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Das Verfahren für den letztgenannten Schritt sei an dem Beispiel N = 2041 erläutert.
Es gilt √ N = 45,177 . . ., so dass man folgende Tabelle für x 1 = 46, x 2 = 47, x 3 , x 4 , . . .
erhält, bei der für die Differenzen x 2 i −N neben deren Wert auch deren Primfaktorisierung
angegeben ist. (Man beachte nochmals, dass man günstig x 2 i+1 − N als (x 2 i − N) + 2x i + 1
berechnen kann.):
x 1 = 46 x 2 1 − N = 75 = 3 · 5 2
x 2 = 47 x 2 2 − N = 168 = 2 3 · 3 · 7
x 3 = 48 x 2 3 − N = 263 = 263
x 4 = 49 x 2 4 − N = 360 = 2 3 · 3 2 · 5
x 5 = 50 x 2 5 − N = 459 = 3 · · 153
x 6 = 51 x 2 6 − N = 560 = 2 4 · 5 · 7
x 7 = 52 x 2 7 − N = 663 = 3 · · 13 · 17
x 8 = 53 x 2 8 − N = 768 = 2 8 · 3
Für eine ganze Zahl M und eine Primzahl p bezeichne nun ν p (M) die Vielfachheit
von p in (der Primfaktorzerlegung von) M. Man setze weiterhin
ν(M) := ( ν 2 (M), ν 3 (M), ν 5 (M), ν 7 (M) ) .
Dann gilt ν(M 1 · M 2 ) = ν(M 1 ) + ν(M 2 ) für alle ganze Zahlen M 1 und M 2 , und eine
natürliche Zahl M, die nur die Primteiler 2, 3, 5 und 7 besitzt, ist genau dann eine
Quadratzahl, wenn alle Einträge in ν(M) gerade Zahlen sind. Betrachtet man an Stelle
der Einträge deren Reste bei Division durch 2, was im folgenden durch Überstreichung
gekennzeichnet sei, so ist letzteres dazu äquivalent, dass ¯ν(M) = (0, 0, 0, 0) ist.
Man ist also am Ziel, wenn man gewisse (verschiedene) Zahlen x i1 , . . . , x il findet, so
dass x 2 i 1
− N, . . . , x 2 i l
− N nur die Primfaktoren 2, 3, 5 und 7 besitzen und
ist.
Im obigen Beispiel gilt:
¯ν(x i1 − N) + . . . + ¯ν(x il − N) = (0, 0, 0, 0)
ν(x 2 1 − N) = (0, 1, 2, 0), ¯ν(x 2 1 − N) = (0, 1, 0, 0) =: v 1 ,
ν(x 2 2 − N) = (3, 1, 0, 1), ¯ν(x 2 2 − N) = (1, 1, 0, 1) =: v 2 ,
ν(x 2 4 − N) = (3, 2, 1, 0), ¯ν(x 2 4 − N) = (1, 0, 1, 0) =: v 4 ,
ν(x 2 6 − N) = (4, 0, 1, 1), ¯ν(x 2 6 − N) = (0, 0, 1, 1) =: v 6 ,
ν(x 2 8 − N) = (8, 1, 0, 0), ¯ν(x 2 8 − N) = (0, 1, 0, 0) =: v 8 .
Die Quadrupel v 1 , v 2 , v 4 , v 6 , v 8 kann man nun als Vektoren in dem Vektorraum F 4 2 über
dem Körper F 2 mit den zwei Elementen 0 und 1 auffassen. Aus der Linearen Algebra
ist bekannt, dass jede Teilmenge eines Vektorraumes, die mehr Elemente besitzt, als
seine Dimension angibt, linear abhängig ist. Da die Dimension von F 4 2 über F 2 gleich
4 ist, v 1 , v 2 , v 4 , v 6 , v 8 aber 5 Vektoren sind, ist somit unmittelbar klar, dass es einige
(verschiedene) unter ihnen gibt, v i1 , . . . , v il , mit v i1 + . . . + v il = 0 ∈ F 4 2.
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