Geschwindigkeitsanalyse durchgeführt werden muss.
Dazwischen kann dann z.B. linear interpoliert werden.
141

20.5 Einflussfaktoren der Geschwindigkeitsanalyse
Die Qualität der Geschwindigkeitanalyse wird durch folgende Faktoren beeinflusst:
• die Größe des Offsets,
• der Überdeckungsgrad,
• der Rauschabstand (SNR signal to noise ratio),
• die Länge des Analysefensters,
• das Geschwindigkeitsinkrement,
• das Kohärenzmaß,
• die Heterogenität des Untergrundes (Abweichung der Laufzeitkurve von einer Hyperbel)
• und die Frequenzbandbreite der Daten.
Beim Geschwindigkeitsspektrum führen fehlende long-offset Spuren zu einer schlechteren Auflösung,
besonders zu späteren Zeiten (siehe Abb. 116). In Abbildung 116 (links) sieht man auch, dass es für
spätere Zeiten schwieriger wird die richtige Geschwindigkeit für die Primaries zu picken, da mehrere
Maxima auftreten, die durch Multiple hervorgerufen werden.
Abbildung 116: Durch fehlende long-offset Spuren verschlechtert sich die Auflösung. Quelle: Seismic
Data Processing von Yilmaz
142

21 Stapelsektionen
Die Geschwindigkeitsanalysen werden für verschiedene CMP Positionen entlang der Messlinie durchgeführt.
So erhält man ein Stapelgeschwindigkeitsfeld v s = f (t 0 , x CMP ) in Abhängigkeit der Zeit
und des Ortes. Dadurch können wir jede Spur in jedem CMP dynamisch zeitabhängig korrigieren und
jedes CMP-Ensemble wird dann durch Stapeln auf die zero-offset-Spur reduziert.
Die NMO-korrigierten Spuren der CMP-Familien werden gestapelt. Daraus erhält man eine Summenspur,
in der die gemittelten Amplituden der Reflexionen zu den jeweiligen Lotzeiten erscheinen.
Wenn man die Summenspuren in einem x-t-Diagramm, mit x als CMP-Koordinate darstellt, erhält
man eine Stapelsektion (stacked section, stack oder zero-offset-Sektion). Durch das Stapeln erhält
man eine Reduzierung des Datenvolumens um Faktor N (N=Überdeckungsgrad).
143

Abbildung 117: Stapelsektion: Nach unten ist die Zeit aufgetragen und horizontal die Nummer der
CMP-Familie. Quelle: Seismic Data Processing von Yilmaz
144

In einfachen Modellen kann man die Geometrie des Untergrundes in der Stapelsektion erkennen.
Bei söhliger Schichtung ist lediglich der Tiefenmaßstab des Modells nichtlinear mit der Zeit verzerrt.
Bei geneigten Schichten kommt noch ein laterales Verschwenken der Reflexionseinsätze hinzu (siehe
auch Abschnitt Migration). Gekrümmte Reflektoren und starke laterale Heterogenitäten können zu Fokussierungen
und Defokussierungen, d.h. zu Laufzeitschleifen (Triplikationen, bow ties) führen (siehe
Abb. 118 für ein synthetisches Beispiel oder Abb. 124a für ein Felddatenbeispiel.). Verwerfungen oder
Schichtkannten im Untergrund führen zu Diffraktionshyperbeln in der Stapelsektion. Sich kreuzende
Events werden auch als „conflicting dips“ bezeichnet. Solche Situationen kann es im geologischen Modell
nicht geben, da sich Schichten nicht durchkreuzen können. Die Zero-Offset Sektion enthält also
noch Artefakte und ist kein direktes Abbild des geologischen Modells, wenn der Untergrund stärkere
lateral Heterogenitäten aufweist. Durch die Anwendung von Migrationsverfahren kann die Tiefenlage
und Form des Reflektors rekonstruiert werden (siehe Kapitel zur Migration und die Vorlesung von
Claudia Vanelle im Masterprogramm).
Abbildung 118: In den unteren beiden Grafiken sind Laufzeitschleifen zu sehen, die durch gekrümmte
Reflektoren entstehen. Quelle: Seismic Data Processing von Yilmaz .
145

21.1 Zero-Offset-Sektion und Exploding-Reflector-Sektion
Wenn man Seismogramme nur am jeweiligen Schusspunkt registriert und in einem x-t-Diagramm
darstellt, erhält man eine zero-offset-Sektion. Entsprechende Messungen werden in der maritimen
Seismik durchgeführt (Profiling). Sie sind jedoch sehr störanfällig. Der Unterschied zur Stapelsektion
besteht darin, dass die Amplituden nicht gestapelt und dadurch verstärkt werden. Ausserdem werden
multiple Reflexionen nicht unterdrückt. Darüberhinaus kann man durch eine Stapelsektion, anders als
in einer zero-offset-Sektion, auch konvertierte Wellen erfassen.
Eine zero-offset-Sektion kann man nicht durch ein einziges Experiment erzeugen. Darum ergibt
sich die Schwierigkeit, die Sektion durch eine Wellengleichung zu beschreiben. Man spricht daher von
einem Pseudo-Wellenfeld. Die zero-offset-Sektion kann man für ein gegebenes Untergrundmodell konstruieren,
indem wir senkrecht auf dem Reflektor stehende Strahlen zeichnen und sie, gegebenenfalls
unter Berücksichtigung der Brechung an Grenzflächen im Hangenden, bis zur Erdoberfläche verfolgt.
Die Laufzeit t wird aus der Strahllänge s und der halben Schichtgeschwindigkeit v berechnet:
t = s v . (204)
2
Man kann sich nun vorstellen, dass zur Zeit t=0 von allen Punkten des Reflektors Wellen nach oben
abgestrahlt werden, die sich mit der halben Geschwindigkeit ausbreiten und deren Amplituden den
Reflexionskoeffizienten des Reflektors entsprechen. Dieses Konzept nennt man exploding reflector
(Loewenthal 1976). Eine exploding-reflector-Sektion unterscheidet sich von der zero-offset-Sektion,
wenn es Geschwindigkeitslinsen oder Stufen gibt (siehe Abb. 119) und multiple Reflexionen werden
zu anderen Zeiten beobachtet.
Abbildung 119: Hier sind zwei Reflexionen zu sehen, die in der exploding-reflektor-Sektion anders
erscheinen, als in der zero-offset-Sektion. Quelle: Clearbout
Der exploding reflector kann als ein Gedankenexperiment aufgefasst werden, das durch eine
Wellengleichung beschrieben werden kann. Damit ergibt sich die Möglichkeit durch eine Rechnung
die Sektion zu modellieren, die näherungsweise eine zero-offset-Sektion ist. Darüberhinaus führt die
Vorstellung, dass in einer exploding-reflector-Sektion nur aufwärtslaufende Wellen beobachtet
\end{werden, zu der Idee, die Lage des Reflektors aus der Sektion (z=0) durch
Wellenfeldfortsetzung in die Vergangenheit, und damit in die Tiefe z, zu berechnen. Dies ist ein
Grundgedanke der Migration.
146

22 Multi-Parameter Stapelmethode
Wir greifen hier noch einmal das Thema Entwicklung der Laufzeit in einer Taylorreihe auf. Bevor
wir dies tun, illustrieren wir die Begriffe Image-Space und Model-Space für die Seismik, wobei wir
zum einen eine Punktquelle auf einem Reflektor betrachten und zum anderen ein „exploding reflector“
Element, das auch als Common Reflection Surface (CRS) bezeichnet wird. Der Zero-Offset Strahl ist
-wie mehrfach gesehen- in der angewandten Seismik von zentraler Bedeutung. Er trifft am Normal
Incidence Point (NIP) auf den Reflektor. Auf dem CRS können wir mehrere Zero-Offset Strahlen
konstruieren, die an der Oberfläche an verschiedenen Positionen und damit unterschiedlichen CMP
Koordinaten auftauchen. Die Neigung und Krümmung eines Reflektors erschließt sich also nur, wenn
wir die Zero-Offset Strahlen benachbarter CMPs betrachten. Aus einem einzelnen Zero-Offset Strahl
können wir keine Aussage über die Eigenschaften des Reflektors treffen. Wie wir sehen werden, führt
dies zu Laufzeitformeln, die nicht nur von der Moveout-Geschwindigkeit abhängen sondern von mehreren
Größen. Daher der Begriff „Multi-Parameter“ Methoden.
Die folgenden Abbildungen repräsentieren Gedankenexperimente einer Punktquelle im NIP (Abb.
120a) und eines Exploding Reflektors (Abb. 120b), des CRS, der im NIP zentriert ist. Die Wellenausbreitung
ist hier ein Einwegprozess, von unten nach oben, wogegen im Feldexperiment wir eine
Zweiwegausbreitung haben (von der Quelle zur Oberfläche und wieder zurück). Für die beiden Experimente
ergeben sich unterschiedliche Krümmungen der Wellenfronten an der Oberfläche. In der
optischen Repräsentation (Abb. 120c) erscheinen NIP und CRS an der falschen Position und weisen
falsche Neigungen und Krümmungen auf. An der Oberfläche sind die Einfallswinkel und die beiden
Krümmungen (rot und blau) im Model- und Image-Space aber identisch.
Die Wellen dieses Gedankenexperiemnts werden auch als Eigen-Waves bezeichnet. Die Welle mit
der Quelle im NIP wird auch als NIP-Wave bezeichnet. Die Welle, die zum exploding CRS gehört, wird
als Normal-Wave oder N-Wave bezeichnet. DIe Krümmungsradien der Wellenfronten dieser Wellen
an der Oberfläche sind R NIP und R N .
Wir betrachten noch einmal die Taylorentwicklung von oben und benutzen nun CMP Koordinaten.Wir
betrachten noch einmal die Taylorentwicklung von oben und benutzen nun CMP Koordinaten
(x m : mid point, h i : half offset, ∆x m : mid point displacement, s i : shot coordinate, g i : geophone
coordinate).
147

V (x, z) β 0
x 0
V (x, z) β 0
x 0
V 0
x 0
R NIP β0
R N
NIP’
CRS’
NIP
CRS
(a)
(b)
(c)
Abbildung 120: (a) Punktquellen Experiment im NIP. Der Einfallswinkel des ZO-Strahls an der CMP
Position x 0 ist β 0 . Wegen der Inhomogenität des Mediums, sind die Strahlen gekrümmt.
(b) Exploding Reflector Experiment. (c) Optische Repräsentation. Einfallswinkel
und Krümmungen sind in Model- und Image-Space identisch. (a) und (b) entsprechen
dem Modelspace, (c) dem Image-Space der dem Abbild in der Oberfläche
entspricht und die optische Repräsentation des Model-Space entspricht.
x m
∆x m
S 2
S 1
CMP
G 1
G 2
x
x=0
s i
h 1
g
i
Abbildung 121: CMP Koordinaten: Midpoint Koordinate x m , midpoint Verschiebung ∆x m , h i half
offset, s i : shot coordinate, g i : geophone coordinate.
148

x m ist dabei die CMP-Koordinate, h der halbe Offset, g i und s i sind Empfänger- und Schusskoordinaten,
also
x m = 1 2 (g i + s i ), (205)
h i = 1 2 (g i − s i ), (206)
mit i = 1,2,...,n mit n als Überdeckungsgrad bzw. „fold“.
In midpoint und half-offset Koordinaten, (x m , h), erhalten wir für die Taylor Entwicklung der Laufzeit
T bis zur 2. Ordnung:
T = T 0 + ∂T ∆x m + ∂T
∂x m ∂h h + ∂2 T
∂x 2 ∆x 2 m + ∂2 T
m ∂h 2 h2 + 2
∂2 T
∂x m ∂h ∆x m h + O(3) , (207)
wobei ∆x m = x m − x 0 die CMP Position am Entwicklungspunk x m = x 0 , h = 0 ist und T 0 die
Laufzeit an diesem Punkt.
Wir betrachten Monotypische Wellen (PP, SS), daher haben wir Reziprozität. Die Laufzeit ändert
sich nicht, wenn wir Empfänger und Quelle vertauschen, also t(x m , h) = t(x m , −h). Damit wird
∂T
∂h = 0 and ∂ 2 T
∂x m ∂h = 0 , (208)
und die Taylorentwicklung vereinfacht sich (wobei Terme höherer Ordnung vernachlässigt wurden):
T = T 0 + ∂T ∆x m + ∂2 T
∂x m ∂x 2 ∆x 2 m + ∂2 T
m ∂h 2 h2 . (209)
Die letzte Gleichung repräsentiert die parabolische Form der Laufzeit. Die hyperbolische Form erhalten
wir durch quadrieren der parabolischen Gleichung, wobei alle Terme mit einer höheren Ordnung als 2
vernachlässigt werden.
(
T 2 = T 0 + ∂T ) 2 ( ∂ 2 )
T
∆x m + 2T 0
∂x m ∂x 2 ∆x 2 m + ∂2 T
m ∂h 2 h2 (210)
oder zur Vereinfachung
T 2 = (T 0 + A∆x m ) 2 + 2T 0
(
B∆x 2 m + Ch 2) . (211)
wobei wir die entsprechenden Ableitungen mit A, B und C bezeichnet haben.
22.1 Spezialfälle
A = ∂T
∂x m
Wir betrachten nun zwei Spezialfälle:
• Zero Offset Experiment (h = 0)
• CMP Experiment (∆x m = 0)
B = ∂2 T
∂x 2 m
C = ∂2 T
∂h 2 (212)
149

CRS’
x 0
x m
M
x 0
∆x m
x m
β 0 ∆β
R N
β 0
R N ∆β
V 0 ∆T
0
M
(a)
(b)
Abbildung 122: (a) Zero-offset Experiment. Der Zero-Offset Strahl trifft die Oberfläche bei x 0 . Der
benachbarte Strahl erreicht die Oberfläche bei x m . Beide sind senkrecht auf dem CRS.
(b) Vergrößerung des Dreiecks x 0 , x m , M.
22.1.1 Zero-Offset Experiment
Für die Zero-Offset Situation, also h = 0, erhalten wir die folgende Laufzeitgleichung:
(
T 2 (∆x m , h = 0) = T 0 + ∂T ) 2 ( ∂ 2 )
T
∆x m + 2T 0
∂x m ∂x 2 ∆x 2 m . (213)
m
Die Abbildung zeigt einen gekrümmten “exploding reflector”, charakterisiert durch zwei ZO Strahlen
und die zugehörigen Wellenfronten, die bei x 0 und x m = x 0 +∆x m auf die Oberfläche treffen. Wir
beobachten im Image Space, also V 0 = const. Die virtuelle Quelle (oder “Spiegelquelle”) liegt bei
0. Die Auftauchwinkel der beiden ZO Strahlen sind β 0 , und β = β 0 +∆β. Der Abstand der beiden
Wellenfronten bei M ist Mx m = V 0 ∆T . Der Krümmungsradius R n = 0x 0 = 0M entspricht dem
Krümmungsradius der Normal-Wave.
Für ∆x m ≪ 1 entspricht der Bogen x 0 M = R N ∆β näherungsweise der Linie x 0 M, also x 0 M =
R N ∆β. Wir erhalten ein Dreieck mit den Punkten x0, x m und M (siehe Vergrößerung rechts in der
Abbildung). Aus geometrischen Überlegungen erhalten wir:
sin β 0 = Mx m
∆x m
= V 0 ∆T
∆x m
und cos β 0 = x 0M
∆x m
= R N ∆β
∆x m
. (214)
150

Lassen wir nun ∆x m gegen Null gehen, wird
sin β 0 = V 0
∂T
∂x m
and cos β 0 = R N
∂β
∂x m
. (215)
Aus der linken Gleichung erhalten wir die ersten Ableitungen ∂T/∂x m .
Die zweiten Ableitungen erhalten wir mit
∂ 2 T
∂x 2 m
= ∂ ( ) sin β
= cos β 0
∂x m V 0 V 0
∂β
∂x m
= cos2 β 0
V 0 R N
, (216)
wobei der zweite Ausdruck aus Gleichung 215 durch die Ableitung für β substituiert wurde. Damit
erhalten wir für die Laufzeiten in der ZO-Situation:
T = T 0 + 2 sin β 0
V 0
∆x m + cos2 β 0
V 0 R N
∆x 2 m . (217)
T 0 ist die Laufzeit des ZO Strahles bei x 0 . Da wir einen Einweg-Prozess betrachten müssen wir
zusätzlich einen Faktor 2 benutzen, da das Reflexionsexperiment ein Zweiweg-Prozess ist und wir nur
so die korrekte TWT erhalten.
22.1.2 CMP Experiment
Wir betrachten den ZO-Strahl, der bei x 0 auf die Oberfläche trifft und zwei benachbarte Strahlen bei
x 0 + h und x 0 − h. Der Punkt, wo der ZO-Strahl auf die gekrümmte Grenzfläche trifft, wird auch als
Normal Incidence Point (NIP) bezeichnet. Die Laufzeiten der benachbarten Strahlen vom NIP nach
x 0 ± h bezeichnen wir mit T 1 und T 2 . Der Moveout dieser Strahlen zum ZO-Strahl bei x 0 ist ∆T 1
und ∆T 2 .
Wir nutzen Gleichung 217 für die Laufzeiten der Strahlen bei ∆x 1 = −h und ∆x 2 = h, wobei der
Radius R N durch R NIP ersetzt wurde, wie aus Abbildung 123 ersichtlich. Da Gleichung 217 einen
Zweiweg-Prozess beschreibt erhalten wir:
∆T 1 = − sin β 0
V 0
h + cos2 β 0
2 V 0 R NIP
h 2
∆T 2 = sin β 0
V 0
h + cos2 β 0
2 V 0 R NIP
h 2 . (218)
Um die Laufzeit T des reflektierten Strahls von x 0 − h nach x 0 + h zu erhalten, addieren wir die
Moveouts zu T 0 , wobei sich die linearen Terme auslöschen:
T = T 0 + cos2 β 0
V 0 R NIP
h 2 . (219)
Dir erhaltenen Ergebnissen zeigen, dass Gleichung 217 nur von ∆x m und Gleichung 219 nur von
h abhängen. Wir können sie addieren und erhalten die parabolische Form der Common Reflection
Surface (CRS) Gleichung:
T = T 0 + 2 sin β (
0
∆x m + cos2 β 0 ∆x 2 )
m
+ h2
. (220)
V 0 V 0 R N R NIP
151

x 0 − h
x 0
x 0 + h
NIP’
R NIP
V 0 ∆T 2
β 0
0
Abbildung 123: CMP Experiment. Wir betrachten den ZO-Strahl bei x 0 und die benachbarten Strahlen
bei x 0 − h und x 0 + h.
Da wir hier nur die Taylor-Entwicklung genutzt haben, ist diese Form der CRS Gleichung modellunabhängig.
Es ist bekannt, dass in vertikal inhomogenen Medien die hyperbolischen Gleichungen zu besseren Ergebnissen
führen, als parabolische Gleichungen. Die hyperbolische Form erhalten wir durch quadrieren
der parabolischen Form unter Vernachlässigung aller Terme mit höherer Ordnung als 2.
T 2 =
22.2 CRS Parameter Bestimmung
(
T 0 + 2 sin β ) 2
0
∆x m + 2 T 0 cos 2 (
β 0 ∆x 2 )
m
+ h2
V 0 V 0 R N R NIP
. (221)
Die CRS-Formel hängt von drei Parametern ab, die über eine Kohärenzanalyse aus den Daten ermittelt
werden. Dieser Vorgang entspricht der “Geschwindigkeitsanalyse” beim CMP-Operator. Bei
beiden Methoden ist es also eine Anpassung voneinanderLaufzeiten an die Daten. Bei CMP wird
nach einem Attribut, der Stapelgeschwindigkeit gesucht, bei CRS nach 3 Attributen (R n , R NIP , β 0 ).
Das Durchsuchen dieses 3-D Raumes nach den optimalen Parametern ist rechenzeitlich aufwendig.
Der sogenannte pragmatische Suchansatz (pragmatic approach) bietet eine rechenzeitlich effiziente
Alternative. Dabei wird ausgenutzt, dass die Suche in CMP und Offsetkoordinaten zu getrennten
Gleichungen führt.
Für ∆x m = 0 reduziert sich Gleichung (221) auf die wohl bekannte CMP Formel:
T 2 (h) = T 2 0 + 2 T 0 cos 2 β 0
V 0
h 2
R NIP
, (222)
152

für h = 0 wird Gleichung (221)
T 2 (∆x m ) =
(
T 0 + 2 sin β 0
V 0
∆x m
) 2
+ 2 T 0 cos 2 β 0
V 0
Obige Gleichungen (222) und (223) erlauben das Aufteilen der Suche in drei Schritte.
∆x 2 m
R N
. (223)
1. Schritt: Automatischer CMP Stapelung Wir benutzen CMP sortierte Gather (d.h., ∆x m =
0). Nach Gleichung (222) unter Benutzung eines Hilfsparameters q, der einen kombinierter
Parameter von β 0 and R NIP repräsentiert,
q = cos2 β 0
R NIP
. (224)
ergibt den Zusam-
der Vergleich mit dem klassischen CMP Operator T 2 = T0 2 + 4h2 /VNMO 2
menhang zur Moveout-Geschwindigkeit als
V 0
q = 2
T 0 VNMO
2
. (225)
Die Suche nach q ist also eine automatische CMP Geschwindigkeitsanalyse. Dabei wird für jedes
CMP-Gather und für jedes T 0 das q gesucht, das die beste Semblance ergibt. Anschließend
werden die CMP Daten gestapelt und es liegt ein erstes Image vor.
2. Schritt: Die erhaltene Stapelsektion aus Schritt 1 entspricht dem Fall h = 0 und ist die Datengrundlage
dieses Schrittes. Für den 2. Schritt gibt es zwei Optionen:
a) Suche von zwei Parametern nach (223), wobei die Parameter β 0 and R N simultan über
eine Kohärenzanalyse bestimmt werden.
b) Aufspalten in zwei Ein-Parameter Suchen. Hierbei wird im ersten Fall der Radius R N
unendlich gesetzt, d.h. (223) wird zu
T (∆x m ) = T 0 + 2 sin β 0
V 0
∆x m . (226)
Das entspricht einer Annahme von ebenen Wellen und die Suche wird auf kleine Bereiche
von ∆x m beschränkt. Ist β 0 über eine Kohärenzanalyse bestimmt, wird mit (223) der
Parameter R N über eine Kohärenzanalyse ermittelt.
3. Schritt 3: Finale oder simultane Optimierung. Schritt 1 und 2 sind geeignet, gute Startwerte
für eine simultane Optimierung der drei Parameter durchzuführen, wobei der Suchbereich stark
eingegrenzt ist. Der rechenzeitliche Aufwand dieses Schrittes ist aber immer noch sehr hoch.
Kohärenzmaß und Optimierungsverfahren beeinflussen maßgeblich die erzielten Resultate.
153

23 Migration
Unter der Migration seismische Wellenfelder versteht man die Anwendung von Verfahren, die aus dem
an der Erdoberfläche beobachteten Feld u(x,z=0,t) ein Abbild der Untergrundstruktur u(x, z) erzeugen.
Wird das Bild im (x,z)-Raum erzeugt, so spricht man von Tiefenmigration (depth migration).
Auch eine Zeitmigration (time migration) ist durchaus üblich und liefert ein Bild im (x,t)-Raum. Die
Zeitmigration reagiert weniger empfindlich auf Fehler im Geschwindigkeitsmodell, als die Tiefenmigration,
liefert aber eben nur ein Abbild im Zeitbereich.
Es gibt Migrationsverfahren, die vor dem Stapeln z.B. auf Einzelschüssen oder Common Offset
Gather angewendet werden (pre-stack time oder pre-stack depth migration). In komplexen Medien
wird heute fast ausschließlich die Migration vor dem Stapeln (pre-stack depth migration: PSDM)
angewandt. Es wird aber auch nach wie vor eine Migration nach dem Stapeln (post-stack migration)
durchgeführt, d.h. es wird eine Stapelsektion migriert. Das soll hier noch etwas vertieft werden.
154

155

•
•
•
•
B
A
x
C
C’
D
D’
t
Abbildung 125: Geometrische Relation zwischen dem Reflexionselement C ′ D ′ in der Zeitsektion und
dem Reflektor CD im Untergrund. Durch die Migration wird die Reflexion verkürzt,
versteilt und bergwärts auf die korrekte Reflektorposition verschoben (migriert).
23.1 Prinzipien der Migration
Die wesentlichen Prinzipien der Migration können an einem einfachen Beispiel erläutert werden. Ziel
der Migration ist es, aus der Zeitsektion eine geologische Sektion zu erstellen, die die richtigen Neigungen,
Positionen und Längen von Reflektoren darstellt. Im Sprachgebrauch benutzen wir in Zeitsektionen
den Begriff Reflexion oder Reflexionselement, in der migrierten Sektion benutzen wir den Begriff
Reflektor. Abbildung 125 zeigt die Relation zwischen einem Reflexionselement in der Zeitsektion und
dem zugehörigen Reflektor im geologischen Modell. In der ZO-Sektion wird die gestapelte Amplitude
der zugehörigen t 0 -Zeit der betrachteten CMP-Position (hier A oder B) zugewiesen. Der ZO-Strahl
liegt aber nur für einen horizontalen Reflektor direkt unter der betrachteten CMP Position. D.h. nur
für ein horizontal geschichtetes Modell ist die Stapelsektion ein skaliertes Abbild des Untergrunds.
Mit Hilfe der Dix-Dürrbaum-Krey (DDK) Inversion kann in diesem speziellen Fall die ZO Sektion in
das geologische Modell tiefengewandelt werden (beachte, dass die aus der DDK-Inversion erhaltenen
Intervallgeschwindigkeiten aber fehlerbehaftet sind und die Tiefenkonversion wegen dieser Geschwindigkeitsfehler
nie perfekt ist). Für einen geneigten Reflektor gibt die ZO Sektion ein verzerrtes Abbild
des Untergrunds wieder. Bei starken lateralen Heterogenitäten ergeben sich, wie oben erwähnt, weitere
156

Abbildungsartefakte in der ZO Sektion. Die Positionen der Endpunkte aller möglichen ZO-Strahlen
liegen auf Kreisen mit dem Radius der t 0 -Zeit. Betrachten wir in Abb. 125 die zwei CMP-Positionen
A und B, die ein geneigtes Reflexionselement C ′ D ′ begrenzen. Da die ZO-Strahlen senkrecht auf dem
Reflektor stehen, erhalten wir das Reflektorelement durch Konstruktion der Tangente an die beiden
Kreise mit den Radien t A 0 und tB 0 . Diese Tangente berührt die Kreise in den Punkten C und D. Durch
diese geometrische Migration wird die Neigung (Dip) der Zeitsektion also versteilt (time dip < geological
dip), die Länge des Elementes verkürzt (reflection length> reflector length) und das ganze
Event bergwärts verschoben (migriert).
Tatsächlich handelt es sich bei der gezeigten geometrischen Migration um eine Zeitmigration. Liegt
uns das Geschwindigkeitsmodell vor, kann daraus ein Tiefenmodell gemacht werden indem wir den
Zeitradius durch Multiplikation mit der halben (warum?) Geschwindigkeit in einen räumlichen Radius
umwandeln. Bei konstanter Geschwindigkeit ändert sich dabei weder die Länge noch die Neigung des
Reflektors. Nur die Position wird verändert und die vertikale Achse ist nun eine Tiefenachse. Um aus
reflexionsseismischen Daten ein korrektes Tiefenabbild zu erhalten, muss ich also das Geschwindigkeitsmodell
kennen. Dies wird auch als Migrationsparadox bezeichnet.
24 Statische Korrekturen
Bei landseismischen Vermessungen liegen die Geophone und die Schusspunkte in der Regel nicht
auf dem gleichen Niveau. Darüber hinaus weist die oberste Schicht, die sog. Verwitterungsschicht,
häufig starke Geschwindigkeitsinhomogenitäten auf. Bei der Herleitung von Laufzeitkurven und NMO-
Formeln wurde jedoch immer von einer ebenen Erdoberfläche und homogene Schichten ausgegangen.
Daher ist es erforderlich, das seismische Profil rechnerisch auf eine horizontale Bezugslinie (im Erdinnern)
zu verlegen. Zu diesem Zweck werden die Spuren um die Laufzeiten vom Schußpunkt zum
Bezugsniveau und vom Bezugsniveau zum Geophon verringert. Da diese Korrektur Laufzeitunabhängig
ist, nennt man sie statische Korrektur.
Zur Berechnung der statischen Korrektur benötigt man die Schichtmächtigkeiten und -geschwindigkeiten
zwischen Bezugsniveau und Erdoberfläche. Man erhält sie aus gesonderten Messungen, wie z.B.
• Aufzeitschießen (uphole survey): Schüsse in verschiedenen Tiefen oberhalb des Bezugsniveau,
Geophone möglichst senkrecht darüber an der Erdoberfläche.
• Nahlinien (refraction statics): Refraktionsseismische Vermessung, die so dimensioniert ist, dass
die oberflächennahen Schichten kartiert werden können.
157

Abbildung 126: statische Korrektur
24.1 Einfluss der Topographie
Wegen des annähernd vertikalen Strahlenverlaufs bei Reflexionsbeobachtungen gilt genau genug
∆t = h s
+ h r − z w
+ z w
. (227)
v b v b v w
wobei h s = E S − E D − D S und h r = E R − E D sind bekannt. ∆t ist von allen Laufzeiten des
Seismogramms abzuziehen. z w , v w und v b (weathering layer, bedrock) müssen experimentell bestimmt
werden durch die o.g. Methoden.
158

Abbildung 127
24.2 Die Verwitterungsschicht (weathering layer)
Die Verwitterungsschicht ist die an der Erdoberfläche grenzende Schicht mit extrem niedrigen Geschwindigkeiten.
Ihre Mächtigkeit beträgt in der Regel 4 m bis 50 m und ihre untere Grenze wird
meistens durch den Grundwasserspiegel gebildet. Die Bedeutung der Verwitterungsschicht resultiert
aus:
• starker Absorption seismischer Energie ⇒ Sprengungen werden möglichst an oder unter der
Basis der Verwitterungsschicht gezündet.
• überproportional großem Einfluss auf die Laufzeit wegen der kleinen Geschwindigkeit und rascher
Änderung der Geschwindigkeit.
• starker Brechung aufwärtslaufender Wellen, wegen des großen Geschwindigkeitssprungs zum Liegenden,
so dass die Strahlen unabhängig von ihrem Einfallswinkel auf die Verwitterungsschicht
fast senkrecht auf die Erdoberfläche treffen.
• Begünstigung multipler Reflexionen durch großen Impedanzkontrast zum Liegenden.
24.3 Statische Korrektur aus Aufzeitschießen
Die korrigierte Zeit t C ergibt sich durch Addition von beobachteter Zeit t und der statischen Korrektur
t D ,
t C = t + t D . (228)
t D setzt sich aus der schussseitigen Korrektur t S und der empfängerseitigen Korrektur t R zusammen,
Nach der Abbildung 127 ergibt sich
t D = t S + t R . (229)
159

wobei t UH die Aufzeit des Empfängers ist.
24.4 Statische Korrektur aus Nahlinien
t D = 2E D − (E S − D S ) − (E R − D R )
v b
− t UH , (230)
Das Messprinzip der Nahlinienmessungen entspricht der Akquisition der Refraktionsseismik, die wegen
der großen Offset-Target-Verhältnisse auch als Weitwinkelseismik bezeichnet wir.
Hier fehlt noch der Teil zur Weitwinkelseismik (DG, 1.3.2013)
Die Mächtigkeit der Verwitterungsschicht ergibt sich zu
wobei t i die Interceptzeit ist.
z w = t i v w v
√ b
, (231)
2
vw 2 − vb
2
160

Die statische Korrektur erhält man dann aus
24.5 Reststatische Korrekturen
t D = − 2z w
v w
+ 2 (E D − E S + z w )
v b
. (232)
Die statische und die dynamische Korrektur sind fehlerbehaftet. Der Laufzeitunterschied t ijh zwischen
der Spur ij eines NMO-korrigierten CMP-Ensembles und einer Referenzspur lässt sich folgendermaßen
zerlegen:
t ijh = s j + r i + G kh + M kh X 2 ij, (233)
mit s j als reststatische Zeit, die dem Ort der Quelle zugerechnet wird und r i als reststatische Zeit,
die dem Empfängerort zugerechnet wird. G kh ist die Differenz zwischen der Lotzeit der k-ten CMP-
Familie und der Referenzspur (bezüglich des h-ten Reflektor) und M kh Xij 2 ist der Restmoveout, der
auf die nicht exakte Berechnung zurückzuführen ist.
Die Referenzspur wird als fehlerfrei angenommen. Es wird davon ausgegangen, dass die Reststatik
oberflächenkonsistent ist, d.h. dass s j und r i nur vom Ort abhängen und nicht vom Offset. Es werden
somit vertikale Laufwege durch oberflächennahe Schichten angenommen.
161

Abbildung 128: reststatische Korrektur, Quelle: Seismic Data Processing von Yilmaz
Die reststatische Korrektur erfolgt in drei Schritten:
1. Bestimmen der Zeitdifferenz,
2. Zerlegen der Zeitdifferenz nach Gleichung (233),
3. und Korrektur der Spuren um s j und r i , evtl. Wiederholung der 3 Schritte.
Die Zeitdifferenz kann mit Hilfe der Kreuzkorrelationsfunktion bestimmt werden,
C 12 (τ) =
∫ ∞
−∞
f 1 (t)f 2 (t + τ)dt. (234)
Die Zeit τ M , bei der das Maximum von C 12 (τ) beobachtet wird, ist gleich der gesuchten Zeitdifferenz
zwischen den Spuren. Häufig verwendet man die normierte Kreuzkorrelationsfunktion, die diskret
folgendermaßen gegeben ist:
C k =
∑ N−1
j=0 f 1jf 2j+k
√ ∑N−1
j=0 f 2 1j
∑ N−1
j=0 f 2 2j
. (235)
Die Normierung erfolgt dabei auf das geometrische Mittel der Energie der Spuren. Bei langen Zeitreihen
ist es günstiger die Kreuzkorrelation im Frequenzbereich durchzuführen. Es ist C 12 (τ) ⇐⇒
F ∗ 1 (ω)F 2(ω), wobei F ∗ 1 das konjugiert komplexe des Spektrums F 1(ω) ist.
Die Minimierung der Zeitdifferenzen erfolgt nach der Methode der kleinsten Quadrate. Die Differenz
zwischen der mit der Kreuzkorrelation gemessenen Zeit t ij und der nach Gleichung (233) gegebenen
Zeit t ijh wird quadriert und für alle, i und j aufsummiert.
E = ∑ i,j
(t ij − t ijh ) 2 . (236)
162

Die Funktion E wird minimiert, d.h.
∂E
= ∂E = ∂E = ∂E = 0. (237)
∂s j ∂r i ∂G k ∂M k
Das sind n Gleichungen für die gesuchten s j , r i , G k und M k mit n als Anzahl der Geophone + Anzahl
der Quellen + zwei mal der Anzahl der CMPs. Die Lösung des Gleichungssystems kann iterativ z.B.
mit Hilfe des Gauß-Seidel-Verfahren erfolgen.
163

25 Anhang
25.1 SU-Kommandos
• SU-1: suvibro dt=0.001 taper=3 f1=0 f2=5 | supsgraph n=2500 title=’Linear sweep (0/5/10s)
cos tap.’ label1=’Zeit [s]’ label2=Amplitude x2beg=-1.5 x2end=1.5 axeswidth=3 labelfont=Helvetica-
Bold style=normal wbox=8 hbox=6| kghostview –portrait -
• SU-2: suvibro dt=0.004 f1=5 f2=100 taper=3 | sufft dt=0.004 | suamp mode=amp | supsgraph
title=’Spektrum lin. Sweeps (5/100/10s) cos tap.’ label1=’Frequenz [Hz]’ label2=Amplitude
x2end=50 axeswidth=3 labelfont=Helvetica-Bold style=normal wbox=8 hbox=6 | kghostview
–portrait -
• SU-3: suvibro dt=0.001 f1=53 f2=67 taper=3 | suacor | supsgraph title=’Autokorrelation
(53/67/10s cos taper)’ label1=’Zeit [s]’ label2=Amplitude axeswidth=3 labelfont=Helvetica-
Bold style=normal wbox=8 hbox=6| kghostview –portrait -
• SU-4: suvibro dt=0.001 f1=47.5 f2=72.5 taper=3 | suacor | supsgraph title=’Autokorrelation
(47.5/72.5/10s cos taper)’ label1=’Zeit [s]’ label2=Amplitude axeswidth=3 labelfont=Helvetica-
Bold style=normal wbox=8 hbox=6| kghostview –portrait -
• SU-5: suvibro dt=0.001 f1=35 f2=85 taper=3 | suacor | supsgraph title=’Autokorrelation
(35/85/10s cos taper)’ label1=’Zeit [s]’ label2=Amplitude axeswidth=3 labelfont=Helvetica-
Bold style=normal wbox=8 hbox=6| kghostview –portrait -
• SU-6: suvibro dt=0.001 f1=10 f2=110 taper=3 | suacor | supsgraph title=’Autokorrelation
(10/110/10s cos taper)’ label1=’Zeit [s]’ label2=Amplitude axeswidth=3 labelfont=Helvetica-
Bold style=normal wbox=8 hbox=6| kghostview –portrait -
164