ED02 - Signalorientierte Modellierung - Fakultät Elektrotechnik und ...

Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik • Lehrstuhl Automatisierungstechnik • Prof. Klaus Janschek 

ED02 

SIGNALORIENTIERTE MODELLIERUNG 

EREIGNISDISKRETER SYSTEME 

Die Grundaufgaben der Automatisierung – gezielte Beeinflussung, Überwachung und Sicherung 

dynamischer Systeme – lassen sich nur dann zielgerichtet lösen, wenn das Verhalten des 

interessierenden Systems hinreichend gut bekannt ist. 

Deshalb ist die Ingenieuraufgabe der Modellierung auch für die hier betrachtete Klasse von 

„Ereignisdiskreten Systemen“ von grundlegender Bedeutung. 

Ziel der Modellierung ist es, diejenigen Aspekte (Sichten auf das System) in einem abstrakten Modell 

abzubilden, die für die zu lösende Aufgabe wichtig sind. Im vorliegenden Fall ist dies in erster Linie 

das dynamische Verhalten von Wirkungsgrößen (Ausgangsgrößen des ED-Systems) als kausale 

Antwort auf Ursachengrößen (Eingangsgrößen des ED-Systems). Im Allgemeinen tritt dabei die 

exakte zeitliche Zuordnung nicht mehr in Erscheinung, sondern es verbleibt nur noch eine 

Information über die Reihenfolge von Änderungen der Eingangs- und Ausgangsgrößen. In diesem 

Sinne spricht man von Ereignissen, deren sequentielles Auftreten Ursache für das dynamische 

Verhalten von ED-Systemen ist. 

v ∈Ωv 

Ereignisdiskretes 

(ED) 

System 

w ∈Ωw 

( v[k] ) 

( w[k] ) 

Im Rahmen dieser Lehrveranstaltung beschränkt sich die Modellierung auf vorwiegend 

deterministische Aspekte, d.h. die Folge w[k] der Ausgangsgrößen wird ausschließlich und in 

eindeutiger Weise von der Folge v[k] der Eingangsgrößen beeinflusst. Die Erweiterung auf 

nichtdeterministische und stochastische Phänomene ist sehr übersichtlich und detailliert in [LUNZE] 

beschrieben. 

Die gefundenen Modelle dienen einmal der Prozessanalyse, d.h. Beantwortung der Frage: „Welche 

funktionellen und dynamischen Möglichkeiten stecken bei vorgegebener Instrumentierung (Sensoren, 

Aktuatoren) in der Steuerstrecke?“. Die Modelle sollen dabei sowohl eine Analyse auf analytischer 

Basis (formelmäßiges Berechen von Systemeigenschaften) als auch auf simulationsbasierter Basis 

(rechnergestützte Experimente) unterstützen. 

Diese Modelle werden darüber hinaus aber auch als Grundlage für einen systematischen Entwurf 

von Steueralgorithmen genutzt, äquivalent zum Vorgehen bei der klassischen Regelkreissynthese. 

Die speziellen Eigenschaften ereignisdiskreter Systeme erfordern andere Beschreibungsmittel, als die 

bis dato bekannten zur Beschreibung von zeitkontinuierlichen und zeitdiskreten Systemen. Die im 

Folgenden benutzten Beschreibungsformen orientieren sich weitgehend am gegenwärtigen Stand der 

Technik (Automaten, Petri-Netze) und sie sind meist auch in verwandten Gebieten etabliert, z.B. 

digitaler Schaltungsentwurf, Softwaretechnik. Neu eingeführt wird in diesem Kapitel ED02 ein 

signalorientierter Modellierungsansatz (diskrete Situationen), mit dessen Hilfe man auf 

geradlinigem Wege geeignete Automatenmodelle für Steuerstrecke und Steueralgorithmus erhalten 

kann. 

Ereignisdiskrete Systeme 1 

K. Janschek - WS 2013/14 Signalorientierte Modellierung – ED02/1-


2.1 Signalmodelle 

2.1.1 Wertediskrete Signalabbildungen 

Bei automatisierungstechnischen Fragestellungen interessieren in der Regel abstrakte 

Beschreibungen von physikalischen Größen mit wertekontinuierlicher Charakteristik. Die Abbildung 

dieser Größen auf wertediskrete Größen lässt sich mathematisch als eine Abbildung der reellen 

Zahlenmenge auf wertediskrete, endliche Mengen beschreiben. 

x ∈Ω = 

D 

bin 

{ 01 , } 

x ∈ R 

skalar - binär 

vektoriell - binär 

x 

⎛xD, 

1 

⎞ 

⎜ ⎟ 

= ⎜ ⎟, x 

, 

∈Ω = { 0, 1 }, i = 1,..., 

n 

⎜x 

⎟ 

⎝ Dn , ⎠ 

D D i bin 

skalar - mehrwertig 

Kodierung 

{ , ,..., } 

x ∈Ω = Symbol Symbol Symbol 

D D 1 2 

N 

• Abbildung R →Ω 

- eindeutig, jedoch nicht bijektiv (d.h. es existiert keine eindeutige Umkehrabbildung 

Ω→R 

- Grund: Ω entsteht gerätetechnisch durch eine quantisierte Abtastung der reelwertigen 

Signale, damit ist ein prinzipieller Informationsverlust verbunden 

• Kodierung Ωi ↔ Ω 

j 

- wird sinnvollerweise als eine bijektive Abbildung implementiert (d.h. es existiert eine 

eindeutige Umkehrabbildung) 

- eine geeignete Kodierung ist nützlich für die Handhabung der Signale 

- symbolische Kodierung ist günstig für den Entwurf sowie die Softwareimplementierung mit 

Hochsprachen oder SPS-Fachsprachen 

- binäre Kodierung ist günstig für die Implementierung in einer digitalen Schaltung oder 

Softwareimplementierung in Maschinensprache. 




2.1.2 Skalare Binäre Signalabbildung 

Repräsentiert die Funktionsweise eines einzelnen binären Sensors. Systemtheoretisch gesehen 

bedeutet diese Abbildungsvorschrift eine zweiwertige Quantisierung mittels eines statischen 

Kennliniengliedes. 

• Funktionsweise eines binärer Sensors 

Binärer Sensor 

(Statisches Kennlinienglied) 

1 

x bin 

x ∈ R xbin 

∈ { 01 , } 

0 

+ 

x 

x 

2.1.3 Vektorielle Binäre Signalabbildung 

x + ... Schaltschwelle 

Wenn mehrere binäre Sensoren den Wertebereich des reellwertigen Signals abbilden, 

ergibt sich ein binärer Signalvektor. Verallgemeinert kann aber auch jedes Ensemble 

von an sich unterschiedlichen Binärsignalen als Signalvektor interpretiert werden. 

Binärer Sensor 1 

x ,bin 

1 

{ } 

x1 , bin 

∈ 01 , 

1 

x 

0 

x ∈ R 

1+ 

x 

Binärer Sensor 2 

x 2,bin 

1 

{ } 

x2 , bin 

∈ 01 , 

0 

2+ 

x 

x 

• Binärer Signalvektor 

Vektorielle Boolesche Variable x 

⎛ x1 

⎞ 

⎜ ⎟ 

⎜ x2 

⎟ 

x = ⎜ ⎟ ∈ B 

 

⎜ ⎟ 

x ⎝ n ⎠ 

n 

x 

= 

x 1 

x 2 

x 3 

x n 




• Elementarbelegungen – Vektorielles Signalalphabet 

⎛ ev, 

1 ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎜ev, 

2 ⎟ 

n 

- Elementarbelegungen e ν = ⎜ ⎟ ∈ E; 

ev, 

i ∈ B; 

ν = 0, 

1,...,( 

2 − 1); 

i = 1, 

2,..., 

n 

 

⎜ ⎟ 

e 

⎝ v, 

n ⎠ 

d.h. 2 n mögliche Kombinationen der n-binären Vektorkomponenten x 1 ,x 2, ...,x n 

- Elementarbelegungsmenge E e , e ,…, 

e } 

= { 0 1 

n 

2 −1 

- Die Menge E repräsentiert das maximal mögliche Signalalphabet des Booleschen Vektors x 

- Dezimale Elementarbelegung ε ν (Kodierung) für die (binäre) Elementarbelegung 

ε ν 

= 

n 

∑ 

κ = 1 

κ −1 

ν , κ ⋅ 2 

e 

e ν ∈ E 

======= BEISPIEL 2-1 3-STELLIGE BINÄRVARIABLE 

⎛x 

⎞ ⎛0⎞ ⎛1⎞ ⎛0⎞ ⎛1⎞ ⎛0⎞ ⎛1⎞ ⎛0⎞ ⎛1⎞ 

n = = x ⇒ E = ≡ E = = 

⎜x 

⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎜1⎟ 

1 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

3 

3 : x 

2 

{ 0 , 0 , 1 , 1 , 0 , 0 , 1 , 1 } { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } , 2 8 

⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

d.h. 

⎛0⎞ 

⎛1⎞ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

0 = 0 bzw. ε = 0 , ε = 5 

⎜0⎟ 

⎜1⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

e0 

= , e5 0 5 

2.1.4 Skalare Mehrwertige Signalabbildung 

Durch die Verwendung von „intelligenten“ Sensoren mit eingebetteter Signalverarbeitung und 

höhere Programmiersprachen sind natürlich auch leicht mehrwertige Signale mit allgemeinen 

Symbolnamen realisierbar. Diese können jedoch durch geeignete Kodierung ohne 

Einschränkung der Allgemeinheit als mehrstellige binäre Signale dargestellt und 

weiterverarbeitet werden. 

3-wertiger Sensor 

(Quantisierungsglied) 

Mittel 

x diskret 

x diskret 

x ∈ R 

Hoch 

∈ { Null, Mittel, 

Hoch} 

Null 

1+ 

x 

2+ 

x 

x 




• Signalwertemengen - Signalalphabet 

Symbole: ∈ Ω = Symbol , Symbol ,..., Symbol } 

xD 

x { 1 

2 

N 

Zahlen: x ∈ Ω = { 1, 

,..., N } 

D x 2 

Man bezeichnet die Menge 

• Binäre Signalkodierung 

Ωx 

auch als Signalalphabet. 

x D 

Binäre 

Signalkodierung 

x 1,bin 

x 2, 

bin 

x , bin 

3 

bin 

x q , 

N diskrete Werte des skalaren mehrwertigen Signals x D mit der Signalwertemenge 

q 

eine q-stellige Binärzahl x bin kodieren, wobei gilt Min 2 ≥ N . 

q 

Ωx 

lassen sich durch 

Damit kann das skalare wertediskrete Signal x D durch q binäre Signale x 1,bin , x 2,bin , ... , x q,bin dargestellt 

werden. 

Ein skalares mehrwertiges Signal ∈ Ω = Symbol , Symbol ,..., Symbol } ist also äquivalent einem 

q 

binären Signalvektor x∈ 

B . 

x x { 1 

2 

N 

======= BEISPIEL 2-2 3-WERTIGER HÖHENSENSOR 

Ω 

= { Null, 

Mittel, 

Hoch 

x } 

⇒ 

2 2 ≥ N = 3 ⇒ q = 2 

Man beachte, dass eine Realisierung der drei-wertigen 

Abbildung mit zwei binären Variablen den Vorteil der 

Fehlererkennung bietet, d.h. jeder Variablen kann ein 

eigener Binärsensor , x zugeordnet werden: 

x 1 , bin 2, 

bin 

1 , bin = 0 ∧ x2, 

bin = 

Sensorfehler := ( x ) ( 1) 

x 2,bin x 1,bin Bemerkung 

0 0 „Null“ 

0 1 „Mittel“ 

1 0 !! Sensorfehler !! 

1 1 „Hoch“ 

Anmerkung: 

Prinzipiell könnte jeder der N-diskreten Werte durch eine eigene binäre Variable ~ x i , bin , i = 1,..., 

N kodiert werden, 

d.h. ~ x i, bin = 1 würde bedeuten “der i-te diskrete Wert ist vorhanden”. 

Mit einer derartigen Kodierung würden sich für das obige Beispiel also N=3 Binärvariable mit insgesamt 2 3 = 8 

unterschiedlichen Wertekombinationen ergeben, obwohl eigentlich nur 3 unterschiedliche Signalwerte kodiert werden 

müssen. Neben dem höheren Realisierungsaufwand (Sensor, Speicherplatz je Variable) ist vor allem die hohe und 

eigentlich zur Lösung der Aufgabe nicht benötigte hohe Zahl von Wertekombinationen störend. 

Empfehlung: Wenn wertediskrete Signale sich gegenseitig ausschließende Belegungen besitzen, sollen diese immer 

mit der kleinstmöglichen Bitanzahl kodiert werden. 




2.1.5 Ereignisse 

Das dynamische Verhalten eines ereignisdiskreten Systems wird durch das Erscheinungsbild seiner 

aktuellen Wertebelegungen am Ein-/Ausgang bestimmt. Die exakte zeitliche Zuordnung geht dabei im 

Allgemeinen verloren, es verleibt lediglich die Information über die Reihenfolge und Zählfolge von 

Belegungssituationen. Den jeweils betrachteten Eingangs-/Ausgangstupeln ist jeweils ein Ereignis 

mit einer aufsteigenden Zählvariablen zugeordnet, wodurch diese Wertetupel voneinander 

unterscheidbar werden. 

Ereignisgenerator 

* 

Ereignis ( t k 

) 

v 

v[k] 

„Signalgenerator“ 

z.B. Steuerstrecke 

( v[k] ) 

( w[k] ) 

Ereignisdiskretes 

(ED) 

System 

w 

v[k+1] 

t 

w[k+1] 

w[k] 

* 

* 

tk 

t 

k + 1 

t 

[ k ] 

[ k+1] 

t definiert ein neues Tupel v[k],w[k] , d.h. v[k] und w[k] treten 

zeitgleich am Eingang und Ausgang des ED-Systems in Erscheinung 

* 

• Jedes Ereignis [k] bzw. ( k ) 

• Ereignistypen 

- Schaltereignis: Pegel- bzw. Belegungswechsel von v/w, d.h. nach Außen sichtbare 

Belegungsänderung des ED-Systems 

- Taktereignis synchron: periodische Abtastung mit definierter Zykluszeit, z.B. SPS 

- Taktereignis asynchron: variable, situationsabhängige Ereigniszeitpunkte, z.B. Interrupt abgeleitet 

aus anderen Teilsystemen (Echtzeitbetriebssystem) oder manuelle Eingaben über eine Tastatur 

• Ereignisgenerator 

Die Erzeugung von Ereignissen ist anwendungsspezifisch und liegt deshalb außerhalb der 

Betrachtungen in der vorliegenden Lehrveranstaltung. Es wird angenommen, dass je nach betrachtetem 

Anwendungsfall über geeignete Vorrichtungen entsprechend dem vorliegenden Ereignistyp eine 

synchrone Erzeugung von Tupeln v[k],w[k] ermöglicht wird. 

Falls beispielsweise ein neues v[k] durch eine Änderung der Eingangsbelegung des ED-Systems 

erzeugt wird, dann ist also durch einen geeigneten Ereignisgenerator sicherzustellen, dass zeitgleich am 

Ausgang auch ein w[k] zur Verfügung gestellt wird (wenn das ED-System einen Steuerautomat 

darstellt, dann ist also der Automat entsprechend zu aktivieren). 




* 

• Allgemeine Schaltereignisse t 

k 

, [k] 

Die Ereignisse leiten sich einzig aus Belegungsänderungen (Pegelwechsel) der Eingangs- 

/Ausgangsgrößen ab. 

Beachte: Da jedes Ereignis mit einer Belegungsänderung des Tupels v[k],w[k] verbunden ist, können 

keine gleichen aufeinanderfolgenden Tupelbelegungen auftreten, d.h. ∀ k : v[k] ≠ v[k-1] und/oder 

w[k] ≠ w[k-1] . 

In der Regel ändert sich die Eingangsbelegung v[k] ≠ v[k-1] des ED-Systems, die Ausgangsbelegung 

kann dabei aber durchaus konstant bleiben. 

Problematisch ist der Fall, wenn sich die Ausgangsbelegung bei konstanter Eingangsbelegung ändert, 

d.h. ∃ k: v[k] = v[k-1] ∧ w[k] ≠ w[k-1] . Diese ist in der Regel nicht streng kausal begründet und 

kann als eine Art Nichtdeterminismus gedeutet werden. Dieser Fall tritt in der Regel bei der ED- 

Modellierung von Steuerstrecken in Erscheinung, wenn nicht zugängliche Systemgrößen die diskrete(n) 

Ausgangsgröße(n) beeinflussen. Beispiele 2-6, 2-7 

⎛0⎞ 

v[] 

1 = ⎜ 

1 ⎟ 

⎝ ⎠ 

⎛1⎞ 

v[ 2] 

= ⎜ 

1 ⎟ 

⎝ ⎠ 

⎛1⎞ 

v[ 3] 

= ⎜ 

0 ⎟ 

⎝ ⎠ 

⎛0⎞ 

v[ 4] 

= ⎜ 

0 ⎟ 

⎝ ⎠ 

⎛0⎞ 

v[ 5] 

= ⎜ 

1 ⎟ 

⎝ ⎠ 

⎛1⎞ 

v[ 6] 

= ⎜ 

1 

⎟ 

⎝ ⎠ 

v 1 [] 1 v [ ] 1 

2 

v 

1 [ 3] 

v 

1 [ 4] 

v 

1 [ 5] 

v 1 [ 6] 

ED Signalfolge 

v 1 

0 1 0 1 

t 

v 2 [] 1 v [ 2] 

2 

v 

2 [ 3] 

v 2 [ 4 ] v [ ] 2 

5 v 2 [ 6] 

Binärer 

Signalvektor 

v 2 

0 

1 0 

1 

t 

* 

t1 

* 

t2 

t 

* 

* 

* * 

t3 

4 

t5 

t6 

Schaltzeitpunkte 

[1] 

[2] [3] [4] [5] [6] 

[k-1] 

[k] [k+1] 

Schaltereignisse 

• Schaltereignisse durch binäre Signalkodierung zeitkontinuierlicher Signale 

Dies ist die häufigste Quelle von Schaltereignissen, z.B. Binärsensoren. 

* 

+ 

Die Schaltzeitpunkte ti 

sind bei festem x nicht determiniert, sondern hängen vom zeitlichen Verlauf 

von x(t) 

ab. Jeder Werteänderung von xbin 

wird ein Schaltereignis [k] zugeordnet. Diese werden mit 

aufsteigender Ordnungszahl (Zählvariable) beziffert. 

+ 

x 

x(t) 

t 

Kontinuierliches 

Signal x(t) 

x x ] 

x ] 

x bin [3] 

bin [0] 

bin [1 

bin [2 

Binäre Signalfolge x[k] 

x bin 

0 1 0 

1 

t 

* 

t0 

[0] 

* 

t 1 

[1] [2] 

[3] 

[k-1] 

* 

t 2 

[k] 

* 

t 3 

[k+1] 



x [ k ] = x ( t ) = lim x ( t +Δt) 

... 

+ 

bin bin k bin k 

Δ→ t 0 

... rechtsseitiger Grenzwert zum Schaltzeitpunkt 

t 

k 




Allgemeine Taktereignisse 

* 

t k , [k] 

Die aktuellen Belegungen aller wertediskreten Größen werden über ein von Außen vorgegebenes Taktsignal 

nur zu wohldefinierten Zeitpunkten t * k , [k] abgefragt. 

Damit können durch geeignete Wahl des Taktsignales konsistente Gleichzeitigkeitsbedingungen bezüglich 

unterschiedlicher ED-Signale garantiert werden. 

Beachte: Da die Ereignisse unabhängig von den Belegungsänderungen auftreten können, sind in diesem Fall 

durchaus konstante Belegungen des Tupels v[k],w[k] möglich, d.h. ∃ k: v[k] = v[k-1] ∧ w[k] = w[k-1] . 

Es kann dabei eben leicht der Fall eintreten, dass in mehreren aufeinander folgenden Tupeln v[k],w[k] 

speziell die Eingänge konstant bleiben (siehe v[2], v[3] im nachstehenden Bild). 

Je nach Verhalten des ED-Systems können die Ausgänge dann ebenfalls konstant bleiben oder sich ändern, 

d.h. ∃ k: v[k] = v[k-1] ∧ w[k] ≠ w[k-1] (z.B. bei Zählern, wo gleiche Eingangsbuchstaben gezählt 

werden). 

Keine Änderung 

der Wertebelegung ! 

v 1 

⎛1⎞ 

v[] 

1 = ⎜ 

1 ⎟ 

⎝ ⎠ 

⎛1⎞ 

v[ 2] 

= ⎜ 

0 ⎟ 

⎝ ⎠ 

⎛1⎞ 

v[] 

3 = ⎜ 

0 ⎟ 

⎝ ⎠ 

v = 

⎛0⎞ 

v[ 4] 

= ⎜ 

1 ⎟ 

⎝ ⎠ 

v 

1[] 

1 = 1 v 

1[ 2] 

= 1 v 

1[] 

3 = 1 v 

1[ 4] 

= 0 

0 1 0 

1 

v [] 1 = 1 v [ 2] 

= 0 [] 3 0 [ 4] 

1 

2 2 2 2 

t 

ED Signalfolge 

Binärer 

Signalvektor 

v 2 

0 

1 1 

0 

v = t 

t 

flankengesteuertes 

Taktsignal 

* 

t 1 

* 

t 2 

* 

t 3 

* 

t4 


[1] [2] 

[k-1] 

[k] 

[3] 

[k+1] 

[4] 





2.2 Binäre Systeme 

Als häufigste Vertreter von ED-Systemen seien im Folgenden binäre Systeme ( vw , ,Γ) 

mit n Eingangs- 

und m Ausgangsgrößen betrachtet: 

, i , 2,..., 

- Eingangsvektor: v= ( v 1 , v 2 ,..., v i ,..., v n ) T mit den binären Eingangsgrößen v i ∈ { 0 1 }, 

= 1 n 

- Ausgangsvektor: w= (w 1 , w 2 ,..., w j ,.., w m ) T mit den binären Ausgangsgrößen 

w j ∈ { 0, 1} , j = 1, 

2,..., 

m 

v 

n 

- Eingangsbelegungen e λ ∈ Ω λ = 0, 1,...,( 

2 − 1) 

, d.h. 2 n Eingangskombinationen 

v , 

w 

- Ausgangsbelegungen e , 0 1 2 1 

w 

,, ,( m 

μ 

∈Ω μ= … − ), d.h. 2 m Ausgangskombinationen 

- Eingangsbelegungsmenge Ωv, 

Ω 

v 

= 2 

- Ausgangsbelegungsmenge Ωw, 

Ω 

w 

= 2 

n 

m 

- Boolesche Funktionalbeziehung Γ zwischen Eingangsvektor v und Ausgangsvektor w 

v 

v 1 

v i 

w 1 

Binäres System 

w j 

( v ,w,Γ) 

 

v n 

w m 

w 

Kennzeichen binärer Systeme ist, dass die beschreibenden Systemgrößen (Eingänge, Ausgänge, Zustände) 

nur zweiwertige Größen, im Allgemeinen ∈ { 0,1} 

, sind. Durch die boolesche Funktionalbeziehung Γ kann 

je nach Systemeigenschaften ein statisches oder dynamisches Systemverhalten beschrieben werden. 

Die binäre Funktionalbeziehung Γ kann je nach Systemeigenschaften durch prinzipiell zwei 

unterschiedliche Verhaltensmodelle beschrieben werden. 

• statische Funktionalbeziehung 

w 

... der Übergang von einer Ausgangsbelegung 1( * w 

e μ t k − 1) 

zu einer Ausgangsbelegung e ( t 

* μ 2 k) 

hängt 

v 

nur von der aktuellen Eingangsbelegung e ( t 

* k) 

ab kombinatorischer Automat 

• dynamische Funktionalbeziehung 

w 

... der Übergang von einer Ausgangsbelegung 1( * w 

e μ t k − 1) 

zu einer Ausgangsbelegung e ( t 

* μ 2 k) 

hängt 

v 

neben der aktuellen Eingangsbelegung e t ) auch noch von der Vorgeschichte, d.h. 

v 

e ( t 

* w * 

k−1), 

e ( tk−1 

) 

bzw. inneren Zuständen, ab sequentieller Automat 

( * k 




2.3 Diskrete Situationen 

2.3.1 Eingangs-/Ausgangsbetrachtung 

Von Außen betrachtet lässt sich das Klemmenverhalten des binären ED-System ( v , w, 

Γ) 

zu jedem 

* 

Zeitpunkt tk 

bzw. Schaltereignis [k] durch das Tupel 

Eingangsbe legung[k] , Ausgangsbe legung[k] 

beschreiben. In diesem Sinne spricht man von einer diskreten Situation des binären ED-Systems. 

Situation 

s [k] = v[k], w[k] 

Definition 2-1: Diskrete (binäre) Situation 

s [k] : = e λ[ k], 

e μ[ 

k] 

i 

v 

n+m 

w 

i 

v[k] 

mit s i ∈ Ωs, 

i = 0, 1,...,( 

2 − 1) 

; d.h. 2 (n+m) diskrete Situationen, 

Ω 

s 

= Ω 

v 

×Ω 

w... Situationsbelegungsmenge 

Diskrete Situationen s i ,s j schließen sich gegenseitig aus, d.h. zu jedem Zeitpunkt kann nur eine einzige 

Situation vorliegen. 

Ein Ereignis ist gleichbedeutend mit dem Übergang von Situation s [k] → s [k + 1] , d.h. es liegt 

ein Belegungswechsel der Eingangsgrößen und/oder der Ausgangsgrößen vor. In diesem Sinne spricht man 

von einem Situationsübergang des binären ED-Systems. 

Γ 

i 

w[k] 

j 

Definition 2-2: Situationsübergang 

ü : s [k] → s [k + 1] 

mit 

s , s 

i 

j 

i, 

j 

= i 

j 

n + m 

∈ Ωs , i und j = 0, 

1,...,( 

2 −1), 

i ≠ 

n+ 

m 

j 

üi, j ∈ Ωü , i und j = 0, 

1,...,( 

2 − 1), 

i ≠ j ; 

d.h. (2 n+m )A(2 n+m -1) mögliche Übergänge 

Ω ü ... Situationsübergangsmenge 

Durch die Funktionalbeziehung Γ wird sowohl die Menge Ω ~ 

s ⊆ Ω s der tatsächlich auftretenden 

Situationen, wie auch die Auswahl der Menge Ω ~ 

ü ⊆ Ωü 

der tatsächlich auftretenden Situationsübergänge 

sowie deren Reihenfolge festgelegt. 

Die Funktionalbeziehung Γ repräsentiert also die technologischen Einschränkungen des modellierten 

realen Systems (Steuerstrecke, Steuereinrichtung). 




======= BEISPIEL 2-3 BINÄRES SYSTEM MIT 1 EINGANG UND 1 AUSGANG 

n=1, m=1 2 1+1 , d.h. 4 mögliche Situationen s 0 , s 1 , s 2 , s 3 

Situation 

v w 

si 

= e 

λ, 

e 

μ 

i 

Γ 

v ∈{0,1} 

w ∈{0,1} 

v 

v[0] 

v[1] 

v[2] v[3] 

v[4] v[5] 

0 1 0 1 

v[6] 

t 

Eingang 

w 

w[0] 

0 

w[1] w[2] w[3] 

w[4] w[5] 

1 1 

0 

w[6] 

[0] [1] [2] [3] [4] 

[5] [6] [k] 

t 

Ausgang 

s 0 

s1 

s3 

s2 

s0 

s3 

s0 

Situation 

2.3.2 Situationstabelle 

Zur systematischen Darstellung der im Allgemeinen großen Zahl von diskreten Situationen eines (binären) 

ED-Systems eignet sich eine Wahrheitstabelle, in der zeilenweise die Situationen ergänzt um ihre 

anwendungsorientierte Interpretation aufgelistet werden. 

Die Zeilen der Tabelle sind vorteilhafterweise in der natürlichen Zahlenfolge der Situationen s i geordnet 

(0,1,2, . . . 2 n+m -1). 

Die so definierte Situationstabelle ist damit formal gleichwertig der bekannten Schaltbelegungstabelle zum 

Entwurf von kombinatorischen und sequentiellen Automaten. 

Im Unterschied zur Schaltbelegungstabelle braucht jedoch bei der Interpretation der Situationstabelle nicht 

zwischen Eingangs- und Ausgangsbelegungen unterschieden zu werden. 

Im Rahmen der Modellierung der Steuerstrecke ist eine möglichst vollständige Situationstabelle 

anzustreben, d.h. mit allen 2 n+m möglichen Situationen bzw. ihren Belegungen. Nur damit ist eine 

vollständige Modellierung mit allen nominalen und nichtnominalen Situationen gewährleistet. 

In der Regel arbeitet man aus pragmatischen Gründen mit partiellen Situationstabellen. Dabei werden nur 

interessierende Teilmengen der Situationsbelegungsmenge Ω s aufgeführt. 

In diesen Fällen, besteht jedoch die latente Gefahr, dass für die spezielle Anwendung wichtige Situationen, 

d.h. evtl. kritische Kombinationen von Eingangs-/Ausgangsbelegungen vergessen werden können. 




======= BEISPIEL 2-4 SITUATIONSTABELLE FÜR SYSTEM MIT 1 EINGANG UND 1 AUSGANG 

si 

Diskrete 

Situation 

= 

v 

λ 

e ,e 

w 

μ 

i 

Eingangsbelegung 

v 

e λ 

Ausgangsbelegung 

w 

e 

μ 

Situation 

v w 

si 

= e 

λ, 

e 

μ 

i 

s i v w 

0 0 0 

1 0 1 

2 1 0 

3 1 1 

Γ 

v ∈{0,1} 

w ∈{0,1} 

======= BEISPIEL 2-5 SITUATIONSTABELLE FÜR SYSTEM MIT 5 EINGÄNGEN UND 2 AUSGÄNGEN 

v 1 

v 2 

v 3 

Γ 

w 1 

w 

v 2 

4 

v 5 

si 

Diskrete 

Situation 

= 

v 

λ 

e ,e 

w 

μ 

i 


v 

e λ 


w 

e 

μ 

s i v 5 v 4 v 3 v 2 v 1 w 2 w 1 

0 0 0 0 0 0 0 0 

1 0 0 0 0 0 0 1 

2 0 0 0 0 0 1 0 

3 0 0 0 0 0 1 1 

4 0 0 0 0 1 0 0 

5 0 0 0 0 1 0 1 

6 0 0 0 0 1 1 0 

7 0 0 0 0 1 1 1 

8 0 0 0 1 0 0 0 

9 0 0 0 1 0 0 1 

10 0 0 0 1 0 1 0 

: : : : : : : : 

26 0 0 1 1 0 1 0 

: : : : : : : : 

37 0 1 0 0 1 0 1 

: : : : : : : : 

127 1 1 1 1 1 1 1 




2.3.3 Situationsgraph 

Die anschauliche Darstellung von Situationsübergängen 

s → s lässt sich in Form eines gerichteten 

Graphen durchführen. 

Die Knoten repräsentieren die möglichen diskreten Situationen s i ,s j und die gerichteten Kanten die 

entsprechenden Situationsübergänge ü i,j . 

Definition 2-3: Vollständiger Situationsgraph SG( Ω , Ω ) 

mit Ω ={s 0 , s 1 , s 2 ,..., s r } , r = 2 

s 

n + m 

Ω ü = n + m 

{ üi, 

j / si 

→ s j , si, 

s j ∈ Ωs , i und j = 0, 

1,...,( 

2 −1), 

i ≠ j} 

~ 

Definition 2-4: Partieller Situationsgraph SG p ( Ω s, 

Ω 

~ 

ü ) 

mit Ω ~ 

s ⊆ Ω s , d.h. reduzierte Zahl von Situationen 

Ω ~ 

ü ⊆ Ω ü , d.h. reduzierte Zahl von Situationsübergängen 

s 

ü 

i 

j 

Im nachstehenden Bild ist der vollständige Situationsgraph für das bekannte binäre ED-System mit einem 

Eingang und einem Ausgang dargestellt. 

Man beachte, dass in einem Situationsgraph auch scheinbar akausale Zusammenhänge veranschaulicht 

werden können. Beim Übergang ü 01 

= s 0 

→ s 1 

ändert sich die Ausgangsbelegung bei konstanter 

Eingangsbelegung. Ein solches Verhalten ist aber durchaus realistisch, wenn etwa nicht alle relevanten 

Einflussgrößen auf das zugrunde liegende physikalische System über die ED-Systemgrößen abgebildet 

werden (z.B. hybride Systeme). 

e v , e w 

s 0 

s 1 

0,0 

e v , e w e , 

0,1 0, 1 

1 

v e w 

e v , e w 

2 

s 2 ,0 s 3 

1,0 

1, 1 

1 

1 

e v , e w 

1 

1 

Vollständiger Situationsgraph für binäres ED-System mit 1 Eingang / 1 Ausgang 




• Eigenschaften des Situationsgraphen (SG) 

- der SG ist ein Digraph, d.h. er besitzt keine parallelen Pfeile und Schlingen 

- die Knotenmarkierung 

/Ausgangsbelegung 

v e w 

e , repräsentiert die für die Situation s i relevante Eingangs- 

i 

- alle auf einen Knoten s i gerichteten Kanten (Pfeile) besitzen dasselbe Kantengewicht 

d.h. die für die Situation s i relevante Eingangs-/Ausgangsbelegung 

v e w 

e , , 

- ein vollständiger SG ist immer stark zusammenhängend (beinhaltet alle dynamischen 

Möglichkeiten des modellierten ED-Systems) 

- ein partieller SG ist in der Regel schwach zusammenhängend (beinhaltet nur ausgewählte 

dynamische Möglichkeiten des ED-Systems) 

- die spezielle Reihenfolge der Sitationsübergänge (Situationssequenzen) ist im SG nicht 

darstellbar 

- der SG dient als Basis zur erweiterten Beschreibung des ED-Systems mit Automatenmodellen. 

i 

2.3.4 Problemorientierte Dekomposition 

Wesentliche strukturelle und funktionelle Verhaltenseigenschaften eines (binären) ED-Systems lassen sich 

bereits durch eine systematische Situationsanalyse des Eingangs-/Ausgangsverhaltens bestimmen. 

Speziell bei der ereignisdiskreten Modellierung der Steuerstrecke ist es empfehlenswert, eine 

problemorientierte Dekomposition der Situations- und Übergangsmengen zu versuchen, um eine Reduktion 

der inhärenten kombinatorischen Vielfalt zu erreichen. 

Die Situationsbelegungsmengen und Situationsübergangsmengen lassen sich dazu vorteilhafterweise in 

disjunkte Teilmengen der folgenden Art zerlegen: 

- Nominalbetrieb: das betrachtete Mengenelement ist konform zu den vorliegenden 

Prozessanforderungen und als Nominalfall ausgewiesen. 

- Fehlerbetrieb: das betrachtete Mengenelement ist nicht konform zu den vorliegenden 

Prozessanforderungen oder nicht als Nominalfall ausgewiesen oder aus physikalischtechnologischer 

Sicht ist das Auftreten des betrachteten Mengenelementes nicht möglich (z.B. 

nichtmodellierter Gerätefehler). 

Je nach Aufgabenstellung lassen sich diese Mengen beliebig weiter dekomponieren. 

Dadurch ist eine drastische Reduktion der kombinatorischen Vielfalt bereits auf einem sehr hohen 

Abstraktionsniveau der Modellierung (d.h. frühzeitig im Entwurfsprozess) möglich. Die 

Situationsübergänge müssen dann auch nur noch für die ausgewählten Nominalsituationen analysiert 

werden. 




Beispielhafte problemorientierte Dekomposition für technische Systeme 

Als Grundlage für die Dekomposition dienen die Systemanforderungen (bzw. Prozessanforderungen 

bei verfahrenstechnischen Prozessen). Diese beschreiben alle Eigenschaften, die ein System haben soll. 

Dabei lassen sich folgende generische disjunkte Teilmengen zur Definition des Systemverhaltens 

definieren: 

• technologisch inkonsistent (TI) 

... aus physikalisch-technologischer Sicht ist das Auftreten 

des betrachteten Mengenelementes nicht möglich, ggf. 

kann es sich um einen nichtmodellierten Gerätefehler 

handeln. 

Verifikation und Test “verbotene Fälle” 

ggf. Entwurf “erweiterter Störbetrieb” 

• nicht anforderungskonform (NA) 

... aus physikalischer-technologischer Sicht ist das 

Auftreten des betrachteten Mengenelementes zwar 

möglich, es widerspricht jedoch den vorliegenden 

Prozessanforderungen. 

Verifikation und Test “verbotene Fälle” 

Ω NOM 

Ω 

Ω AS 

Ω TI 

Ω NA 

• anforderungskonform-Störbetrieb (AS) 

... das betrachtete Mengenelement ist innerhalb der vorliegenden Prozessanforderungen eindeutig 

spezifiziert und ist einem spezifizierten Störfall zugeordnet. 

Entwurf “Störbetrieb” 

• anforderungskonform-Nominalbetrieb (NOM) 

... das betrachtete Mengenelement ist innerhalb der vorliegenden Prozessanforderungen eindeutig 

spezifiziert und ist als Nominalfall ausgewiesen. 

Entwurf “Nominalbetrieb” 




2.4 Situationsbasierte Modellierung 

Wesentliche strukturelle und funktionelle Verhaltenseigenschaften eines (binären) ED-Systems lassen sich 

bereits durch eine systematische Situationsanalyse des Eingangs-/Ausgangsverhaltens bestimmen. 

Dies ist speziell bei der ereignisdiskreten Modellierung der Steuerstrecke hilfreich und ermöglicht eine 

problemorientierte Dekomposition der Situations- und Übergangsmengen und damit eine Reduktion der 

inhärenten kombinatorischen Vielfalt. 

MODELLIERUNGSALGORITHMUS 

1. Ordnen der Eingangssignale v l und Ausgangssignale w m zu (binären) Vektoren v, w 

2. Aufstellen der (möglichst) vollständigen Situationstabelle mit Ω s ={s 0 , s 1 , s 2 ,..., s r } , r = 2 

3. Dekomposition der vollständigen Situationsbelegungsmenge Ωs 

in problemorientiert 

zerlegte disjunkte Teilmengen 

Ω 

s 

= { Ω sA, Ω sB, Ω sC,... } mit Ω si 

⊆ Ωs, Ω si 

∩Ω 

sj 

= { }, ij , = ABC , , ,....; i≠ 

j 

Ω ∪Ω ∪Ω 

∪ ... = Ω 

sA sB sC s 

4. Dekomposition der vollständigen Situationsübergangsmenge Ωü 

in problemorientiert 

zerlegte disjunkte Teilmengen 

Ω 

ü 

= { Ω üA, Ω üB, Ω üC,... } mit Ω üi 

⊆ Ωü, Ω üi 

∩Ω 

üj 

= { }, ij , = ABC , , ,....; i≠ 

j 

Ω ∪Ω ∪Ω 

∪ ... = Ω 

üA üB üC ü 

n + m 

Anmerkungen zu den nachfolgenden Beispielen 

In den nachfolgenden Beispielen werden einfache ereignisdiskrete Systeme mittels Situationsmodellen 

beschrieben. Daraus sind leicht die Stärken und Schwächen von situationsbasierten Modellen erkennbar. 

Stärken 

− Einschränkung der kombinatorischen Vielfalt von „sinnvollen“ anforderungskonformen 

Eingangs-/Ausgangsbelegungen reduziertes statisches Modell 

− Einschränkung der kombinatorischen Vielfalt von „sinnvollen“ anforderungskonformen 

Belegungswechseln am Eingangs- und Ausgangsbelegungen reduziertes dynamisches 

Modell 

− transparente und anschauliche Darstellung von dynamischen strukturellen Eigenschaften 

(= innere Eigenschaften des ED-Systems) durch den Situationsgraph 

Schwächen 

− keine Reihenfolge von Belegungswechseln (= Situationsübergänge) modellierbar Abhilfe 

durch sequentielle Automaten, dafür bietet der Situationsgraph jedoch eine hervorragende Basis 

§4.6 




======= BEISPIEL 2-6 INVERTER / SPIEGELUNG 

Verbale Funktionsspezifikation 

Ein zweiwertiges Eingangssignal soll am Ausgang gespiegelt werden (Schalterereignisse). 

∈ { } 

w∈{ w ,w } 

v v ,v 

0 1 

Inverter 

(Spiegelung) 

0 1 

Funktionsbeschreibung ( v[ k ]) = ( v 

0,v 1,v 0,v 1,v 0,v 1,... 

) 

( w[ k ]) = ( w 

1,w 0,w 1,w 0,w 1,w 0,... 

) 

Statisches Modell (Situationstabelle) 

Situation Eingangsbelegung Ausgangsbelegung 

Kommentar 

v 

w 

s 0 v o w 0 nicht anforderungskonform (NA) 

s 1 v o w 1 anforderungskonform (NOM) 

s 2 v 1 w 0 anforderungskonform (NOM) 

s 3 v 1 w 1 nicht anforderungskonform 

Dynamisches Modell (Situationsgraph) 

Ω = 

Ω = 

{ s , s } 

sNOM , 1 2 

{ ü , ü } 

üNOM , 1,2 2,1 

Ω = 

Ω =Ω 

{ s , s } 

sNA , 0 3 

\ Ω 

üNA , ü üNOM , 

Anmerkung: Für nichtanforderungskonforme 

Situationen (NA) brauchen natürlich auch alle 

diesbezüglichen Situationsübergänge nicht weiter 

betrachtet zu werden 

(i) Reduktion der Komplexität 

(ii) immer zuerst NA-Situationen bestimmen 

s 0 

v,w 

0 0 

s 3 

v,w 

1 1 

s 1 

v,w 

0 1 

s 2 

v,w 

1 0 




======= BEISPIEL 2-7 FREQUENZTEILER 


Ein zweiwertiges Eingangssignal (Schalterereignisse) soll in ein Ausgangssignal mit halber Frequenz 

umgesetzt werden. 

∈ { } 

w∈{ w ,w } 

v v ,v 

0 1 

Frequenzteiler 

0 1 

Funktionsbeschreibung 

v 

w 

v1 

v1 

v1 

v1 

v0 

v0 

v0 

v0 

v0 

w w 

1 

1 

w0 

w 

0 

w 

0 

w0 

w 

0 

w 

0 

w0 

t * 



Kommentar 

v 

w 





Dynamisches Modell (Partieller Situationsgraph - NOM) 

Ω = 

Ω 

{ s , s , s } 

s, NOM 0 2 3 

= 

{ ü , ü , ü , ü 

0} 

üNO , M 0,2 2,0 0,3 3, 

s 0 

v,w 

0 0 

Ω = 

{ s } 

sNA , 1 

Ω = Ω 

\ Ω 

üNA , ü ü, 

NOM 

s 2 

s 3 

v,w 

v,w 

1 0 

1 1 




======= BEISPIEL 2-8 MOD-2 EREIGNISZÄHLER MIT NEUTRALER AUSGABE 


Es ist die Anzahl des Auftretens des Symbols v 1 in der Eingangsfolge (v[k]) gemäß der Modulo-2 

Abbildung zu ermitteln. Dazu soll (ereignis-)taktgleich mit dem Auftreten von v[k]=v 1 die Ausgabe 

w[k]=w 1 (1.Auftreten) bzw. w[k]=w 2 (2.Auftreten) erzeugt werden. 

Für v[k] ≠ v 1 soll die neutrale Ausgabe w[k]=w 0 erzeugt werden. 

∈ { } 

w∈{ w ,w ,w } 

v v ,v 

0 1 

mod-2 Ereigniszähler 

für v 1 

0 1 2 

Fall A: Schaltereignisse (nur alternierende Eingangsbelegungen v,v 

0 1 

möglich) 

Funktionsbeschreibung ( v[ k ]) = ( v 

0,v 1,v 0,v 1,v 0,v 1,v 0,v 1,v 0,v 1,... 

) 

( w[ k ]) = ( w 

0,w 1,w 0,w 2,w 0,w 1,w 0,w 2,w 0,w 1,... 

) 



Kommentar 

v 

w 




s 3 v 1 w 0 nicht anforderungskonform (NA) 




Ω = 

{ s , s , s } 

sNO , M 0 4 5 

Ω = 

{ ü , ü , ü , ü5, 

0} 

üNOM , 0,4 4,0 0,5 

s 0 

v,w 

0 0 

Ω = 

{ s , s , s } 

sNA , 1 2 

Ω =Ω 

\ Ω 

üNA , ü üNOM , 

3 

s 4 

s 5 

v,w 

v,w 

1 1 

1 2 




Fall B: Taktereignisse (identische Nachfolgebelegungen am Eingang möglich) 

Funktionsbeschreibung ( v [ k ]) = ( v,v 

0 0,v 1,v 0, v,v 

1 1,v 1, v 

1,v 0,v 1,. 

..) 

(beispielhaft) 

( w[ k ]) = ( w 

0,w 0,w 1,w 0,w 2,w 1,w 2,w 1,w 0,w 2,... 

) 

Statisches Modell (Situationstabelle) -- identisch zu Fall A -- 


Ω = 

Ω 

{ s , s , s } 

sNOM , 0 4 5 

{ ü , ü , ü , ü , ü , ü 

4} 

üNOM , 0,4 4,0 0,5 5,0 4,5 5, 

Ω = 

= 

{ s , s , s } 

sNA , 1 2 

Ω =Ω 

\ Ω 

üNA , ü üNO , M 

3 

s 0 

v,w 

0 0 

s 4 

s 5 

v,w 

v,w 

1 1 

1 2 

hier möglich: gleiche Eingangs-Nachfolgebelegung 

erzeugt einen Wechsel in der Ausgangsbelegung 

======= BEISPIEL 2-9 FÜLLSTANDSSTRECKE MIT EINEM BINÄREN NIVEAUSENSOR UND 

GESTEUERTEM ZUFLUSS 

Prozessanforderungen: 

(1) der Füllstand soll trotz nicht bekannter Flüssigkeitsentnahme q a (t) durch einen 

Verbraucher möglichst auf dem Niveau h + gehalten werden 

(2) der Behälter darf nicht überlaufen 

(3) der Behälter darf nicht austrocknen 

Prozessrandbedingungen: 

- q z > q a 

Binäres 

Stellventil 

ZU 

y ∈ {0,1} 

q z (t) 

Binärer 

Niveausensor 

x ∈ {0,1} 

y ∈{ 0,1 } 

x ∈{ 0,1 } 

ED-Strecke 

AUF 

q a (t) 

Wasser 

Luft 




Vollständige Situationstabelle 

NA 

NOM 

NOM 

NA 

Diskrete 

Situation 

y x 

= e , e 

si 

λ μ 

i 


e 

y 

λ 


e 

x 

μ 

Technologische 

Interpretation 

s i y x 

s 0 0 0 Leer 

Austrocknen bei q a >0 

s 1 0 1 Behälter ist voll 

s 2 1 0 Füllen 

s 3 1 1 Überlauf 

Ereignistyp 

Die Belegungsänderungen des Einganges y können durch Schaltereignisse modelliert 

werden. Der Ausgang x ändert sich jedoch wegen des nicht zugänglichen Abflusses q a 

nicht streng kausal (d.h. nichtdeterministisch) in Bezug auf den Eingang y. Dieses 

Verhalten kann man recht vernünftig mittels Taktereignissen modellieren, wobei der Takt 

implizit durch die Niveauänderung von x erzeugt wird (fiktiver Taktgenerator). 

Vollständiger Situationsgraph 

Partieller Situationsgraph - TI 

Austrocknen 

Voll 

s 0 s 1 

0,0 

0, 1 

Austrocknen 

Voll 

s 0 s 1 

0,0 

0, 1 

s 2 s 3 

1,0 

1, 1 

Füllen 

Überlauf 

Partieller Situationsgraph - NA 

1,0 

Füllen 

s 2 

1 

s 3 

~ 

Ω 

~ 

Ω 

s, 

TI 

ü , TI 

= 

= 

{ } 

Partieller Situationsgraph - NOM 

1, 

Überlauf 

{ ü , ü , ü , ü } 

0 , 1 0, 

3 3, 

0 3, 

2 

Austrocknen 

Voll 

s 0 s 1 

1 

Austrocknen 

Voll 

s 0 s 1 

1 

0,0 

0, 

0,0 

0, 

s 2 

1,0 

s 3 

1, 1 

s 2 

1,0 

s 3 

1, 1 

Füllen 

Füllen 

Überlauf 

Überlauf 

~ 

Ω = { s , s } 

Ωs, 

NOM = { s1, 

s } 

~ 

Ω 

s, 

NA 

ü, 

NA 

= 

0 3 

1 , 0 1 , 3 

{ ü , ü , ü , ü } 

2 , 0 

2 , 3 

~ 

~ 

Ω 

ü, 

NOM 

= 

{ ü , ü , ü , ü } 

2 

0 , 2 

1 , 2 

2 , 1 

3 , 2 




======= BEISPIEL 2-10 FÜLLSTANDSSTRECKE MIT ZWEI BINÄREN NIVEAUSENSOREN UND 

GESTEUERTEM ZUFLUSS 

Prozessanforderungen: 

(1) der Füllstand soll trotz nicht bekannter Flüssigkeitsentnahme q a (t) durch einen 

Verbraucher möglichst in dem Mittelbereich [x 1 ,x 2 ] gehalten werden 

(2) nach einem Füllvorgang (h>h + ) soll der Behälter erst dann wieder gefüllt werden, 

wenn der untere Grenzwert h - einmal unterschritten wurde 

(3) der Behälter darf nie überlaufen 

(4) der Behälter darf im Betrieb nicht austrocknen 

(5) zu Wartungszwecken darf der Behälter austrocknen 

Prozessrandbedingungen: 

- q z > q a 

y ∈{ 0,1 } 

x = ( x1 

x2 

) 

ED-Strecke 

T 

ZU 

Binäres 

Stellventil 

y ∈ {0,1} 

q z (t) 

h 

+ 

Wasser 

Luft 

x 2 ∈ {0,1} 

Sensor „Voll“ 

x ∈ 

i 

{ 01 , }, 

i = 1, 

2 

AUF 

q a (t) 

h 

− 

x 1 ∈ {0,1} 

Sensor „Leer“ 

Wasser 

Vollständige Situationstabelle 

Luft 

Diskrete 

Situation 

y x 

= e , e 

si 

λ μ 

i 

y 

λ 


e 


e 

x 

μ 

Technologische 

Interpretation 

NOM 

NOM 

NOM 

TI 

NOM 

NOM 

NA 

TI 

s i y x 2 x 1 

s 0 0 0 0 Mittelbereich/Zufluss=ZU: Behälter wird entleert 

(q a>0) oder bleibt konstant gefüllt (q a=0) 

s 1 0 0 1 Leerbereich/Zufluss=ZU: 

(a) Behälter wird entleert (q a>0) oder bleibt konstant 

gefüllt (q a=0) !!Gefahr “Leerlauf” 

(b) Initialsituation bei Hochlauf 

(c) Endsituation bei Stillsetzung 

s 2 0 1 0 Überlaufbereich/Zufluss=ZU: Behälter ist voll und 

kann entleert werden(q a>0) oder bleibt konstant 

gefüllt (q a=0) 

s 3 0 1 1 ? Sensorfehler ? / Zufluss=ZU: technologisch bei 

funktionsfähigem Sensor nicht möglich, keine Überlaufgefahr, 

jedoch Austrocknungsgefahr 

s 4 1 0 0 Mittelbereich/Zufluss=AUF: Behälter wird aufgefüllt 

s 5 1 0 1 Leerbereich/Zufluss=AUF: Behälter wird aufgefüllt 

s 6 1 1 0 Überlaufbereich/Zufluss=AUF: Behälter ist voll und 

wird weiter gefüllt !!Gefahr “Überlauf” 

s 7 1 1 1 ? Sensorfehler ? / Zufluss=AUF: technologisch bei 

funktionsfähigem Sensor nicht möglich, keine Austrocknungsgefahr, 

jedoch Überlaufgefahr 

Ereignistyp 

Die Belegungsänderungen des Einganges y können durch Schaltereignisse modelliert werden. 

Der Ausgang x ändert sich jedoch wegen des nicht zugänglichen Abflusses q a nicht streng 

kausal (d.h. nichtdeterministisch) in Bezug auf den Eingang y. Dieses Verhalten kann man 

wiederum recht vernünftig mittels Taktereignissen modellieren. 




Problemorientierte Dekomposition 

Zur Reduktion der kombinatorischen Vielfalt empfiehlt sich eine frühzeitige problemorientierte 

Dekomposition bereits auf Situationsebene. 

Dadurch brauchen dann z.B. für den Nominalbetrieb nur noch für die verbleibenden Situationen die 

relevanten Situationsübergänge analysiert werden. 

~ 

TI: Ω { } 

~ 

s 3 s 7 

s , TI = , 

NA: { } 

Ω s , NA = 

~ 

NOM: Ω { s , s , s , s , ,} 

s 6 

s , NOM = 0 1 2 4 s5 

Zur genaueren Betrachtung werden die nominalen Situationen NOM nochmals in drei unterschiedliche 

Betriebsfälle dekomponiert (hier ergeben sich allerdings keine disjunkten Mengen !) 

~ 

NOM_Zyklus: Ω 

{ s , s , s , ,} 

~ 

s , NOM _ Zyklus = 0 2 4 s5 

NOM_Start: Ω 

{ s , s , s , s , ,} 

s , NOM _ Start = 0 1 2 4 s5 

~ 

NOM_Wartung: Ω 

{ s , s , s , s , ,} 

s , NOM _ Wartung = 0 1 2 4 s5 

Partieller SG: NOM_Zyklus 

Kodierung 

s 2 

e 

y 

x 

, e = y,( 

x1, 

x2) 

ZU,Oben 

0,( 

0, 

1) 

0,( 

0, 

0) 

1,( 

0, 

0) 

= 

= 

= 

ZU, 

Oben 

ZU, 

Mitte 

AUF, 

Mitte 

s 0 

ZU,Mitte 

s 4 

AUF,Mitte 

1,( 

1, 

0) 

= 

AUF, 

Unten 

0,( 

1, 

0) 

= 

ZU, 

Unten 

s 5 

AUF,Unten 

Abstrakte 

Stellgröße 

Abstrakte 

Messgröße 




Partieller SG: NOM_Start 

Partieller SG: NOM_Wartung 

s 2 

ZU,Oben 

s 2 

ZU,Oben 

s 0 

ZU,Mitte 

s 4 

AUF,Mitte 

s 0 

s 4 

ZU,Mitte 

AUF,Mitte 

s 5 

AUF,Unten 

s 5 

AUF,Unten 

s 1 

ZU,Unten 

s 1 

ZU,Unten 

Übungsaufgabe: 

s 2 

1. Prüfen Sie nach, ob der nebenstehende 

SG alle Anforderungen (1) bis (5) erfüllt 

und somit anforderungskonform ist. 

2. Welche Schwierigkeiten erwarten Sie, 

wenn dieser SG als Realisierungsbasis 

für eine Steuerung genutzt wird? 

s 0 

ZU,Mitte 

ZU,Oben 

s 4 

AUF,Mitte 

s 5 

AUF,Unten 

s 1 

ZU,Unten

ED02 - Signalorientierte Modellierung - Fakultät Elektrotechnik und ...

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