(1) Das Frege-Prinzip in der Semantik (nach Gottlob Frege, 1848 ...

Dr. Michael Herweg
Einführung in die Logik
Uni HD
(1) Das Frege-Prinzip in der Semantik
(nach Gottlob Frege, 1848-1925)
Die Bedeutung eines komplexen Ausdrucks ergibt sich aus
den (ist eine Funktion der) Bedeutungen seiner Teilausdrücke
und der Art und Weise ihrer Zusammensetzung.
(i)
(a) Peter liebt Maria.
(b) Maria liebt Peter.
(ii) (a) Peter liebt Maria und Maria liebt Peter.
(b) Peter liebt Maria oder Maria liebt Peter.
(2) Nachweis einer Tautologie durch Quick Falsification
(reductio ad absurdum)
➡
Ableitung eines Widerspruchs aus der Annahme, der
wfA habe den W-Wert 0
(3) Def. Logische Äquivalenz
Zwei wfAs sind logisch äquivalent gdw. sie unter allen
Zuweisung von W-Werten zu den atomaren wfAs identische
W-Werte erhalten.
➡
A ↔ B ist eine Tautologie : A ⇔ B (d.h.: A und B sind
logisch äquivalent)

(4) Def. Logische Folgerung/Implikation
Der wfA B folgt aus dem wfA A gdw. B in allen Fällen wahr
ist, in denen A wahr ist.
➡
A → B ist eine Tautologie : A B (d.h.: B folgt logisch
aus A; A impliziert B)
(5) Wichtige Gesetze der AL
T : Platzhalter für einen beliebigen wahren wfA („True“)
F : Platzhalter für einen beliebigen falschen wfA („False“)
(a) Idempotenz-Gesetze
(a.1) (A ∨ A) ⇔ A
(a.2) (A ∧ A) ⇔ A
(b) Kommutativ-Gesetze
(b.1) (A ∨ B) ⇔ (B ∨ A)
(b.2) (A ∧ B) ⇔ (B ∧ A)
(c) Assoziativ-Gesetze
(c.1) ((A ∨ B) ∨ C) ⇔ (A ∨ (B ∨ C))
(c.2) ((A ∧ B) ∧ C) ⇔ (A ∧ (B ∧ C))
(d) Distributiv-Gesetze
(d.1) (A ∨ (B ∧ C)) ⇔ ((A ∨ B) ∧ (A ∨ C))
(d.2) (A ∧ (B ∨ C)) ⇔ ((A ∧ B) ∨ (A ∧ C))
(e) Identitäts-Gesetze
(e.1) (A ∨ F) ⇔ A
(e.2) (A ∨ T) ⇔ T
(e.3) (A ∧ F) ⇔ F
(e.4) (A ∧ T) ⇔ A

(f) Komplement-Gesetze
(f.1) (A ∨ ¬A) ⇔ T
(f.2) (A ∧ ¬A) ⇔ F
(f.3) ¬¬A ⇔ A
(g) DeMorgansche Gesetze
(nach Augustus de Morgan, 1806-1871)
(g.1) ¬(A ∨ B) ⇔ (¬A ∧ ¬B)
(g.2) ¬(A ∧ B) ⇔ (¬A ∨ ¬B)
(h) Konditional-Gesetze
(h.1) (A → B) ⇔ (¬A ∨ B)
(h.2) (A → B) ⇔ ¬(A ∧ ¬B)
(h.3) (A → B) ⇔ (¬B → ¬A)
(i) Bikondiktional-Gesetze
(i.1) (A ↔ B) ⇔ ((A → B) ∧ (B → A))
(i.2) (A ↔ B) ⇔ ((¬A ∧ ¬B) ∨ (A ∧ B))