Blatt 10 - Institut für Informatik - Universität Paderborn

Universität Paderborn
Institut für Informatik
H. Kleine Büning
Abgabe: 07. Januar 2013, 11:15h
Modellierung – WS 2012/2013
Hausaufgaben
Blatt 10
Organisatorisches: Die Lösungen der Hausaufgaben sind in die Kästen im D3-Flur einzuwerfen.
Bilden Sie bitte innerhalb ihrer Übungsgruppe Gruppen von 2-3 Personen zur Lösung der Aufgaben.
Die Lösung muss die Namen und Matrikelnummern derjenigen enthalten, die die Aufgaben
gelöst haben sowie die Übungsgruppennummer.
Aufgabe 1: Substitution (4 Punkte)
Fassen Sie folgende Substitutionen zusammen.
(a) [x/y][v/w]
(b) [x/y][y/z]
(c) [y/z][x/y]
(d) [y/z + x][x/y][y/3]
Aufgabe 2: Term-Notationen & Kantorowitsch-Bäume (9 Punkte)
Im Folgenden sind Terme in der Notation Infix gegeben. Erstellen Sie für jeden der Terme den
zugehörigen Kantorowitsch-Baum und geben Sie den Term in den beiden fehlenden Notationen
Präfix und Postfix an. Hinweis: Bei gleichstark bindenden Operatoren, hier + und -, gehen wir von
einer Linksklammerung aus.
(a) x + (6 ∗ (y − 5)) − (h − 4)
(b) ((a ∗ b) − (c − d)) + ((5 + x) ∗ (y − c))
(c) (((a + b)/5) − (c + 1)) ∗ 3
Aufgabe 3: Signatur ergänzen (6 Punkte)
Auf Zeichenketten sind diverse Operationen definiert. Einige davon sind:
(a) emptyString: eine 0-stellige Operation, die eine leere Zeichenkette erzeugt.
(b) addChar: liefert die Konkatenation aus einer Zeichenkette und einem Zeichen.
(c) length: gibt die Länge der Zeichenkette an.
(d) toLowerCase: wandelt alle Großbuchstaben einer Zeichenkette in Kleinbuchstaben um.
(e) isSubstring: überprüft, ob eine Zeichenkette in einer anderen Zeichenkette enthalten ist.
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(f) concat: verkettet zwei Zeichenketten.
Sei die Signatur Σ = (S, F) mit
S = { ZEICHENKETTE, ZEICHEN, NAT, BOOL }
gegeben. Geben Sie die Menge F bezüglich den oben aufgelisteten Operationen an.
Aufgabe 4: Algebren (10 Punkte)
Ein Binärbaum ist ein spezieller Baum, dessen Knoten einen Ausgangsgrad von höchstens 2
haben.
Die abstrakte Algebra Binärbaum mit der Signatur Σ = (S, F) beschreibt einen solchen Baum:
S = { BinTree, BOOL, Element }
F = { create : → BinTree, (F 1 )
node : BinTree × Element × BinTree → BinTree, (F 2 )
le f t : BinTree → BinTree, (F 3 )
right : BinTree → BinTree, (F 4 )
value : BinTree → Element, (F 5 )
empty : BinTree → BOOL } (F 6 )
Die Sorte BinTree stellt einen Binärbaum dar, die Sorte Element beschreibt den Inhalt eines
Baumknotens. Für die Sorte BOOL sind Konstanten true und false definiert. create bezeichnet
eine 0 - stellige Operation und ist damit eine Konstante. Sie steht für den leeren Baum. Die Operation
node erzeugt einen neuen Wurzelknoten und verbindet zwei existierende Bäume als linken
und rechten Teilbaum zu einem neuen Baum. Die Operationen left bzw. right liefern den linken
bzw. rechten Teilbaum eines Baums. Die Operation value liefert den Inhalt des Wurzelknotens
eines Baumes. Die Operation empty zeigt an, ob der Baum leer ist oder nicht.
Für die Menge der Axiome Q seien l, r Terme der Sorte BinTree und v ein Term der Sorte Element.
Q = {
}
Q 1 : empty(create) → true,
Q 2 : empty(node(l, v, r)) → f alse,
Q 3 : le f t(node(l, v, r)) → l,
Q 4 : right(node(l, v, r)) → r,
Q 5 : value(node(l, v, r)) → v
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(a) Geben Sie zur oben angegebenen Signatur je einen korrekten Term an, der die Schachtelungstiefe
0, 1, 2, 3 hat.
Hinweis
• Terme der Schachtelungstiefe 0: Variablen und Konstanten.
• Ein Term der Schachtelungstiefe i: Anwendung einer Operation auf Unterterme, von denen
mindestens einer die Schachtelungstiefe i − 1 hat und keiner eine größere Schachtelungstiefe.
(b) Formen Sie die folgenden Terme mit Hilfe der Axiome so um, dass Sie als Ergebnis x, y, z, true
oder f alse erhalten. Notieren Sie bei jeder Umformung das benutzte Axiom.
(b1) empty(le f t(right(node(create, z, node(right(node(create, y, create)), x, create)))))
(b2) value(right(node(create, x, node(create, y, create))))
(c) Erstellen Sie zu dem in (b1) angegeben Term einen Kantorowitsch-Baum. Notieren Sie in
jedem Knoten zusätzlich die entsprechende Sorte.
(d) Erweitern Sie die angegebene Algebra um eine Operation count, die die Anzahl der Blätter
eines Baum angibt. Ergänzen Sie die nötigen Sorten, die Operationen mit ihren Signaturen
und die Axiome, in den Mengen S , F und Q. (Hinweis: Verwenden Sie eine Sorte Nat0 für
die die Konstanten zero und one definiert seien.)
• Nehmen Sie an, dass für die Sorte Nat0 die Operation add : Nat0 × Nat0 → Nat0
gegeben ist.
• add(x, y) gibt die Summe der Zahlen x und y zurück.
• Für die Sorte Nat0 seien die Konstanten zero und one definiert.
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